北师大版八年级数学上册 第4章 一次函数 单元基础卷 （含详解）

第4章《一次函数》（单元基础卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若点在函数的图象上，则的值是（ ）
A．1 B．－1 C． D．
2．某一次函数的图象经过点（1，2），且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点（-1，y1），（4，y2）在一次函数y=3x-2的图象上，则，，0的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知一次函数不经过第三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．将一次函数y=kx+2的图象向下平移3个单位长度后经过点（-4，3），则k的值为（ ）
A．-1 B．2 C．1 D．-2
6．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象与x轴的交点坐标为（0，4）
D．函数的图象向下平移4个单位长度得到的图象
8．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15
9．如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
10．如图，函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，线段绕点A顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．函数中自变量x的取值范围是________．
12．已知点，都在直线上，则______．
13．若点在直线上，则代数式的值为______．
14．一次函数y=x+m+2的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 _______．
15．若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则化简________．
16．若一次函数y＝kx+2的图象，y随x的增大而增大，并与x轴、y轴所围成的三角形的面积为2，则k＝_____．
17．如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为______．
18．如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知关于的函数，当，为何值时，它是正比例函数？
20．（8分）一次函数（为常数，且）．
（1）若点在一次函数的图象上，求的值；
（2）当时，函数有最大值2，求的值．
21．（10分）如图，已知正比例函数的表达式为y＝﹣x，过正比例函数在第四象限图象上的一点A作x轴的垂线，交x轴于点H，AH＝2，求线段OA的长．
22．（10分）如图，已知点A(6，4)，直线l1经过点B(0，2)、点C(3， 3)，且与x轴交于点D，连接AD、AC，AC与x轴交于点P．
(1) 求直线l1的表达式，并求出点D的坐标；
(2) 在线段AD上存在一点Q．使S△PDQ=S△PDC，请求出点Q的坐标；
(3) 一次函数y=kx+k+5的图象为l2，若点A，D到l2的图象的距离相等，直接写出k的值．
23．（10分）某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共20台来代替人工分拣，两种型号机器人的工作效率和价格如下表：
型号 甲 乙
每台每小时分拣快递件数/件 800 600
每台价格/万元 3 2.5
设购买甲种型号的机器人x台，购买这20台机器人所花的费用为y万元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若要求这20台机器人每小时分拣快递件数总和不少于12700件，则该公司至少需要购买几台甲种型号的机器人？此时所花费的费用为多少万元？
24．（12分）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，在轴上有一点，动点从点以每秒2个单位长度的速度向左移动，
（1）求直线的表达式；
（2）求的面积与移动时间之间的函数关系式；
（3）当为何值时，≌，求出此时点的坐标．
参考答案
一、单选题
1．A
【分析】将x=-2代入一次函数解析式中求出m值，此题得解．
解：当x=-2时，y=-×（-2）=1，
∴m=1．
故选A．
2．D
【分析】设一次函数关系式为y=kx+b，y随x增大而减小，则k<0；图象经过点（1，2），可得k、b之间的关系式．综合二者取值即可．
解：设一次函数关系式为y=kx+b，
∵图象经过点(1,2)，
∴k+b=2；
∵y随x增大而减小，
∴k<0.
即k取负数，满足k+b=2的k、b的取值都可以
故选：D.
3．B
【分析】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出、的值，将其与0比较大小后即可得出结论．
解：∵点（-1，），（4，）在一次函数y=3x-2的图象上，
∴=-5，=10，
∵10＞0＞-5，
∴＜0＜．
故选：B．
4．D
【分析】根据一次函数的图象与k、b的关系列不等式组求解即可．
解：∵一次函数的图象不经过第三象限，
∴，，
∴，
故选：D．
5．A
【分析】根据平移的规律得到y=kx+2-3，然后根据待定系数法即可求得k的值，从而求得正比例函数的表达式．
解：将一次函数y=kx+2的图象向下平移3个单位长度后得到y=kx+2-3=kx-1，
∵平移后的函数图象经过点（-4，3），
∴3=-4k-1，
解得k=-1，
故选：A．
6．B
【分析】根据一次函数的增减性可得，再根据一次函数与轴的交点位于轴负半轴可得，然后根据当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的上方可得，由此即可得出答案．
解：对于一次函数而言，随的增大而减小，
，结论①正确；
一次函数与轴的交点位于轴负半轴，
，结论②错误；
由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
则，结论③错误；
综上，正确的结论有1个，
故选：B．
7．C
【分析】根据一次函数的图象和性质，平移的规律以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断．
解：A、∵k=-2<0，∴函数值随自变量的增大而减小，故选项不符合题意；
B、∵k=-2<0，b=4>0，函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选项不符合题意；
C、当y=0时，x=2，则函数图象与x轴交点坐标是（2，0），故选项符合题意；
