２０２４年上学期高二期末考试 数学
参考答案、提示及评分细则
１．【答案】A
【解析】B＝{２,３},A∪B＝{２,３,４}, U(A∪B)＝{０,１,５}．选 A．
２．【答案】B
【解析】 ４ ４
(１＋i)
z＝ 选１－i＝ ２ ＝２＋２i． B．
３．【答案】B
【解析】MO→ MN→
１ ９
＝２|MN
→|２＝ ．选２ B．
４．【答案】C
【解析】T １１π ５π π
２＝ －
, , , 选
１２ １２＝２ T＝πω＝２A＝２． C．
５．【答案】A
【解析】b＝１,
５
a＝２,c＝ ５,e＝ ．选２ A．
６．【答案】A
【解析】C２６－C３６＝－５．选 A．
７．【答案】D
C２【解析】P(
１０
B|A)＝ ５C２＋C２＝１３．
选D．
３ ５
８．【答案】C
【解析】f(x)关于
３ ３ ３
x＝ 对称,且为奇函数, ( )在 , 单调递增,在 , 单调递减,２ f x [０ ２ ] [ ２ ３]
a＝f(－３)＝f(０)＝０,c＝f(２０２４)＝f(２),２＜ln８＜３,故f(－３)＜f(ln８)＜f(２０２４)．选C．
９．【答案】BC
( )
【解析】A:中位数是６,故 A错误;: (
P AB
BP B|A)＝ P(A)＝P
(B),故P(AB)＝P(A)P(B),故B正确．
C:P(２＜X＜６)＝P(６＜X＜１０)＝P(X＜１０)－０．５＝０．３,故C正确．
D:３－(３s＋a)＝t－(９＋a),故３s＋t＝１２,故D错误．选BC．
１０．【答案】BCD
【解析】准线:x＝－１,故 A错误．由抛物线的性质可得BCD正确．故选BCD．
１１．【答案】ACD
【解析】当AB⊥AC 时,AC 是母线,故AC∥O１O２,故直线O２P 与AC 所成角是定值,A正确;
【高二数学试题参考答案 第 １ 页(共５页)】
{#{QQABBYAAgggAAJAAAAhCQQmoCkEQkBGAAQgOREAIsAAAgBFABAA=}#}
当△ABC 为等边三角形时,AB⊥CD,
１ １
r＝ ６,VABCD＝３×２×２６×２３×２６＝８３
,B错误;
对于C,当AB⊥CD 时,以O１ 为原点,以AB,O１O２ 所在直线分别为y 轴、z轴,以圆O１ 中垂直于AB 的直径
所在的直线为x 轴,建立空间直角坐标系,如图,
则A(０,－ ６,０),B(０,６,０),C(６,０,２３),D(－ ６,０,２３),
所以A→C＝(６,６,２３),BD→＝(－ ６,－ ６,２３),
所以A→C BD→＝ ６×(－ ６)＋ ６×(－ ６)＋２３×２３＝０,所以AC⊥BD,故C正确．
对于D,设圆柱底面半径为r,
则A(０,－r,０),B(０,r,０),C(r,０,２３),D(－r,０,２３),
所以A→C＝(r,r,２３),BD→＝(－r,－r,２３),
所以A→C BD→＝－r２－r２＋１２＝－２r２＋１２,A→C ＝ BD→ ＝ ２r２＋１２,
→
所以 →,→ AC
BD→ －２r２＋１２ １
cos＜AC BD＞ ＝
A→C BD→
＝ ＝ ,
２r２＋１２ ２r２＋１２ ２
解得r＝ ２(负值已舍去)或r＝３２(负值已舍去)．
２
当r＝ ２时,球O 的半径为R＝ r２＋(３)＝ ５,所以球O 的表面积S＝４πR２＝２０π;
２
当r＝３２时,球O 的半径为R＝ r２＋(３)＝ ２１,所以球O 的表面积S＝４πR２＝８４π,故D正确．
故选:ACD．
１２．【答案】１０
【解析】a b＝０得k＝２,a＋b＝(１,３),|a＋b|＝ １０．故答案为 １０．
３
１３．【答案】１０
【解析】 ２０ ３E(X)＝３× ＝ ．故答案为
３
２００ １０ １０．
１４．【答案】(８,９)
【解析】x１x２＝１,x３＋x４＝６,x３∈(２,３),故x１x２x３x４＝x３x４＝x３(６－x３)∈(８,９)．故答案为(８,９)．
１５．解:因为bsin２A＝asinB,
由正弦定理可得:sinB sin２A＝sinA sinB,
即sinB ２sinAcosA＝sinA sinB, ２分
