检测03 直线和圆的方程（基础卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习）已知三点，，，则过点 的直线 与线段 有公共点时（公共点包含端点），直线 的斜率 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线，若，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C． D．3
5．（23-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
8．（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（21-22高二·全国·课后作业）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高二下·湖南张家界·阶段练习）下列命题不正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．直线过点，倾斜角为，则其方程为
C．在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示
D．直线在轴上截距为2
11．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（22-23高二上·宁夏银川·阶段练习）若圆与圆有且仅有一条公切线， .
13．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点在圆上，点，当最小时， .
14．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （23-24高二下·全国·课后作业）计算：
(1)已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量；
(2)已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量．
16. (15分) （23-24高二上·北京西城·期中）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若圆直线交于，两点，____，求的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为；
条件②：；
条件③：.
17. (15分) （24-25高二上·全国·课前预习）求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是，且过点；
(2)圆心在轴上，半径为5，且过点；
(3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程．
18. (17分) （23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆G经过点，，且_____.
(1)求圆G的一般方程：
(2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
19. (17分) （2023·河北·三模）已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．
(1)求的轨迹方程；
(2)当，求的方程及的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A D B D B ABD ACD
题号 11
答案 BC
1．B
【分析】求出直线的斜率，直线的斜率，作出图象数形结合能求出直线的斜率的取值范围．
【详解】如图，过作 轴，交轴于，
因为三点，，，
直线的斜率，
直线的斜率，
所以结合图象，得直线的斜率的取值范围是．
故选：C
2．B
【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验.
【详解】因为，，
所以，所以，解得或，
当时，，，直线重合，不满足要求，
当时，，，直线平行，满足要求，
故选：B.
3．C
【分析】由方向向量得到直线斜率，再用点斜式计算即可.
【详解】由题可得．又直线过点，代入点斜式方程得．
故选：C.
4．A
【分析】先利用平行直线的关系求出参数，然后利用两平行直线的距离公式计算距离即可.
【详解】因为和互相平行，
所以，解得，
所以直线可以转化为，
由两条平行直线间的距离公式可得.
故选：A
5．D
【分析】由题意确定圆的半径，即可求解.
【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为，
则圆的方程为．
故选：D．
6．B
【分析】设动点坐标，找到动点坐标与曲线上点坐标的关系，通过已知解析式得出动点的轨迹方程.
【详解】设，因为为的中点，所以，即，
又因为点在曲线上，所以，所以．
所以点的轨迹方程为即．
故选：B
7．D
【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值.
【详解】两点，，则，直线方程为，
圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
因此点到直线距离的最小值为，
所以面积的最小值是.
故选：D
8．B
【分析】作出圆关于轴的对称圆，结合图形分析即可得.
【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为，
由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
则，
由图可知，
当且仅当共线时取等号，
因为，所以的最小值为.
故选：B
9．ABD
【分析】求相应直线的斜率，结合平行、垂直关系逐项分析判断.
【详解】由题意可得：，，，，，
因为，可知，故A正确；
因为，可知，故B正确；
因为，可知PS与QS不平行，故C错误；
因为，可知，故D正确；
故选：ABD.
10．ACD
【分析】根据点斜式方程可以表示斜率存在的所有直线判断A；根据倾斜角为的直线方程表示方法判断B；根据截距式不能表示的直线判断C；根据截距的定义判断D．
【详解】对于A，方程不能表示倾斜角为且过的直线，故A错误；
对于B，直线过点，倾斜角为，则其方程为，故B正确；
对于C，当直线在坐标轴上截距相等且为0时，不能用表示，故C错误；
对于D，令得，所以直线在轴上截距为，故D错误；
故选：ACD．
11．BC
【分析】点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解.
【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即.
设点关于直线的对称点，
则有，即，解得，即.
于是反射后的光线所在的直线方程为，即.
对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误；
对于B：时，故B正确；
对于C：时，故C正确；
对于D：时，故D错误；
故选：BC.
12．
【分析】根据两圆的位置关系先确定两圆内切，再由圆心距计算即可.
【详解】由，
显然，
又只有一条公切线，所以相内切，
将点坐标代入圆方程知，即在圆外部，
所以圆内切于圆，
则有，
解之得.
故答案为：
13．
【分析】找到当最小时P点所在的位置，再结合勾股定理可得结果.
