第七章 随机变量及其分布 小结（教学设计）（表格式）--2024--2025学年高中《数学》·选择性必修第三册人教A版
文档属性
| 名称 | 第七章 随机变量及其分布 小结（教学设计）（表格式）--2024--2025学年高中《数学》·选择性必修第三册人教A版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 227.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-03 10:03:47 | ||
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文档简介
教学设计
课程基本信息
学 科 高中数学 年级 高二 学期 春季
课 题 第七章随机变量及其分布列（小结）
教科书 书 名：普通高中教科书数学选择性必修第三册人教A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年3月
教学目标
1、理解条件概率、全概率公式和贝叶斯公式，体会化难为易的转化思想； 2、掌握离散型随机变量及其分布列的含义及其数字特征，会求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望和方差，会用分布列、期望和方差的性质解决实际问题； 3、掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，并用这些模型解决简单的实际问题，进一步提升数学抽象素养和逻辑推理素养； 4、对整章知识体系进行查漏补缺，掌握核心知识，学会用数学模型解决综合问题，提升数学建模、数据分析等素养.
教学内容
教学重点： 1、理解条件概率，从问题出发推导乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式； 2、认识离散型随机变量的分布列，掌握离散型随机变量的数字特征：期望和方差； 3、理解两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布这几类概率模型并能应用. 教学难点： 1、理解乘法公式、全概率公式； 2、在实际问题中判断和识别所涉及的概率模型，区分二项分布和超几何分布间的异同，准确利用定义和性质解决问题.
教学过程
一、温故知新 本节是第七章随机变量及其分布列复习课. 从学生熟悉的简单摸球问题引入，通过一系列变式问题，回顾章节知识网络. 引例：甲箱装有5个黑球和5个白球，这些球除颜色外完全相同. 某人从箱中每次随机摸出一个球，摸出的球不放回. 求： （1）第一次摸到黑球的条件下第二次摸到白球的概率. （2）第一次摸到黑球且第二次摸到白球的概率； 师：条件概率的求法有哪些？概率的乘法公式是什么？ 设计意图：摸球是学生较为熟悉的问题，也较为简单. “低起点”入手，为本节复习课学生顺利上手提供基础. 通过问题回顾条件概率的求法，缩小样本空间法和定义法. 由条件概率变形得到乘法公式，为下面的全概率公式和贝叶斯公式的复习提供准备. 变式1. 甲箱装有5个黑球和5个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球. （1）求摸出的球是黑球的概率； （2）若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 师：在刚刚的问题中我们复习了条件概率和乘法公式. 现在又多了一个乙箱，里面有2个黑球3个白球，从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球，摸出黑球的概率是多少呢？ 设计意图：直接计算B的概率较为困难，将它看成是两个互斥事件的和事件，由概率的加法公式和乘法公式进行计算. 这样推导出全概率公式. 再通过判断该球取自哪个箱子的可能性更大推导贝叶斯公式. 通过题目推导公式，从特殊到具体，深刻感受将样本空间划分成n个两两互斥事件的和，然后利用加法公式求得复杂事件概率的全概率公式，以及利用已知的结果，反推出原因的可能性的贝叶斯公式. 这两个公式结构形式较为复杂，用图形说明，更为具体形象. 变式2. 甲箱装有5个黑球和5个白球，这些球除颜色外完全相同. 某商场为了回馈广大顾客, 准备将甲箱拿到现场进行抽奖活动. 抽奖方式为: 每名顾客进行两次抽奖, 每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球. 如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. 下面有两种方案. 方案一：第一次抽奖后将球放回抽奖箱, 再进行第二次抽奖, 中奖次数为X； 方案二：第一次抽奖后不将球放回抽奖箱, 直接进行第二次抽奖, 中奖次数为Y. 