(共22张PPT)
（华师大版）八年级
上
13.3.2 等腰三角形的判定
全等三角形
第13章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
教学目标：
1.能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理.(重点)
2.能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.(难点)
新知讲解
情境导入
我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？
两个角相等
等腰三角形
它会是等腰三角形吗
新知讲解
证明：画∠BAC的平分线交BC于点D.
在△BAD和△CAD中，
∵∠B＝∠C（已知），
∠1＝∠2（角平分线的定义），
AD＝AD（公共边），
∴ △BAD ≌ △CAD （A.A.S.），
∴ AB＝ AC（全等三角形的对应边相等）.
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C .
求证：AB=AC.
A
B
C
D
1
2
知识点 1 等腰三角形的判定
新知讲解
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
等角对等边
等边对等角
∴ AC=AB ( ).
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C ( ),
已知
等角对等边
在△ABC中，
应用格式：
B
C
A
(
(
新知讲解
文字语言 图形语言 符号语言
等边对等角
等角对等边
∴∠B =∠C ( 等边对等角）.
A
B
C
在△ABC中，
∵AC = AB (已知)，
∴AC = AB ( 等角对等边）.
A
B
C
在△ABC中，
∵∠B =∠C (已知)，
它们的条件与结论正好调换了过来， 这也叫互逆命题.
新知讲解
知识点 2 等边三角形的判定
你可以证明吗
1.已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
2.已知： 若AB=AC , ∠A=60°.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵ ∠A= ∠ B,∴ AC=BC.
∵ ∠ B=∠C,∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
一个三角形满足什么条件就是等边三角形
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
新知讲解
提炼概念
等腰三角形
边
角
特殊线
对称性
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(三条)
三个角都相等，
轴对称图形对称轴（3条）
等边三角形
轴对称图形对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)
且都是60°
两条边相等
三条边都相等
等边三角形性质归纳：
典例精析
如图，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°．求证：AB＝AC.
例3
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），∠A＝40°，∠B＝70°（已知），
∴∠C＝180°－∠A－∠B（等式的性质）
＝180°－40°－70°＝70°，
∴∠C＝∠B（等量代换），
∴ AB＝AC（等角对等边）.
新知讲解
证明：∵ AB∥CD （已知）,
∴ ∠B= ∠2 （两直线平行，同位角相等）.
又∵ ∠1=∠2,
∴ ∠B= ∠1（等量代换）.
∴ AB=AC（等角对等边）.
如图，AB//CD，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC.
例4
新知讲解
证明：∵∠A′C′B＝∠A′C′B′＝90°，
∴∠B′C′B＝∠A′C′B′ ＋∠A′C′B＝180°，
即点B′、C′、B在同一条直线上.
在△A′B′B中，
∵ A′B′＝AB＝A′B，∴∠B＝∠B′（等边对等角）
在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠ B＝∠B′，∠ACB＝∠A′C′B′，AC＝A′C′
∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（A.A.S.）
例5
如图，在 Rt △ABC和 Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
说明：右侧虚线△ABC由
左侧实线△ABC平移翻折
而来，两者全等.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是 （ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70°
B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90°
D. ∠A＝80°，∠B＝60°
D
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
B
C
D
A
E
2.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30 °.
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °- ∠DBA) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDA=90 °- ∠BDE=90°-75°=15°.
【综合拓展类作业】
课堂练习
3.如图，已知△ABC为等边三角形，点E、F分别在边AC、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D.
(1)求证:△ABE≌△CAF;
(2)求∠BDF的度数.
解：(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF (SAS).
A
B
C
D
E
F
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：(2)∵△ABE≌△CAF,
∴∠ABE=∠CAF.
∴∠BDF=∠ABE+∠BAF
=∠CAF+∠BAF
=∠BAC=60°.
A
B
C
D
E
F
(2)求∠BDF的度数.
课堂总结
等腰三角形的判定
判定→等角对等边
应用→证明同一个三角形中两边相等
等边三角形→判定方法
证三个角都相等或有两个角等于60°
先证等腰三角形，再证有一个角等于60°
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有___________________________.
36°
72°
△ABC
△DBA
△BCD
A
B
C
D
(
(
1
2
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC于点E，并与CA的延长线相交于点F，试判断△ADF的形状，并说明理由.
解：△ADF是等腰三角形.
理由：在△ABC中.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠DEC=90°,
∴∠BDE+∠B=90°，∠F+∠C=90°，∴∠BDE=∠F.
∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF=∠F，
∴AF=AD.
∴△ADF是等腰三角形.
A
B
C
E
D
F
作业布置
【综合拓展类作业】
3、如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1) 线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
B
C
A
M
N
解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，
∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
作业布置
【综合拓展类作业】
(2) AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
B
C
A
F
E
M
N
(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF.