【详解】设圆的圆心为，半径为4，
如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接，
则，，而，
由勾股定理得，
所以当最小时，.
故答案为：.
14．
【分析】设平面内的动点，根据列式可得点的轨迹是为圆心，半径为的圆，即可求解周长.
【详解】设平面内的动点，由得，
所以，
化简得，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以周长是.
故答案为：.
15．(1)方向向量为，法向量为
(2)方向向量为，法向量为
【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的方向向量与法向量；
（2）分析可知，直线的一个方向向量为，由此可得出直线的方向向量与法向量.
【详解】（1）先证明结论：若直线的一个方向向量为，其中，则直线的一个法向量可为.
因为直线的一个方向向量为，其中，，则，
所以，直线的一个法向量可为.
本题中，因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，
故直线的一个方向向量为，则直线的方向向量为，
直线的法向量为.
（2）因为直线经过点和，则直线的一个方向向量为，
所以，直线的方向向量为，法向量为.
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；
（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.
【详解】（1）设圆心坐标为，半径为.
由圆的圆心在直线上，知：.
又圆与轴相切于点，
，，则.
圆圆心坐标为，则圆的方程为
（2）如果选择条件①：，而，
圆心到直线的距离，
则，
解得或.
如果选择条件②和③：，而，
圆心到直线的距离，
则，
解得或3.
如果选择条件③：，而，
圆心到直线的距离，
则，
解得或3.
17．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用两点距离公式可先求半径，再写标准方程即可；
（2）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写标准方程即可；
（3）设圆心坐标，利用到C、D距离相等计算求得圆心坐标，再写标准方程即可.
【详解】（1）由题意可知：，
圆的标准方程为；
（2）设圆心为，
则，
或，
圆心为或，
又，圆的标准方程为或；
（3）设圆心为，
，
，
即，
，，
圆的标准方程为．
18．(1)
(2)，M的轨迹是一个圆.
【分析】（1）设出圆的方程，根据条件构造方程，运用待定系数法求解即可；
（2）画出图形，运用相关点法求解即可.
【详解】（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为，
则，解得，
则圆G的方程为.
方案二：选条件②
直线恒过点.
因为圆G恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，又圆G经过点，
所以圆的半径，所以圆G的方程为，即.
方案三：选条件③
设圆G的方程为，
由题意可得，解得，
则圆G的方程为，即.
（2）设，因为M为线段的中点，所以，
因为点P是圆G上的动点，所以，
即，
所以M的轨迹是一个圆.
19．(1)
(2)，
【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程；
（2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积；
法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一.
【详解】（1）设点，当点不与点重合时，即当且时，
由垂径定理可知,即
又圆的圆心为，
则，
∴，即
当点与点重合时，点的坐标也满足方程
故点的轨迹方程为圆：.
（2）当时，点与点满足圆的方程
又点与点在圆：上
∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得，
直线的方程为，即
∴的方程为：
点到直线的距离，
又圆的半径，
∴弦长，
∴的面积；
法二：设
由题意可得，解得，即点
又，
∴直线的方程为
，则直线的方程为，且
点到直线的距离为
故的面积检测03 直线和圆的方程（基础卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习）已知三点，，，则过点 的直线 与线段 有公共点时（公共点包含端点），直线 的斜率 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线，若，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C． D．3
5．（23-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
8．（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（21-22高二·全国·课后作业）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高二下·湖南张家界·阶段练习）下列命题不正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．直线过点，倾斜角为，则其方程为
C．在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示
D．直线在轴上截距为2
11．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（22-23高二上·宁夏银川·阶段练习）若圆与圆有且仅有一条公切线， .
13．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点在圆上，点，当最小时， .
14．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （23-24高二下·全国·课后作业）计算：
(1)已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量；
(2)已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量．
16. (15分) （23-24高二上·北京西城·期中）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若圆直线交于，两点，____，求的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为；
条件②：；
条件③：.
17. (15分) （24-25高二上·全国·课前预习）求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是，且过点；
(2)圆心在轴上，半径为5，且过点；
(3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程．
18. (17分) （23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆G经过点，，且_____.
(1)求圆G的一般方程：
(2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
19. (17分) （2023·河北·三模）已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．
(1)求的轨迹方程；
(2)当，求的方程及的面积．