如果你是顾客, 如何在上述两种抽奖方式中进行选择 请写出你的选择及简要理由. 师：如果你是顾客, 如何在上述两种抽奖方式中进行选择 请大家思考一下. 写好分布列后如何检验是否正确呢？大家自己检验一下我们刚刚的分布列写对了吗？接下来大家一起总结一下求分布列的步骤. 设计意图：通过变式2复习分布列、分布列的数字特征期望和方差，并总结用定义法求均值、方差的步骤. 理解随机变量数字特征的实际意义并利用定义解决实际问题. 利用概率分布和数字特征进行概率决策. 变式3. 乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同. 从中随机抽取3个球，用随机变量X, Y分别表示被选中的白球和黑球的个数. （1）写出X的分布列，并求E(X) ，E(Y) 的值；（2）求D(X) ，D(Y). 师：下面利用期望和方差的相关知识解决下列问题. 大家应该很容易的写出X的分布列、期望和方差. 同样的也可以写出Y的分布列并计算期望方差. 有没有更简便的方法呢？ 设计意图：通过变式3复习巩固期望方差的相关性质. 通过具体的学生熟悉的摸球问题情境，进行一系列变式，从具体到抽象，深入理解这些概念的内涵和性质. 师：通过上面一系列的变式问题，我们回顾了哪些知识？你能总结一下吗？ 设计意图：通过变式问题，总结知识结构. 本章随机变量及其分布列相关知识，包括条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式. 离散型随机变量包括随机变量的分布列、数字特征期望和方差等内容. 在理清脉络的基础上，为一起讨论一些特殊的概率分布模型做准备. 二、学以致用 例1．甲击中目标的概率是p，如果击中，得1分，否则得0分．用X表示甲的得分，计算随机变量X的数学期望． 师：大家能看出这是什么分布吗？ 设计意图：复习特殊的概率分布模型，从较为简单的两点分布模型入手，直接推导其期望和方差. 例2．甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，假设两人每次投篮是否命中相互之间没有影响.如果甲投篮次，求甲至多有次投篮命中的概率. 师：除了两点分布外还有其他特殊的分布吗？下面大家请看例2. 我们分析一下题目，甲进行四次投篮，是否命中互不影响，投篮结果只有命中或不中，这是四重伯努利实验，每次投篮命中的概率为三分之一，大家能看出这是什么分布吗？ 设计意图 ：深入理解n重伯努利实验，通过构建二项分布概率模型解决实际问题，进一步提升逻辑推理素养. 例3.袋中有5个红球，3个黑球，从中任取3个球，其中含黑球的个数为X. （1）求X的分布列； （2）求X的数学期望. 师：下面我们先一起看一个简单的不放回抽样的例子. 在例3中，不放回的抽取三个球，因此每次摸球不相互独立，摸出黑球概率也不同. 这可以利用古典概型解决，同学们思考一下这是什么分布呢？ 设计意图：通过例题分析二项分布与超几何分布的共同点和不同点，进行对比，对比中找到差异，准确识别不同概率模型. 对二项分布和超几何分布的对比分析，让学生意识到正确选择概率模型解决实际问题的重要性，进一步提升数学抽象和建模素养. 师：二项分布与超几何分布同学们可能觉得容易混淆，你能总结一下他们的区别与联系吗？ 设计意图：区别二项分布和超几何分布. 掌握解决这类问题的关键，即提取问题中信息，观察分析他们符合哪类模型，若是学习过的特殊概率分布模型，就可以利用相关公式、性质更快速解决. 例4. 为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为 ． 师：以上我们回顾了离散型随机变量的几种特殊概率模型. 在实际应用中，还有一类应用较为广泛的连续型随机变量模型大家知道吗？ 设计意图：复习正态分布中概率密度曲线的特征、3σ原则. 清楚解决正态分布问题时可以画出密度曲线数形结合，根据对称性和3sigma原则解决问题. 三、链接高考 （2024年新课标全国Ⅰ卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 师：复习了第七章整章知识，大家思考一下2024年新高考1卷的14题. 本道题我们可以将其转化为古典概型进行解决，枚举出甲总分不小于2分的所有情况，如图所示. 这样的枚举过程可能会比较耗时，那还有其他方法吗？ 设计意图：体会与转化为古典概型相比，转化为随机变量问题更为快速便捷，省时省力. 进一步提高用概率方法解决问题的能力. 课堂小结： 师：通过本节课，大家学到了哪些知识？体会到哪些数学思想方法？ 能解决哪些问题？请同学们一起回顾一下吧。 设计意图：通过系统的复习条件概率、全概率公式，离散型随机变量、连续型随机变量，清楚本章总体知识脉络。并体会分类讨论、转化与化归、数形结合等数学思想。对于计算复杂事件的概率、利用随机变量数字特征进行决策、利用特殊分布列模型解决实际问题等，让学生有更深入的认识.