∴△CEF是等边三角形．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第10课时《13.3.2 等腰三角形的判定》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 理解并掌握“等角对等边”，体会与“等边对等角”的互逆关系，能够利用三角形的识别方法去解决问题．
学习者分析 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用．
教学目标 1．掌握等腰三角形的判定定理，会用等腰三角形的判定进行简单的推理、判断及应用； 2．通过猜想的提出、定理与推论的证明、实际问题的解决及问题的变式引用．
教学重点 理解并掌握识别等腰三角形的方法．
教学难点 对边角关系互相转化的理解与运用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 问题情境：指出“等腰三角形两底角相等”这个命题的题设和结论是什么？将题设与结论互换得到新命题：“在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形”这是真命题吗？ 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评， 借助生活实例让学生独立思考数学问题；从而揭示今天所学的课题， 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用． 环节二：教师活动2： 【自主探究】 阅读教材，完成下面的内容： 如图，在纸片上画一个△ABC，使∠A＝∠B.沿过点C的直线把∠ACB对折，得∠ACB的平分线，交AB于D，则∠1＝∠2，又∠A＝∠B，由三角形内角和的性质得∠ADC＝__∠BDC__． 沿直线CD折叠，由于∠1＝∠2，线段CB与线段CA重合；由于∠ADC＝∠BDC，所以线段DB与线段DA重合；从而点B与点A重合，因此CB＝__CA__． 【合作探究】 问题1：“等角对等边”这一命题的题设和结论是什么？请把语言文字转化为几何语言，写出已知和求证．并用逻辑推理的方法加以证明． 问题2：你有和上面不同的辅助线作法吗？ 请试一试．“作BC边上的高AD”可行吗？ 问题3：“三个角都相等的三角形是等边三角形”这一命题的题设和结论是什么？请把语言文字转化为几何语言写出已知和求证．并用逻辑推理的方法加以证明． 问题4：“有一个角等于60°的三角形是等边三角形”这一命题的题设和结论是什么？请把语言文字转化为几何语言写出已知和求证．并用逻辑推理的方法加以证明． 归纳：通过上述探究，我们得到以下结论： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(简写成“等角对等边”) 由上述等腰三角形的判定定理，我们还可以得到等边三角形的两个判定定理： (1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，通过动手操作，探索并掌握识别一个三角形是等腰三角形的方法.环节三：教师活动3 例3：如图，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°．求证：AB＝AC. 证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），∠A＝40°，∠B＝70°（已知）， ∴∠C＝180°－∠A－∠B（等式的性质） ＝180°－40°－70°＝70°， ∴∠C＝∠B（等量代换）， ∴ AB＝AC（等角对等边）. 例4：如图，AB//CD，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC. 证明：∵ AB∥CD （已知）, ∴ ∠B= ∠2 （两直线平行，同位角相等）. 又∵ ∠1=∠2, ∴ ∠B= ∠1（等量代换）. ∴ AB=AC（等角对等边）. 例5：如图，在 Rt △ABC和 Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 证明：∵∠A′C′B＝∠A′C′B′＝90°， ∴∠B′C′B＝∠A′C′B′ ＋∠A′C′B＝180°， 即点B′、C′、B在同一条直线上. 在△A′B′B中， ∵ A′B′＝AB＝A′B，∴∠B＝∠B′（等边对等角） 在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠ B＝∠B′，∠ACB＝∠A′C′B′，AC＝A′C′ ∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（A.A.S.） 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，理解并掌握“等角对等边”，体会与“等边对等角”的互逆关系，能够利用三角形的识别方法去解决问题．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是 （ ） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40° C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60° 选做题： 2.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数. 【综合拓展类作业】 3.如图，已知△ABC为等边三角形，点E、F分别在边AC、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D. (1)求证:△ABE≌△CAF; (2)求∠BDF的度数.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有____________________. 选做题： 2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC于点E，并与CA的延长线相交于点F，试判断△ADF的形状，并说明理由. 【综合拓展类作业】 3、如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形． (1) 线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2) AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
教学反思
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 13.3.2 等腰三角形的判定
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级上册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1．掌握等腰三角形的判定定理，会用等腰三角形的判定进行简单的推理、判断及应用； 2．通过猜想的提出、定理与推论的证明、实际问题的解决及问题的变式引用．
课前学习任务
复习引入 复习回顾： 上节课我们学习了等腰三角形的哪些性质？
课上学习任务
【学习任务一】 下面有这样一个问题：如图，⊿ABC是等腰三角形，AB=AC，一不留心，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角C。同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来？大家试试看。 合作交流，探究新知 方法一: 先用量角器量出∠C的度数，然后以BC为 一边B为顶点画出∠B=∠C，∠B与∠C的 一边相交于点A。 方法二 : 取BC边上的中点D，用三角板过D作BC的垂线， 与∠C的一边相交得到交点A，连接AB。 你们认为这样画出来的三角形都是等腰三角形吗？ 要证明两条线段相等，常用什么方法？（添辅助线） 【学习任务二】 【合作探究】 问题1：“等角对等边”这一命题的题设和结论是什么？请把语言文字转化为几何语言，写出已知和求证．并用逻辑推理的方法加以证明． 问题2：你有和上面不同的辅助线作法吗？ 问题3：“三个角都相等的三角形是等边三角形”这一命题的题设和结论是什么？请把语言文字转化为几何语言写出已知和求证．并用逻辑推理的方法加以证明． 问题4：“有一个角等于60°的三角形是等边三角形”这一命题的题设和结论是什么？请把语言文字转化为几何语言写出已知和求证．并用逻辑推理的方法加以证明． 归纳：通过上述探究，我们得到以下结论： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(简写成“等角对等边”) 由上述等腰三角形的判定定理，我们还可以得到等边三角形的两个判定定理： (1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【学习任务三】 例3：如图，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°．求证：AB＝AC. 例4：如图，AB//CD，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC. 例5：如图，在 Rt △ABC和 Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是 （ ） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40° C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60° 选做题： 2.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数. 【综合拓展类作业】 3.如图，已知△ABC为等边三角形，点E、F分别在边AC、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D. (1)求证:△ABE≌△CAF; (2)求∠BDF的度数. 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有____________________. 选做题： 2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC于点E，并与CA的延长线相交于点F，试判断△ADF的形状，并说明理由. 【综合拓展类作业】 3、如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形． (1) 线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2) AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
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