又因为 １sinA＞０,sinB＞０,所以cosA＝ , 分２ ４
∵A∈(０,π),
π
∴A＝ ; ３ ６
分
(２)由题意
１
S△ABC＝２bcsinA＝ ３
,
【高二数学试题参考答案 第 ２ 页(共５页)】
{#{QQABBYAAgggAAJAAAAhCQQmoCkEQkBGAAQgOREAIsAAAgBFABAA=}#}
由()知 π１ A＝ ,∴bc＝４． 分３ ８
又a２＝b２＋c２－２bccosA
所以a２＝b２＋c２－bc＝(b＋c)２－３bc．
又因为b＋c＝ ２a,a２＝(b＋c)２－３bc＝２a２－１２,
即a＝２３． １０分
又因为b＋c＝ ２a＝２６, １２分
所以△ABC 的周长为２３＋２６． １３分
１６解:(１)因为点P(２,１)在椭圆C 上,所以
２ １
２＋ ２＝１, a b １
分
又 c ２e＝ ＝ , 分a ２ ２
a２＝b２＋c２,
所以a２＝４,b２＝２, ４分
２ y２
即得椭圆C 的方程为
x
＋ ＝１; 分４ ２ ６
(２)当直线l斜率k不存在时,直线l:x＝０与C 交于A,B 两点,则线段AB＝２２; ９分
当直线l斜率k存在时,设直线l:y＝kx－１,点A(x１,y１),B(x２,y２),
ìy＝kx－１
联立方程 í ２ ２
x
２ y２ 得:(１＋２k )x －４kx－２＝０,
４＋２ ＝１
所以 ４k , －２x１＋x２＝ ２ x１x２＝ ２, １１分１＋２k １＋２k
２ ( )２ １＋k
２ ３２k２＋８
∴ AB ＝ １＋k x１＋x２ －４x１x２ ＝ ２ , １＋２k １２
分
１ ２设 １ １ １
２ ９
t＝１＋２k２,则t≥１,所以 AB ＝２ － (t ) ＋t＋２＝２ － ( ,t－２ ) ＋４ ≤３
当 ２t＝２时等号成立,k＝± ,２
又因为２２＜３,所以 AB max＝３, １４分
此时直线l的方程为
２ ２
y＝ x－１或y＝－ x－１． ２ ２ １５
分
１７．解:(１)证明:设BD∩AC＝O,
∵DA＝DC,BA＝BC＝AC,
∴DB⊥AC． ２分
∵PC⊥平面ABCD,∴PC⊥BD．
又∵PC∩AC＝C,∴BD⊥平面PAC, ４分
【高二数学试题参考答案 第 ３ 页(共５页)】
{#{QQABBYAAgggAAJAAAAhCQQmoCkEQkBGAAQgOREAIsAAAgBFABAA=}#}
∴BD⊥PA; ６分
(２)以O 为原点建系如图,∵BA⊥DA,∠BAC＝６０°,AC＝２３,
∴∠DAC＝∠DCA＝３０°,DO＝１,OA＝OC＝ ３,DA＝DC＝PC＝２, ８分
∴A(３,０,０),D(０,－１,０),P(－ ３,０,２),
∴PD→＝(３,－１,－２),PA→＝(２３,０,－２), １０分
设平面PAD 的法向量为n１＝(x,y,z),
{PD
→ n１＝ ３x－y－２z＝０
则 ,
PA→ n２＝２３x－２z＝０
不妨设x＝１,则可取n１＝(１,－ ３,３)． １２分
由(１)知BD⊥平面PAC,
∴平面PAC 的一个法向量n２＝(０,１,０)． １３分
n n
记平面PAD 与平面PAC 的夹角为θ,则cosθ＝ １ ２ ＝ ３
２１
＝ ． n n ７ １５
分
１ ２ １× １＋３＋３
１８．解:(１)因为a２n＋２an－n＝２Sn,所以a１＝１,a２＝２, ２分
当n≥２时,a２n－１＋２an－１－n＋１＝２Sn－１,
则a２n＋２an－n－a２n－１－２an－１＋n－１＝２(Sn－Sn－１)＝２an, ３分
化简得:a２n－１＋２an－１＋１＝a２n,而an＞０,所以an＝an－１＋１, ４分
所以{an}为等差数列,所以an＝n; ５分
n(n＋１)(２)由(１)可知,an＝n,则Sn＝ ,２
n(n＋１) ２所以 １ ５ １ ５ ２５３an－S ２n＝３n－ ＝－ n ＋ n＝－ (n－ )＋ , 分２ ２ ２ ２ ２ ８ ７
因为n∈N ,当n＝２或n＝３时,３an－Sn 取最大值３, ９分
所以数列{３an－Sn}的最大项为第２项或第３项,其值为３． １０分