课程基本信息
学 科 高中数学 年级 高二 学期 春季
课 题 第七章随机变量及其分布列（小结）
教科书 书 名：普通高中教科书数学选择性必修第三册人教A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年3月
教学目标
1、理解条件概率、全概率公式和贝叶斯公式，体会化难为易的转化思想； 2、掌握离散型随机变量及其分布列的含义及其数字特征，会求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望和方差，会用分布列、期望和方差的性质解决实际问题； 3、掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，并用这些模型解决简单的实际问题，进一步提升数学抽象素养和逻辑推理素养； 4、对整章知识体系进行查漏补缺，掌握核心知识，学会用数学模型解决综合问题，提升数学建模、数据分析等素养.
教学内容
教学重点： 1、理解条件概率，从问题出发推导乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式； 2、认识离散型随机变量的分布列，掌握离散型随机变量的数字特征：期望和方差； 3、理解两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布这几类概率模型并能应用. 教学难点： 1、理解乘法公式、全概率公式； 2、在实际问题中判断和识别所涉及的概率模型，区分二项分布和超几何分布间的异同，准确利用定义和性质解决问题.
教学过程
一、温故知新 本节是第七章随机变量及其分布列复习课. 从学生熟悉的简单摸球问题引入，通过一系列变式问题，回顾章节知识网络. 引例：甲箱装有5个黑球和5个白球，这些球除颜色外完全相同. 某人从箱中每次随机摸出一个球，摸出的球不放回. 求： （1）第一次摸到黑球的条件下第二次摸到白球的概率. （2）第一次摸到黑球且第二次摸到白球的概率； 师：条件概率的求法有哪些？概率的乘法公式是什么？ 设计意图：摸球是学生较为熟悉的问题，也较为简单. “低起点”入手，为本节复习课学生顺利上手提供基础. 通过问题回顾条件概率的求法，缩小样本空间法和定义法. 由条件概率变形得到乘法公式，为下面的全概率公式和贝叶斯公式的复习提供准备. 变式1. 甲箱装有5个黑球和5个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球. （1）求摸出的球是黑球的概率； （2）若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 师：在刚刚的问题中我们复习了条件概率和乘法公式. 现在又多了一个乙箱，里面有2个黑球3个白球，从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球，摸出黑球的概率是多少呢？ 设计意图：直接计算B的概率较为困难，将它看成是两个互斥事件的和事件，由概率的加法公式和乘法公式进行计算. 这样推导出全概率公式. 再通过判断该球取自哪个箱子的可能性更大推导贝叶斯公式. 通过题目推导公式，从特殊到具体，深刻感受将样本空间划分成n个两两互斥事件的和，然后利用加法公式求得复杂事件概率的全概率公式，以及利用已知的结果，反推出原因的可能性的贝叶斯公式. 这两个公式结构形式较为复杂，用图形说明，更为具体形象. 变式2. 甲箱装有5个黑球和5个白球，这些球除颜色外完全相同. 某商场为了回馈广大顾客, 准备将甲箱拿到现场进行抽奖活动. 抽奖方式为: 每名顾客进行两次抽奖, 每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球. 如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. 下面有两种方案. 方案一：第一次抽奖后将球放回抽奖箱, 再进行第二次抽奖, 中奖次数为X； 方案二：第一次抽奖后不将球放回抽奖箱, 直接进行第二次抽奖, 中奖次数为Y. 如果你是顾客, 如何在上述两种抽奖方式中进行选择 请写出你的选择及简要理由. 师：如果你是顾客, 如何在上述两种抽奖方式中进行选择 请大家思考一下. 写好分布列后如何检验是否正确呢？大家自己检验一下我们刚刚的分布列写对了吗？接下来大家一起总结一下求分布列的步骤. 设计意图：通过变式2复习分布列、分布列的数字特征期望和方差，并总结用定义法求均值、方差的步骤. 