检测04 直线和圆的方程（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知直线，且，则实数（ ）
A．1 B．0或1 C．0 D．
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与相交于点，若直线经过点和原点，且与平行，则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（ ）
A．＋2，－2 B．＋2，
C．，－2 D．，
7．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司管理者提出两种扭亏为赢的建议，具体方案分别用图（2）和图（3）表示，则（ ）．
A．图（1）中乘客量为1.5单位时，收支持平
B．图（1）中当乘客量为0时，亏损1单位
C．图（2）的建议可能为：提高票价并降低成本
D．图（3）的建议可能为：降低成本而保持票价不变
11．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，则
B．若点，则在轴上存在点，使得
C．若点，点在直线上，则的最小值是3
D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是 ．
13．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是
14．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知直线：与直线：相交于点，动点，在圆：上，且，则的取值范围是 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线：和：．
(1)若与互相垂直，求实数的值；
(2)若与互相平行，求与间的距离．
16. (15分) （24-25高二上·江西赣州·开学考试）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则：
(1)求圆C的方程．
(2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度．
17. (15分) （23-24高二上·四川乐山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，.
(1)求的外接圆方程和外心坐标；
(2)求的内切圆方程和内心坐标.
18. (17分) （23-24高二上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.
(1)求曲线的方程；
(2)当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
(3)是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
19. (17分) （21-22高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆和圆.
(1)若圆与圆相交，求的取值范围；
(2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值；
(3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标.检测04 直线和圆的方程（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知直线，且，则实数（ ）
A．1 B．0或1 C．0 D．
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与相交于点，若直线经过点和原点，且与平行，则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（ ）
A．＋2，－2 B．＋2，
C．，－2 D．，
7．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司管理者提出两种扭亏为赢的建议，具体方案分别用图（2）和图（3）表示，则（ ）．
A．图（1）中乘客量为1.5单位时，收支持平
B．图（1）中当乘客量为0时，亏损1单位
C．图（2）的建议可能为：提高票价并降低成本
D．图（3）的建议可能为：降低成本而保持票价不变
11．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，则
B．若点，则在轴上存在点，使得
C．若点，点在直线上，则的最小值是3
D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是 ．
13．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是
14．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知直线：与直线：相交于点，动点，在圆：上，且，则的取值范围是 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线：和：．
(1)若与互相垂直，求实数的值；
(2)若与互相平行，求与间的距离．
16. (15分) （24-25高二上·江西赣州·开学考试）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则：
(1)求圆C的方程．
(2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度．
17. (15分) （23-24高二上·四川乐山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，.
(1)求的外接圆方程和外心坐标；
(2)求的内切圆方程和内心坐标.
18. (17分) （23-24高二上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.
(1)求曲线的方程；
(2)当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
(3)是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
19. (17分) （21-22高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆和圆.
(1)若圆与圆相交，求的取值范围；
(2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值；
(3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B A C D D AB ABD
题号 11
答案 ACD
1．B
【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
故选：B．
2．B
【分析】根据及线线垂直公式，即可求的值.
【详解】因为，且，
所以，即，解得：或.
故选：B
3．B
【分析】联立方程组，求得，得出直线的方程为，结合直线与平行，即可求解.
【详解】由题意，联立方程组，解得，即，
又由直线过原点，可得直线的斜率为，
所以直线的方程为，
因为直线与平行，所以．
故选：B.
4．B
【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】当时，，解得或，
当时，两直线分别为，符合题意，
当时，两直线分别为符合题意，
所以“”是“∥”的充分不必要条件
故选：B
5．A
【分析】利用，计算可得结论.
【详解】由圆，可得圆心，半径，
又，所以，
所以，
因为，所以.
故选：A.
6．C
【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】由，可知，，
且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：
又因为表示半圆上的动点与点的距离，
又因为，
所以的最小值为，
当动点与图中点重合时，取最大值，
故选：C．
7．D
【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得.
【详解】∵，∴.
∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C，
设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足，
则，
化简得，
又∵，代入得，
要使等式恒成立，则，即.
∴存在定点，使圆上任意一点P满足，
则，
当三点共线（位于两侧）时，等号成立.
又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离，
由到直线距离，则.
故.
如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值.
故选：D.
【点睛】方法点睛：借助可以转化,最后把动点到定点的距离转化为到点到直线的距离，进而由几何性质求解最值.
8．D
【分析】根据给定条件，求出点的方程，再利用两圆有公共点列出不等式求解即得.
【详解】直线过定点，直线过定点，又直线，
因此点的轨迹是以线段为直径的圆（除点外），圆心，半径，
圆的方程为且，又，显然点与的距离大于1，
则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点，
于是，即，
解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：①几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．②待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．
9．AB
【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解.
