7.3离散型随机变量的数字特征（教学设计）（表格式）-2024-2025学年高中《数学》·选择性必修第三册人教A版

教学设计
课程基本信息
学科 中学数学 年级 高二年级 学期 秋季
课题 7.3 离散型随机变量的数字特征
教科书 书 名：普通高中教科书数学选择性必修第三册 出版社：人教A版 出版日期：2020年3月
教学目标
1.通过实例能理解离散型随机变量的均值的意义和性质，发展数学抽象和逻辑推理素养； 2.根据离散型随机变量的分布列求出均值，发展数学运算素养； 3.利用离散型随机变量的均值解决一些简单的实际问题，发展数学建模素养．
教学内容
教学重点：离散型随机变量的均值的概念、性质、和应用．
教学难点：理解离散型随机变量的均值与样本均值的区别．
教学过程
环节一 回顾复习 离散型随机变量的定义 离散型随机变量的分布列 两点分布列 算术平均数与加权平均数 频率的稳定性(n足够大时，频率稳定于概率) 环节二 创设情境，引入课题 问题1 甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示： 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 分析：类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性. 假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为： 甲n次射箭射中的平均环数 当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65. 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. [设计意图] 通过射箭的实例，让学生体会离散型随机变量的均值（或数学期望）在其他领域的应用，同时巩固对概念的掌握． 抽象概括，形成概念 离散型随机变量取值的平均值： 环节三 概念应用，巩固内化 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少 分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时X=1，不中时X=0，因此随机变量X服从两点分布，X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平. 解：因为随机变量X服从两点分布：P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2， 所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2 =0.8 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 归纳： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 E(X)=1×p+0×(1－p)=p 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值. 分析：先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值。 解：X的可能取值为1，2，3，4，5，6， ∴X的分布列为 因此， 归纳： 求离散型随机变量X的均值的步骤： (1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值； (2)求出X取每个值时的概率； (3)写出X的分布列(有时也可省略)； (4)利用定义公式求出均值. 环节四 辨析理解 深化概念 探究1 随机变量的均值与样本均值的关系 观察：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？ 1.随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性． 2.样本均值围绕随机变量的均值波动．且随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小． 3.常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值． [设计意图] 借助投骰子的期望，进一步分析样本的均值与随机变量的均值有何区别．在这个过程中，让学生通过观察图形，直观感受样本的均值与随机变量的均值的区别，培养学生直观想象能力和抽象思维能力，培养学生分析图像、数据的能力．随机变量的均值（数学期望）是样本均值的稳定值，它是客观存在的．如果随机变量的分布列已知，期望值唯一确定；如果随机变量的分布列未知，可由样本均值进行估计． 探究2 如果是一个离散型随机变量，加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化 即(其中为常数)分别与有怎样的关系 已知是一个随机变量，且分布列如下表所示: 设都是实数且，则也是一个随机变量．那么，这两个随机变量的均值之间有什么联系呢 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知 离散型随机变量的均值的性质： [设计意图] 旨在促使学生学习离散型随机变量的均值的性质．从本质上讲，仍然是加强学生对离散型随机变量的均值的概念的进一步理解．让学生意识到，当随机变量的取值发生线性变换时，对应的概率不变，因此期望也会发生相应的线性变换． 环节五 概率决策问题 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名. 某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示： 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获 得的公益基金总额X的分布列及均值. 解：嘉宾获得的公益基金总额X的可能 取值为0，1000，3000，6000； X的分布列如下表所示： X的均值E(X)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336. 思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获 得的公益基金均值最大？ 解：如果按ACB的顺序来猜歌，分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，A，B，C 相互独立； X的分布列如下表所示： X的均值E(X)=0×0.2+1000×0.48+3000×0.128+6000×0.192=2144. 按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大. 例4 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元。 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。 工地的领导该如何决策呢 分析：决策目标为总损失(投入费用与设备损 失之和)越小越好,方案2和方案3的总损失 都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案。 解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3. 采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元. 因此，P(X1=3800)=1. 采用方案2，遇到大洪水时，总损失为2000+6000=62000元； 没有大洪水时，总损失为2000元， 因此，P(X2=62000)=0.01，P(X2=2000)=0.99. 采用方案3，P(X3=60000)=0.01，P(X3=10000)=0.25，P(X3=0)=0.74. 于是，E(X1)=3800，E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600， E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100. 因此，从期望(平均)损失最小的角度，应采取方案2. 值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的，一般地，我们可以这样 来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小，不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的. 环节六 归纳总结,反思提升 数学知识 1、求离散型随机变量均值的步骤 (1)确定离散型随机变量X的取值及X取每个值时的概率； (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否； (3)根据公式写出均值． 2、若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布，可直接利用公式计算均值． 环节七 目标检测，作业布置 完成教材：教材第66-67页练习第1 3题. 1.已知随机变量X的分布列为 X12345P0.10.30.40.10.1
求 求 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，求得分的均值. 乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1小时内生产出的次品数分别为,其分布列分别为 甲机床次品数的分布列 乙机床次品数的分布列 01230.40.30.20.1
0120.30.50.2
哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义.