理解随机变量数字特征的实际意义并利用定义解决实际问题. 利用概率分布和数字特征进行概率决策. 变式3. 乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同. 从中随机抽取3个球，用随机变量X, Y分别表示被选中的白球和黑球的个数. （1）写出X的分布列，并求E(X) ，E(Y) 的值；（2）求D(X) ，D(Y). 师：下面利用期望和方差的相关知识解决下列问题. 大家应该很容易的写出X的分布列、期望和方差. 同样的也可以写出Y的分布列并计算期望方差. 有没有更简便的方法呢？ 设计意图：通过变式3复习巩固期望方差的相关性质. 通过具体的学生熟悉的摸球问题情境，进行一系列变式，从具体到抽象，深入理解这些概念的内涵和性质. 师：通过上面一系列的变式问题，我们回顾了哪些知识？你能总结一下吗？ 设计意图：通过变式问题，总结知识结构. 本章随机变量及其分布列相关知识，包括条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式. 离散型随机变量包括随机变量的分布列、数字特征期望和方差等内容. 在理清脉络的基础上，为一起讨论一些特殊的概率分布模型做准备. 二、学以致用 例1．甲击中目标的概率是p，如果击中，得1分，否则得0分．用X表示甲的得分，计算随机变量X的数学期望． 师：大家能看出这是什么分布吗？ 设计意图：复习特殊的概率分布模型，从较为简单的两点分布模型入手，直接推导其期望和方差. 例2．甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，假设两人每次投篮是否命中相互之间没有影响.如果甲投篮次，求甲至多有次投篮命中的概率. 师：除了两点分布外还有其他特殊的分布吗？下面大家请看例2. 我们分析一下题目，甲进行四次投篮，是否命中互不影响，投篮结果只有命中或不中，这是四重伯努利实验，每次投篮命中的概率为三分之一，大家能看出这是什么分布吗？ 设计意图 ：深入理解n重伯努利实验，通过构建二项分布概率模型解决实际问题，进一步提升逻辑推理素养. 例3.袋中有5个红球，3个黑球，从中任取3个球，其中含黑球的个数为X. （1）求X的分布列； （2）求X的数学期望. 师：下面我们先一起看一个简单的不放回抽样的例子. 在例3中，不放回的抽取三个球，因此每次摸球不相互独立，摸出黑球概率也不同. 这可以利用古典概型解决，同学们思考一下这是什么分布呢？ 设计意图：通过例题分析二项分布与超几何分布的共同点和不同点，进行对比，对比中找到差异，准确识别不同概率模型. 对二项分布和超几何分布的对比分析，让学生意识到正确选择概率模型解决实际问题的重要性，进一步提升数学抽象和建模素养. 师：二项分布与超几何分布同学们可能觉得容易混淆，你能总结一下他们的区别与联系吗？ 设计意图：区别二项分布和超几何分布. 掌握解决这类问题的关键，即提取问题中信息，观察分析他们符合哪类模型，若是学习过的特殊概率分布模型，就可以利用相关公式、性质更快速解决. 例4. 为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为 ． 师：以上我们回顾了离散型随机变量的几种特殊概率模型. 在实际应用中，还有一类应用较为广泛的连续型随机变量模型大家知道吗？ 设计意图：复习正态分布中概率密度曲线的特征、3σ原则. 清楚解决正态分布问题时可以画出密度曲线数形结合，根据对称性和3sigma原则解决问题. 三、链接高考 （2024年新课标全国Ⅰ卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 师：复习了第七章整章知识，大家思考一下2024年新高考1卷的14题. 本道题我们可以将其转化为古典概型进行解决，枚举出甲总分不小于2分的所有情况，如图所示. 这样的枚举过程可能会比较耗时，那还有其他方法吗？ 设计意图：体会与转化为古典概型相比，转化为随机变量问题更为快速便捷，省时省力. 进一步提高用概率方法解决问题的能力. 课堂小结： 师：通过本节课，大家学到了哪些知识？体会到哪些数学思想方法？ 能解决哪些问题？请同学们一起回顾一下吧。 设计意图：通过系统的复习条件概率、全概率公式，离散型随机变量、连续型随机变量，清楚本章总体知识脉络。并体会分类讨论、转化与化归、数形结合等数学思想。对于计算复杂事件的概率、利用随机变量数字特征进行决策、利用特殊分布列模型解决实际问题等，让学生有更深入的认识.