【详解】根据题意，画出图形，如图所示．
通过图象可知，
当时，的倾斜角为；
当时，的倾斜角为．
故选：AB
10．ABD
【分析】根据直线的斜率与纵截距的实际意义(斜率表示每增加一个乘客时收入的增加值，即票价，纵截距表示乘客人数为0时的收支差额，即负支出)，分析图形即可得出结论.
【详解】由题意，直线的斜率的实际意义表示每增加一个乘客时收入的增加值，即票价；
直线的纵截距的实际意义表示乘客人数为0时的收支差额，即负支出.
A项，当时，，
所以图（1）中点B表示当乘客量为时，
既不亏损也不盈利，收支持平，故A说法正确；
B项，当时，，
所以图（1）中当乘客量为0时，亏损个单位，故B说法正确；
对于C，根据题意和图（2）知，当乘客量为时，纵坐标不变，
即支出成本不变，故C项说法错误；
D项，根据题意和图（3）知，两直线平行说明此建议保持票价不变，
乘客人数为0时的收支差额变大，即支出成本变小，
即说明此建议是降低成本而保持票价不变，所以D项说法正确.
故选：ABD.
11．ACD
【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C.
【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确；
对于B，设，则，B错误；
对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示：
由曼哈顿距离的定义可知，而点，
当不与重合时，由直线的斜率为，得，
则；当与重合时，，
于是，因此，C正确．
对于D，如图②所示，取，，则，D正确．
故选：ACD
12．
【分析】由题可得，进而由题意结合中点坐标公式和两点间距离公式可求出所求圆的圆心和半径，进而可得该圆的标准式方程.
【详解】由题得，故以和为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以圆心和为直径的圆的标准方程是.
故答案为：.
13．或．
【分析】根据切线夹角分析出，由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得．
【详解】圆，则圆心为，半径，
设两切点为，则，因为，在中，，所以,
因此只要直线上存在点，使得即可满足题意．
圆心，所以圆心到直线的距离，解得或．
故答案为：或．
14．
【分析】根据，所过定点以及二者垂直确定点P的轨迹方程，再根据动点，在圆：上，且，确定AB的中点E的轨迹方程，结合，以及两圆上两点间的距离范围，即可求得答案.
【详解】由直线：与直线：，
知，所以直线与直线垂直，
直线：即，故过定点，
：即，
故过定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，
该圆圆心为，半径为，
即点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，所以点的轨迹方程是，
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
取的中点，连接，则，
所以点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，
所以，
而，且，
即圆与点的轨迹外离；
则，即，
所以的取值范围是，
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件求出的值；
（2）利用直线平行的充要条件求出的值，进一步求出两平行线间的距离．
【详解】（1）直线和．
当直线与互相垂直，故，
解得；故；
（2）当直线与互相平行，则，故直线的方程为；
所以直线与间的距离．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程；
（2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得.
【详解】（1）因为和，线段的中点为，且，
则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上，
又已知圆心在轴上，令，得，
故圆心为，半径，
则圆圆C的方程为.
（2）由圆心到直线的距离，.
故线段的长度为.
17．(1)，；
(2)，.
【分析】（1）由图知，为直角三角形，故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径，求出圆心和半径即可得到的外接圆方程；
（2）结合图形可设内切圆的圆心，半径为，利用等面积求出，即可得到的内切圆的方程和圆心坐标.
【详解】（1）由图知，由，，构成的三角形为直角三角形，
故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径.
又、中点坐标为，即圆心，
又，，
的外接圆方程是，圆心为.
（2）由的内切圆的圆心为三个内角平分线的交点，且，
结合图形可设内切圆的圆心，半径为.
又，即
，
的内切圆是以为圆心，半径为1的圆，
的内切圆的方程为，圆心.
18．(1)
(2)
(3)存在，定点为
【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的方程.
（2）设，根据已知条件求得点的坐标，从而求得直线的斜率，进行求得直线的方程.
（3）设直线方程为，联立直线的方程和曲线的方程，化简写出根与系数关系，由列方程，化简求得的关系式，进而求得定点坐标.
【详解】（1）设，由得，
化简得，则曲线的方程为；
（2）由题意知，设，
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得，
则，所以(舍去)或，即，
则，
则直线方程为；
（3）设直线方程为，设，
联立方程，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则直线始终经过此定点.
【点睛】求解曲线的方程，可以有以下两种方法：一是根据圆锥曲线的定义，求得曲线的方程；另一个是根据已知条件中所给的等量关系式，如本题中，利用坐标表示点，化简后可求得曲线方程.
19．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围；
（2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值；
（3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标.
【详解】（1）圆的标准方程为，则圆心，，
圆的标准方程为，则圆心，
，
圆与圆相交，，即，解得，
的取值范围.
（2）已知直线与圆交于，两点，设，，
联立，得，
所以，得
，
解得，因为，所以.
（3）
设点坐标为，直线、的方程分别为：，，
即：，，
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等，
由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等．
故有：，
化简得：或，
因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，
所以关于的方程有无穷多解，从而有或，
解得或，
所以点P坐标为或．
