2024-2025学年江苏省南京市玄武高级中学高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市玄武高级中学高三（上）期初
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，，则实数( )
A. B. C. D. 或
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数，在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.函数所有零点的和等于( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定不正确的是( )
A. 为奇函数 B.
C. D. 为偶函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知三个密度函数的图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 若，，则
D. 若，，则存在实数，使得
10.设函数，则( )
A. 是的极小值点
B.
C. 不等式的解集为
D. 当时，
11.如图，心形曲线：与轴交于，两点，点是上的一个动点，则( )
A. 点和均在上
B. 点的纵坐标的最大值为
C. 的最大值与最小值之和为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点．若，且，则该双曲线的离心率为______．
13.已知函数，，若直线是曲线与的公切线，则 ______．
14.数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，简称数阵，数阵是由幻方演化出来的另一种数字图，有圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合，变幻多端，由若干个互不相同的数构成等腰直角三角形数阵，如图，其中第一行个数，第二行个数，第三行个数以此类推，一共行，设是从上往下数第行中的最大数，则的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知，．
当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
记与的面积分别为和，请求出的最大值．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，设椭圆：的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是．
求椭圆的方程；
当时，求的面积．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，，且平面平面．
求证：平面平面；
设点为直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
设函数．
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
19.本小题分
对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
证明：等差数列是“数列”；
若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：法一：在中，由余弦定理，
得，即，
同理，在中，，
即，
得，
所以当长度变化时，为定值，定值为；
法二：在中，由余弦定理，
得，即，
同理，在中，，
所以，
化简得，即，
所以当长度变化时，为定值，定值为；
，
令，，
所以，
所以，即时，
有最大值为．
16.解：因为，知，
所以．
因为的周长是，所以，
所以，，故，
所以椭圆的方程为：；
分析知直线的斜率存在，且不为，设的方程为：，设，，
与椭匮方程联立，整理可得：，
可得，，
所以写出，
由题意同理可得，
因为，
所以，
解得，所以，
所以直线的方程为，
所以到直线的距离，
故．
17.解：证明：因为，所以，
因为，所以．
在中，，即，
所以，即．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以，
在中，，，，
所以，即，
所以．
而，平面，平面，，
所以平面．
又平面，所以平面平面．
在平面中过点作的垂线，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
，．
18.解：由题意可知，则的定义域为，
，，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
解：函数，
则，，
故．
(ⅱ)证明：函数的定义域为．
若存在，使得曲线关于直线对称，
则关于直线对称，所以，
由
．
可知曲线关于直线对称．
19.解：证明：设等差数列首项为，公差为，则，
则，
，
，
，
等差数列是“数列”；
数列既是“数列”，又是“数列”，因此，
当时，，
当时，．
由知，
将代入，得，其中，
所以，，是等差数列，设其公差为．
在中，取，则，所以
在中，取，则，所以，
所以数列是等差数列．
第1页，共1页