2024-2025学年海南省定安县定安中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年海南省定安中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.在中，已知，，，则等于( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.某公司在职员工有人，其中销售人员有人，研发人员有人，现采用分层随机加样的方法抽取人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多( )
A. B. C. D.
5.如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则的周长为( )
A. B.
C. D.
6.已知数据，，，，的平均数，方差，则，，，，的平均数和方差分别为( )
A. B. C. D.
7.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算中正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D.
10.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
11.下列关于函数的说法正确的是( )
A. 在区间上单调递减 B. 最小正周期是
C. 图象关于点成中心对称 D. 图象关于直线成轴对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.函数且的图像恒过定点 ．
14.已知某圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥的母线长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．
求证：平面；
求二面角的正切值．
18.本小题分
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
求样本成绩的第百分位数；
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
19.本小题分
现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，．
当时，证明：“维形态复数”与“维形态复数”之间存在平方关系；
若“维形态复数”与“维形态复数”相等，求的值；
若正整数，满足，，证明；存在有理数，使得．
参考答案
1.
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14.
15.解：，，；
原式．
16.解：在中，，
由正弦定理得，，
又，，
，，，
，；
在中，，，，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，解得负值舍去，
的面积为．
17.证明：设，则是中点，连接，
又是中点，，
又平面，平面，
平面；
解：，，
平面，平面，
，同理，
，，平面，
平面，而平面，故BC，
是二面角的平面角，
在直角中，，，
，
二面角的正切值为．
18.解：每组小矩形的面积之和为，
，
．
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第百分位数为，
由，得，故第百分位数为；
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故．
所以两组市民成绩的总平均数是，
，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
19.证明：当时，，
，
；
解：因为，，
则，
因为，
所以，，
故；
证明：因为，，
所以，，
所以，即，，
同理，，，
所以，，
所以，，，
因为，
所以，，即，，，
故存在有理数，使得．
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