2024-2025学年河南省郑州市高二（上）段考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年河南省郑州市高二（上）段考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间两点，，下列选项中的与共线的是( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，，且，则向量与的夹角为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.直线的方向向量，直线的方向向量，则直线与的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不能确定
4.已知向量，，且与互相垂直，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量为平面的法向量，点在内，则到的距离为( )
A. B. C. D.
6.在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，直线与平面所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是( )
A. 平面
B.
C. 直线与平面所成角为
D. 异面直线与所成角为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线、的方向向量分别是，，若且，则的值可以是( )
A. B. C. D.
10.已知空间三点，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. ，
11.如图，平面，，，，，，则( )
A.
B. 平面
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点，到直线的距离为______．
13.已知，，，，则直线和所成角的余弦值为______．
14.四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，，，．
求向量，，；
求向量与所成角的余弦值．
16.本小题分
已知空间三点，，．
求；
求的面积．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，是的中点，平面，垂足落在线段上，已知，，，．
求证：；
若点是线段是一点，且试证明平面平面．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．
求；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
如图，四棱锥中，底面，，，．
若，证明：平面；
若，且二面角的正弦值为，求．
参考答案
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15.解：向量，，，
且，，
，
解得，，；
向量，，；
向量，，
，
，
；
与所成角的余弦值为
．
16.解：由于空间三点，，，
故：．
由已知条件得：，，
故；
所以，所以，
故．
17.解：以为原点，以方向为轴正方向，以射线的方向为轴正方向，建立空间坐标系，
如图所示；
则，，，，
，，
，
，即；
为上一点，且，
，
，
，
；
设平面的法向量为，
则，
即，
令，则；
设平面的法向量为，
则，
即，
令，
则；
由，
得；即平面平面．
18.解：连结，
因为底面，且平面，
则，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，则，
所以，
又，
则有，
所以∽，
则，所以，解得；
因为，，两两垂直，故以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．
19.证明：因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，，，，所以，
于是，又平面，平面．
所以平面．
因为，以为原点，分别以，，为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
设平面的一个法向量，因为，，
所以由，即，
可取；
又，，
设平面的一个法向量，所以由
取，
因为二面角的正弦值为，所以余弦值的绝对值为．
所以由，得，，
因此，．
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