7.3离散型随机变量的数字特征（教学设计）（表格式）--2024--2025学年高中《数学》·选择性必修第三册人教A版

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高二 学期 秋季
课题 7.3离散型随机变量数字特征（第1课时）
教科书 书 名：选择性必修三教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年3月
教学目标
1.正确认知离散型随机变量和离散型随机变量的分布列 2.理解并掌握离散型随机变量的均值
教学内容
教学重点： 1.离散型随机变量均值的意义。 2.离散型随机变量均值的性质，应用。 教学难点： 1.对离散型随机变量均值意义的理解。
教学过程
温故知新 本章第2节中的例3 ：一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.从中随机挑选2台，用X表示取得电脑中的A品牌的台数，求X的分布列 追问：1.取2台电脑时，平均会取到几台A品牌电脑呢？ 2.用怎样的一个数能够“代表”这个随机变量取值的平均水平呢？ 二、情境导入 引例 有一组同学量身高，其中有2人身高是160cm，有3人身高是170cm，另外3人身高是180cm,求这组同学平均身高. , 其中分别为身高160cm,170cm和180cm的人数在总人数中所占的比例.如果知道各个身高所占的比例，则平均身高等于各个身高乘相应的比例，再求和. 三、新知探究 问题1 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示 环数78910甲射中的概率0.1 0.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2
思考：如何比较他们射箭水平的高低呢？ 师生活动 先让学生自主思考，提出自己的理解，教师引导得出甲、乙两人的平均环数，再进行比较. 类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性. 假设甲射箭次，射中7环、8环，9环和10环的频率分别为，，，.甲次射箭射中的平均环数为元. 当足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于 . 即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射箭环数的平均值为. 结论：从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 设计意图 根据频率稳定到概率的原理，使学生认识到观测值的频率分布稳定到分布列，观测值的平均数稳定到一个常数，由此引入离散型随机变量的均值的概念. 抽象概念，内涵辨析
上面的过程中，由随机变量的分布列生成了一个新的定义，你能类比统计中的平均数概念给它一个定义吗？ 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示： 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称期望。 均值的意义 均值是随机变量可能取值关于概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值概率，反映了随机变量取值的平均水平. 四、新知运用 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球一次的得分的均值是多少？ 师生活动 学生自主分析，罚球有命中和不中两种可能结果，命中时，不中时，因此随机变量服从两点分布.的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平， 所以，即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 设计意图 通过本题的解决让学生熟悉并理解随机变量的均值或数学期望的计算，同时也为引出随机变量服从两点分布的均值公式. 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为，求的均值. 师生活动 学生独立完成，先求出的分布列，再根据定义计算的均值，教师给予纠正指导，得出结果. 出现的点数的分布列为. 因此，. 设计意图 让学生进一步理解掌握通过随机变量的分布列来求随机变量的均值或期望的算法过程. 思考：求离散型随机变量的均值的步骤是什么？ (1)确定X的可能取值； (2)计算出P(X＝k)； (3)公式计算E(X)． 注意：检查概率之和是否为1，否则，计算过程有错误. 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示. 歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000
规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值. 师生活动 学生分析理解的含义以及所有可能的情况，并尝试写出分布列，教师加以引导. 根据规则，公益基金总额的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，B，C全部猜对，获得6000元基金.因此是一个离散型随机变量.利用独立条件下的乘法公式可求分布列. 分别用表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则相互独立. X的分布列如表所示. O1000300060000.20.320.2880.192
所以的均值为 追问 如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？ 设计意图 通过学生感兴趣的真实情境，发现问题、提出问题、思考问题、解决问题，然后又再次发现问题，在此过程中不断强化巩固离散型随机变量均值的计算与应用，提升学生的“四能”. 例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施 工地的领导该如何决策呢？ 师生活动 学生讨论如何进行决策，教师予以启发引导，学生提出不同的方案，并说明自己的理由，教师最后进行总结. 首先要确定决策目标，显然这里的目标为总损失（投入费用与设备损失之和）越小越好.根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表所示. 天气状况大洪水小洪水没有洪水概率0.010.250.74总损失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000
方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案. 设方案1、方案1、方案3的总损失分别为. 采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元，因此. 采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元.因此，. 采用方案3，，，. 于是， 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2. 值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小.不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的. 设计意图 通过对实际问题的分析理解，引导学生利用离散型随机变量的概率分布以及均值进行概率决策，使学生体会数学期望还可以帮助人们进行决策，在不确定的情况下选择期望较好的方案，了解风险决策的原则及一般方法.教师介绍风险决策的原则：优势原则；期望值原则；风险度原则；满意原则.风险决策的方法：确定型决策方法（盈亏平衡分析）；风险型决策方法（决策树）；不确定型决策方法等。 问题 如果是一个离散型随机变量，将进行平移或伸缩后，其均值会怎样变化？即和（其中为常数）分别与有怎样的关系？ 师生活动 学生思考探究，类比函数的平移和伸缩变换，讨论并猜想离散型随机变量的均值变换后的结果，并加以证明，教师加以引导和总结. 设的分布列为，根据随机变量均值的定义有 类似地，可以证明. 一般地，下面的结论成立：. 设计意图 通过思考问题，类比函数的变换，猜想归纳出随机变量均值的线性性质，培养学生的探索精神，使学生进一步体会从特殊到一般的归纳思想，培养学生的合情推理能力，提出猜想之后，需要进行严格的证明，在此过程中，进一步培养学生的合作交流能力，以及严谨的思维品质. 五、课堂小结 1.离散型随机变量取值的平均值（数学期望） 则称 为随机变量X的均值或数学期望，简称期望. 2.均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 3.求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定X的可能取值； (2)计算出P(X＝k)； (3)公式计算E(X)． 4.结论 . 六、课后作业 1.基础题 教材66页练习第1、2、3题 2.提高 教材90页复习参考题7第5、8题 七、教学反思 1．本节课在情境创设，问题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值．通过王先生的投资问题，引发学生思考，逐步引导学生，使学生理解为什么我们用概率对离散型随机变量进行加权平均，从而得到随机变量的期望． 2．本节课在实际教学的过程之中，学生很难将样本均值和随机变量的均值辨析清楚．通过对掷骰子出现点数的均值的深入探究，对于样本均值与随机变量均值的关系，实现了最高层次的认识． 3．本节课以微视频教学形式呈现给学生，符合当下学生的学习方式．计算离散型随机变量的均值并不困难，但是学生对其理解可能有偏差．学生通过微课的学习可以迅速而高效地掌握离散型随机变量的均值的概念． 八、课堂板书 §7.3.1 离散型随机变量的均值 一、新知导入 三、例题讲解 二、新知讲解 四、课堂练习 1.离散型随机变量的均值 五、课堂总结 2.两点分布的均值 六、作业布置