(３)由题可知,当n＝２k－１,k∈N 时,
６２ ６２ １ １
bn＝b２k－１＝ ＝ ＝３１( － ) ,a２k－１ a２k＋１ (２k－１) (２k＋１) ２k－１ ２k＋１
所以 １ １ １ １ １A＝b１＋b３＋ ＋b２９＝３１(１－ ＋ － ＋ ＋ － ) ＝３０, ３ ３ ５ ２９ ３１ １３分
当n＝２k,k∈N 时,b k－１ kn＝b２k＝２k ２ ＝k ２ ,
所以B＝b １ ２２＋b４＋ ＋b３０＝１×２ ＋２×２ ＋ ＋１５×２１５,
∴２B＝１×２２＋２×２３＋ ＋１５×２１６,
( １５)
所以 ２１－２－B＝２＋２２＋２３＋ ＋２１５－１５×２１６＝ １６１－２ －１５×２ ＝－２－１４×２
１６,
所以B＝２＋１４×２１６, １６分
所以T３０＝A＋B＝３２＋１４×２１６＝３２＋７×２１７＝９１７５３６． １７分
１９．解:(１)当a＝１时,g(x)＝ex＋１－１,g′(x)＝ex＋１,
所以g(１)＝e２－１,g′(１)＝e２, ２分
所以切线方程为:y－(e２－１)＝e２(x－１)即y＝e２x－１; ４分
【高二数学试题参考答案 第 ４ 页(共５页)】
{#{QQABBYAAgggAAJAAAAhCQQmoCkEQkBGAAQgOREAIsAAAgBFABAA=}#}
( )
()因为 ( ) x－１lnx２ f x ＝ ,x＋１
( x－１) ( １lnx＋ x x＋１)－(x－１)lnx ２lnx＋x－所以 xf′(x)＝ ( )２ ＝ ( )２ , 分x＋１ x＋１ ５
设 ( ) １hx ＝２lnx＋x－ ,x
２ １ ２x＋x２则 ＋１h′(x)＝ ＋１＋ ２＝ ２ , 分x x x ６
又因为x＞０,所以h′(x)＞０,即y＝h(x)单调递增,
又因为h(１)＝０,所以x∈(０,１)时,h(x)＜０,即f′(x)＜０;
x∈(１,＋∞)时,h(x)＞０,即f′(x)＞０; ８分
综上可知:函数f(x)的单调递减区间为(０,１),单调递增区间为(１,＋∞); ９分
( )
(３)因为g(x)≥f(x)对任意x∈[１,＋∞)恒成立,即aea(x＋１)
x－１lnx
－a≥ ,x＋１
a(x＋１)ea(x＋１)－a(x＋１)≥(x－１)lnx,
即a(x＋１)(ea(x＋１)－１)≥(x－１)lnx,
即(ea(x＋１)－１)lnea(x＋１)≥(x－１)lnx, １１分
设φ(x)＝(x－１)
x－１ １
lnx,x≥１,则φ′(x)＝lnx＋ ,x ＝lnx＋１－x
易知φ′(x)单调递增,所以φ′(x)≥φ′(１)＝０,
所以φ(x)单调递增,则原不等式等价于φ(ea
(x＋１))≥φ(x),即ea
(x＋１)≥x 对任意x≥１恒成立,
所以 lnx ,令 ( ) lnxa≥x＋１ rx ＝
,则a≥r(x)max, 分x＋１ １３
x＋１ １
x －lnx １＋ －lnx又因为r′(x)
x
＝ ( ,x＋１)２ ＝ (x＋１)２
令 ( ) １tx ＝１＋ －lnx,则t′( )
１ １
x x ＝－x２－ ＜０
,所以t(x)单调递减;x
又因为t(１)＝２＞０,
１
t(e２)＝１＋e２－２＜０
,
所以 １ x０∈(１,e２),t(x０)＝１＋x －lnx０＝０
,
０
所以x∈(１,x０)时,t(x)＞０,即r′(x)＞０,r(x)单调递增;
x∈(x０,＋∞)时,t(x)＜０,即r′(x)＜０,r(x)单调递减; １５分
１
lnx １＋x
所以r(x)
１
max＝r(x０)＝
０ ＝ ０x ＋１ １＋x ＝
,
０ ０ x０
所以 １,而１ １a≥ ∈ ( ２,１) ,x０ x０ e
所以整数a 的最小值为１． １７分
【高二数学试题参考答案 第 ５ 页(共５页)】
{#{QQABBYAAgggAAJAAAAhCQQmoCkEQkBGAAQgOREAIsAAAgBFABAA=}#}机密★启用前
2021年上学期高二期末考试
数学
本试卷共4页。全卷满分150分，安成时间120分钟，
注意弃项：