D、函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x+4-4=-2x，故选项不符合题意；
故选：C．
8．A
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
解：由图可知：
直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25），
∴方程x+5=ax+b的解为x=20．
故选：A．
9．B
【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y= 2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y= 2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．
解：∵点P (m， 2)是△ABC内部(包括边上)的点．
∴点P在直线y= 2上，如图所示，，
当P为直线y= 2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y= 2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y2 =-x+ 3中令y=2，则x= 1，
∵y1 =x+ 3中令y=2，则x= -1，
∴m的最大值为1， m的最小值为- 1．
则m的最大值与最小值之差为：1- (-1)= 2．
故选：B．
10．C
【分析】过C点作CD⊥x轴于D，如图，先利用一次函数图象上点的坐标特征确定B（0，2），A（1，0），再证明△ABO≌△CAD，得到AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，则C点坐标可求．
解：过C点作CD⊥x轴于D，如图．
∵y＝ 2x＋2的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，
∴当x＝0时，y＝2，则B（0，2），
当y＝0时， 2x＋2＝0，解得x＝1，则A（1，0）．
∵线段AB绕A点顺时针旋转90°，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BAO＋∠CAD＝90°，
而∠BAO＋∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAD．
在△ABO和△CAD中
，
∴△ABO≌△CAD，
∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，
∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3，
∴C点坐标为（3，1）．
故选：C．
二、填空题
11．且
【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．
解：由题意可知：，解得：且，
故答案为：且．
12．2
【分析】分别把A、B的坐标代入，求得、再计算即可．
解：把代入得
＝2m－3，
把代入得
＝2（m＋1）－3＝2m－1，
∴
＝（2m－1）－（2m－3）
＝2m－1－2m＋3
＝2
故答案为：2
13．6
【分析】把点P代入一次函数解析式，可得，化简带值可求出结论．
解：∵点在直线上，
∴，变形得：，
代数式；
故答案为：6．
14．m≤-2
【分析】由一次函数y=x+m+2的图象不经过第二象限，可得k＞0，b≤0，列不等式求解即可．
解：∵一次函数y=x+m+2的图象不经过第二象限，
∴m+2≤0，
解得m≤-2，
故答案为：m≤-2．
15．
【分析】首先根据一次函数的位置确定a和b的值，然后化简二次根式求值．
解：∵若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴b-a＞0，
∴ ，
故答案为-b．
16．1
【分析】如图，根据题意可求出OA．根据一次函数y＝kx+2的图象，y随x增大而增大，即可利用k表示出OB的长，再根据三角形面积公式，即可求出k的值．
解：如图，
令x=0，则y=2，
∴A(0，2),
∴OA=2．
令y=0，则，
∴B(，0)．
∵一次函数y＝kx+2的图象，y随x增大而增大，
∴k＞0，
∴OB=，
∵一次函数y＝kx+2的图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，
∴，即，
解得：．
故答案为：1．
17．16
【分析】先根据勾股定理求出C点的坐标，得到C点平移后的对应点C1的纵坐标为4，与直线 相交，可得C1坐标，由此推出CC1距离，再求出四边形BCC1B1的面积即可．
解：∵A（1，0），B（4，0）
∴AB=3
∵，∠CAB=90°，
∴
∴C（1，4），
∴C点平移后对应点C1的纵坐标为4，
∴把代入解得，
∴CC1=4，
∴，
故答案为：16．
18．或
【分析】根据题意，画出图象，可得当x=2时，y≥1，当x=-2时，y≥3，即可求解．
解：如图，
观察图象得：当x=2时，y≥1，
即，解得：，
当x=-2时，y≥3，
即，解得：，
∴的取值范围是或．
故答案为：或
三、解答题
19．
解：是正比例函数，
且且，
解得，．
即当，时，函数是正比例函数．
20．
解：（1）把（2，-3）代入得，解得；
（2）∵a＜0时，y随x的增大而减小，
则当x=-1时，y有最大值2，把x=-1代入函数关系式得 2=-a-a+1，解得，
所以．
21．
解：∵AH⊥x轴，AH＝2，点A在第四象限，
∴A点的纵坐标为﹣2，
代入得，解得x＝4，
∴A（4，﹣2），
∴OH＝4，
∴OA＝．
22．
(1)解：设l1的表达式为y=kx+b(k≠0)，
∵l1经过点B(0，2)、点C(3， 3)，
∴，解得，
∴l1的函数表达式：y=x+2．
∵点D为l1与x轴的交点，
故令y=0，x+2=0，
解得x=，
∴点D坐标为，0)；
(2)解：由（1）同理可得AD所在直线的一次函数表达式为：，
∵点Q在线段上，
∴设点Q坐标为，其中．
∵，
∴，即，
解得，满足题意．
∴点Q坐标为；
(3)解：∵y=kx+k+5=(k+1)x+5，
∴直线l2过定点(-1，5)，
∵点A，D到l2的图像的距离相等，
∴当l2与线段AD平行或过线段AD中点，
当l2与线段AD平行时，k=；
当l2过线段AD中点(，2)时，
∴2=k+k+5，
解得：k=；
综上，k的值为或．
23．
(1)解：y与x之间的函数关系式为：
y=3x+2.5（20-x），
=3x+50-2.5x
=0.5x+50（0≤x≤20）；
(2)解：由题可得：800x+600（20-x）≥12700，
解得x≥3.5，
∴当x=4时，y取得最小值，
∴y最小=0.5×4+50=52．
∴该公司至少需要购买4台甲种型号的机器人；此时所花费的费用为52万元．
24．
解：解（1）设直线AB的表达式为
将，两点代入得
解得
∴AB的表达式为
（2）
当时
当时
（3）若≌时
当 时， ，此时P的坐标为；
当 时， ，此时P的坐标为；