（核心素养）人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径 教学设计（表格式）

义务教育学校课时教案
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课题 第二十四章 圆24.1.2垂直于弦的直径 主备人
教学目标 1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.3.通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.4.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.5.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
核心素养 数学抽象：激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质。推理能力：激发学生的好奇心和求知欲，从数学学习活动中获得成功的体验。运算能力：掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题
德育渗透 赵州桥位于河北省，又名安济桥，横跨于洨河上，是世界上著名的古代石拱桥，也是造成后一直使用到现在的最古老的石桥。它修建于隋朝年间公元595年－605年，由著名匠师李春设计建造，距今已有1400多年的历史。其设计建造精妙让它屹立了千年而不倒，不得不让我们为古人的智慧感到惊叹！书本例题赵州桥讲的是直径与弦的特殊关系，通过介绍赵州桥的桥梁地位，激发学生的爱国主义情怀。
教学重点 垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.
教学难点 垂径定理及其推论.
学情分析
教学过程 新课导入形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.集合性定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面内所有到定点O的距离等定长r的点的集合.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.直径：直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦.圆弧（弧）：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆.等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.【教学说明】复习上节课内容，为本节课做好铺垫.二、推进新课知识点1 圆的轴对称性问题1用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？【教学说明】学生通过自己动手操作，归纳出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.问题2 如何来证明圆是轴对称图形呢？已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=BE.证明：连结OA、OB.在△OAB中，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形.又∵CD⊥AB，∴AE=BE∴直径CD是AB的垂直平分线.结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.知识点2 垂径定理及其推论显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点.把⊙O沿CD对折时，AE与BE重合，弧AD与弧BD重合，弧AC与弧BC重合.【教学说明】问题1是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题2作下铺垫，垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题2可由问题1得到.【归纳结论】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）.数学语言：如上图，在⊙O中，AB是弦，直径CD垂直于弦AB.∴AE=BE. 。练习：下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？问题（1） 一条直线满足：①过圆心.②垂直于弦，则可得到什么结论？【教学说明】本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论，这样可以加深学生对定理的理解.问题（2）已知直径AB，弦CD且CE=DE（点E在CD上），那么可得到结论有哪些？（可要学生自己画图）提示：分E点为“圆心”和“不是圆心”来讨论.即：CD是直径或CD是除直径外的弦来讨论.结论：垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.问（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径的弦？【教学说明】问题（2）是为了推出垂径定理的推论而设立的，通过学生动手画图，观察思考，得出结论.问题（3）是对推论进行强调，使学生抓住实质，注意条件，加深印象.例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位). 解：用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高，AB=37.4，CD=7.2，则AD=AB=×37.4=18.7，OD=OC-CD=R-7.2.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2.即：R2=18.72+(R-7.2)2解得R≈27.9(m)∴赵州桥主桥拱半径约为27.9m.【教学说明】教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.并且在解答过程中，让学生意识到勾股定理在这节课中的充分运用，以及圆的半径、弦、圆心到弦的距离和拱形高之间存在一定的联系.三、随堂演练1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( )A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 .四、课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答.【教学说明】教师应让学生交流总结，然后补充说明，强调定理及其推论的应用. 二次备课
板书设计 第二十四章 圆24.1.2 垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
作业设计与布置 作业类型 作业内容 试做时长
基础性作业 基本性作业（必做）
鼓励性作业（选择）
挑战性作业（选择）
拓展性作业
作业反馈记录
教学反思
时间 时间 时间 时间