2024-2025学年云南省昆明八中高一（上）月考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年云南省昆明八中高一（上）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
3.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
4.对于实数，，，下列错误的命题是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D.
5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. 或 B. 或
C. D.
6.由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案第一种方案：每次买斤猪肉；第二种方案：每次买元猪肉下列说法正确的是( )
A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算
C. 两种方案一样 D. 采用哪种方案无法确定
7.在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则最大为( )
A. B. C. D.
8.设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有个，则．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，为真命题的是( )
A. ， B. ，使同时被和整除
C. ， D. ，
10.已知正数，满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的，与可以相等，也可以不相等，都有且，则称是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是( )
A. 存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集
B. 集合是“和谐集”
C. 若，都是“和谐集”，则
D. 对任意两个不同的“和谐集”，，总有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，”的否定为______．
13.设，，集合，则的值是______．
14.设，，记为三个数中最大的数，则的最小值______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集为，集合，．
分别求，；
已知，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，求的最小值；
若，均为正实数，且满足，求的最小值．
17.本小题分
已知函数，．
解关于的不等式；
若方程有两个正实数根，，求的最小值．
18.本小题分
如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米，设的长度为．
Ⅰ用表示的长．
Ⅱ要使矩形的面积大于平方米，求的取值范围．
Ⅲ当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
19.本小题分
设函数．
若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
解关于的不等式；
当，时，记不等式的解集为，集合若对于任意正数，，求的最大值．
参考答案
1.
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12.，
13.
14.
15.解：，，
，
或，
或或；
，，
，
，
解得：．
16.解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
因为，均为正实数，，
所以，，，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
17.解：不等式即为，，
方程的两根分别为和，
当，即时，解不等式可得，
当，即时，不等式无解，
当，即时，解不等式可得，
综上可知：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
方程有两个正实数根，，
即方程有两个正实数根，
则，解得，
所以，
令，则，故，
当且仅当即，时取得等号，
故的最小值为．
18.解：Ⅰ由∽，
可得，即，得；
Ⅱ矩形的面积，
令，得，即，
可得，解得或，
又，可得或；
Ⅱ令，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
当米时，矩形面积取最小值为平方米．
19.解：由题设，又有且只有一个元素，
所以有且仅有一个根，
当时，，即，则，满足题设；
当时，，即，则，满足题设；
所以的取值集合为．
由题设，整理得，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
由，恒有，
故，且，，
故开口向上且，
故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在轴两侧，
因为，即在上有解，且，
又区间关于对称，且区间长度，
综上，只需保证，则，且，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为．
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