22.1.2 二次函数 y=ax2 的图象和性质 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
22.1.2 二次函数 y=ax2 的图象和性质
二次函数的图象和性质
(1)一次函数的图象是什么？
一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？
描点法：列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
函数的图象
知识回顾
1.正确理解抛物线的有关概念．
2.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线y=ax2是轴对称图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关.
3.能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标和抛物线的最高（低）点.
学习目标
课堂导入
一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么？二次函数又有什么性质呢？
x … 3 2 1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
画出二次函数 y=x2 的图象．
9
4
1
0
1
9
4
1．列表：在 y = x2 中,自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值：
知识点1
新知探究
o
2
4
2
4
3
6
9
x
y
2．描点:根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y).
3．连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c.
o
2
4
2
4
3
6
9
x
y
观察函数y=x2的图象像什么？
观察函数y=x2的图象,总结函数性质：
3
6
9
y
O
-3
3
x
开口向上
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点．
关于y轴对称
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=x2的顶点是（0,0）
观察函数y=x2的图象,总结函数性质：
在对称轴的左侧，
y随x的增大而减小.
o
2
4
2
4
3
6
9
x
y
在对称轴的右侧，
y随x的增大而增大.
画出函数 y= x2 的图象．
y
O
2
4
2
4
3
6
9
x
x … 3 2 1 0 1 2 3 …
y= x2 … 　 　 …　
跟踪训练
新知探究
9
4
1
0
1
4
9
说说二次函数 y= x2 的图象有哪些性质，与同伴交流．
y= x2
1．y＝ x2的图象是一条抛物线；
2．图象开口向下；
3．图象关于y轴对称；
4．顶点（ 0 ，0 ）；
5．图象有最高点；
6.当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大．
知识点2
新知探究
y
x
O
1．分别列表如下：
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
抛物线 开口大小与 a 的大小有什么关系？
当a>0时，a越大，开口越小．
2．描点，连线得到函数图象如图：
x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y=-2x2 ··· ···
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
1．分别列表如下：
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
x
y
O
2
2
2
4
6
4
4
8
当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小．
抛物线 开口大小与a的大小有什么关系？
2．描点，连线得到函数图象如图：
对于抛物线 y = a，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置、开
口方向
对称性
顶点、最值
增减性
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小.
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0.
顶点坐标是（0，0）.
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
1. 已知二次函数，回答下列问题：
(1)抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；
(2)当 x>0 时，y 随 x 的增大而 ，当 x<0 时，y 随 x 的增大而 ；
(3)对于任意 x 的值，总有函数值 y 0，当 x= 时，y 有最 值，是 ．
下
y 轴
(0，0)
减小
增大
≤
0
0
大
跟踪训练
新知探究
2. 函数y=x2的图象上有三点(－3,a), (－1,b) ,(2,c)，比较a，b，c的大小关系.
解法1 代入法：将－3，－1，2分别代入函数解析式，求出a=9，b=1，c=4,进而比较大小.
解法2 根据函数的对称性和增减性：函数的图象过(2,c)也即过(－2,c)，∵－3<－2<－1<0,∴a>c>b.
比较二次函数值大小的方法总结见《教材帮》数学RJ九上22.1节方法帮.
随堂练习
1.关于x的二次函数y＝－3x2，下列结论：
①图象的开口向下；②顶点是(0，0)；③图象有最低点；④当x＜0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论的个数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A．1个 B. 2个 C．3个 D. 4个
C
2.抛物线 y＝0.5x2，y＝－3x2，y＝x2 的开口最大的是(　　)
A．y＝0.5x2 B．y＝－3x2
C．y＝x2 D．无法确定
A
3.已知 y=(m+1)x 是二次函数，其图象开口向上，求 m 的值和函数解析式．
m2+m
解: 依题意,得
m+1>0 ， ①
m2+m=2 ， ②
解②得m1= 2，m2=1 .
由①得m> 1.
所以 m=1.
此时，二次函数的解析式为 y=2x2．
二次函数y=的图象及性质
画 法
描点法
列表、描点、连线
图 象
抛物线
轴对称图形
性 质
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
课堂小结
若抛物线 y=ax2 (a ≠ 0)，过点( 1，2)．
(1)则 a 的值是 ；
(2)对称轴是 ，开口 ．
(3)顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值点 ，抛物线在 x轴的 方（除顶点外）．
(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x12
y轴
向上
（0，0）
小
上
>
对接中考
2.如下图，观察函数 y=(k 1)x2 的图象，则 k 的取值范围是 ．
x
y
k>1
O
3.已知 是二次函数，且当 x＞0时，y 随 x的 增大而增大，则 k= ．
2
解：由题意得
解①得 k= 3或k=2，
解②得 k＞ 2，
所以 k=2.
k2+k 4=2，①
k+2>0，②