1.答题前，考生务必将自己的滩名，推考证号琼写在本说卷和答题÷上。
2,回答滋择题时，远出每小题答策÷，用铅笔犯答通卡上对应的落案标宁涂黑，？有改动，用源
皮擦干净后，再选涂其他答策；回答非进择瀝附，将答亲写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3,芳试翁束后，浒本试煮答滋卡并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，
1.设全gU=0,1,2,3,43},第合A={2,:,B=xx一5x十80则01B)
A.0,1,5}
B.{0,1,5
C.{2,3,5
D.2,3,4}
2.已知i是盛数单位，复数满足{1一)z=4,则x=
A.1-31
B.2+21
C.1-3i
10.2-2i
3.已知M,N是同O上的两点，若MN|=3,则·MN=
A.3
B.2
C.9
8
D.
2
4.已知系数fx)=A5in(au十9)A≥0，m0:心)的部分图象
如离所示，则
h.4-1
B,m-1
cf(g)-2
D,f(x)的最小用朗为君
x:y2
5.已如双曲线E:看一=1(6≥)的右焦点r到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为
A号
B.3
(.2
D.y5
6.在(r一y)(x十y)的展开式中，xy'的系数是
A.一5
B.5
C.-1
T).10
【高二数学试第1页（共4页）】
,从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回胞随机取顾次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的
球颜色相同”，B表示丰件“两次取出的球巾至少行1个是球”，如P〔BA》
8.设函数5(x)的定义域为R.且满足fz)-f8-x)=0,(x)+f-x)=0,日x:∈[：2]：
a都有(x1一xLf(x,)-了(x>]心，若a=f〔一3)，b=f(8),心=f(2021),则
A.ca
B.ac
Cabcc
D.b c.c
二、多顶选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要
求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
3.下列说法止确的是
A.数海2.？，4,5,1G,1,21,11的中位效为5
B.当P(A0时，当且仅当亨件A与B相独立，有P〔BA)一P(B)
C.若随机变量X服从正态分布V《5,o},若P{X10)=0.8,则P(2XE》=0.3
1.已阳一系列样本.点(x,:》i=1,2,3,,2)的经验回归方程为y=3r十a,若样木点《s,3)与
《3,)的残差相等，则3x十2=9
10.已知城榴线C:=4x,直线过C:的焦点F,且与C交于M,N网.点，则
A, 的注线万程为x=一2
B,线段N的长度的最小偵为名
C.有在唯一直线，使得F为线段MW的巾点
D.以锭段N为直径的丽与C的性线胡切
11.已知圆杜O:0:的高为23，线段AB与CD分别为圆D,与区)：的直径，则
.若P为圆O1上的动点，A⊥AC,则直线)，P与AC所成角为定伯
D.若△ABC为等边三角形，恻四面体ABCD的体积为23
C.若B1C0,月AB=2,则A)
D,若1卫上CD:且AC与BD所成的角为0°，如四而体ABCD外接g的表面积为20r或84r
三，坎空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已如平向向量a-(-1,k》,b=(2,1》,若二b,则a1b-
133月1)日，习总书记在湖南省常德巾考察调期间来到河街：了解历史文化街区修复利用等情·
况：这片历史文化街区汇聚了学德合降，背德丝弦，桃源厕绣、安乡水脏、赏水裙工号千等品类紫
多的非项目现为了主灯的完传河街文化，其门省第了2名志愿名，根滨报名情祝得到如下
【高二数学试题常？医（共4页】
