第二十二章 二次函数 单元测试（含答案）

第二十二章 二次函数
一、选择题
下列函数中，不是二次函数的是
A． B．
C． D．
顶点为 ，且开口方向、形状与函数 的图象相同的抛物线是
A． B．
C． D．
用配方法将 化成 的形式为
A． B．
C． D．
抛物线 经过平移后与抛物线 重合，那么平移的方法可以是
A．向左平移 个单位长度再向下平移 个单位长度
B．向左平移 个单位长度再向上平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度再向下平移 个单位长度
D．向右平移 个单位长度再向上平移 个单位长度
已知抛物线 的对称轴为 ，若点 ，， 在抛物线 上，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
二次函数 的图象与 轴的两个交点的横坐标分别为 和 ，且 ，下列结论正确的是
A． B． C． D．
赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度 是 时，水面宽度 为
A． B． C． D．
如图，将一个小球从斜坡的点 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数 的图象来刻画，斜坡可以用一次函数 的图象来刻画，下列结论错误的是
A．当小球抛出高度达到 米时，小球距 点水平距离为 米
B．小球距 点水平距离超过 米呈下降趋势
C．小球落地点距 点水平距离为 米
D．小球的最大高度为 米
某宾馆共有 间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年 月份，每天的房间空闲数 （间）与定价 （元/间）之间满足 ．若宾馆每天的日常运营成本为 元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出 元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为
A． 元/间 B． 元/间 C． 元/间 D． 元/间
如图，抛物线 与 轴交于点 和 ，与 轴交于点 ．下列结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正确结论的个数为
A． B． C． D．
二、填空题
在二次函数 ，，，， 的图象中，开口向下且对称轴是 轴的函数是 ，顶点是最低点的函数是 ．
已知二次函数的图象经过点 ，，，则这个二次函数的解析式是 ．
若函数 的图象与 轴只有一个公共点，则常数 的值是 ．
抛物线 的顶点在 轴的下方，则 的取值范围是 ．
抛物线 与坐标轴交于 ，， 三点，若 为等腰直角三角形，则 的值为 ．
如图，一名男生推铅球，铅球行进的高度 与水平距离 之间是二次函数的关系．铅球行进起点的高度为 ，行进到水平距离为 时达到最高处，最大高度为 ，则铅球推出的距离为 ．
已知抛物线 的对称轴为直线 ，则 ．
某商品原利润为 元，涨价 元后利润为 元，如果原来每月卖出 件，若每涨价 元，每月就少出售 件，涨价 元后每月出售该商品的总利润 （元）与 之间的函数关系式为 ．
三、解答题
已知抛物线 ．
(1) 写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2) 求抛物线与 轴的交点坐标；
(3) 当 时，直接写出 的取值范围．
已知抛物线 ．
(1) 求证：此抛物线与 轴必有两个不同的交点；
(2) 若此抛物线与直线 的一个交点在 轴上，求 的值．
已知抛物线 ．
(1) 求抛物线与 轴的交点坐标；
(2) 若抛物线与 轴的交点的横坐标的值有一个大于 且小于 ，求 的取值范围．
“疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每份臭豆腐的售价为 元时，每天能卖出 份；当每份臭豆腐的售价每增加 元时，每天就会少卖出 份，设每份臭豆腐的售价增加 元时，一天的营业额为 元．
(1) 求 与 的函数关系式（不要求写出 的取值范围）；
(2) 考虑到顾客可接受价格 元/份的范围是 ，且 为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大？最大营业额是多少元？
定义：在平面直角坐标系中，如果点 和 都在某函数的图象 上，则称点 ， 是图象 的一对“相关点”．例如，点 和点 是直线 的一对相关点．
(1) 请写出反比例函数 的图象上的一对相关点的坐标；
(2) 如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴交于点 ．
①求抛物线的解析式：
②若点 ， 是抛物线 上的一对相关点，直线 与 轴交于点 ，点 为抛物线上 ， 之间的一点，求 面积的最大值．
答案
一、选择题
1. D
2. C
3. D
4. A
5. B
6. C
7. D
8. A
9. B
10. B
二、填空题
11. ，；，
12.
13. 或
14. 且
15.
16.
17.
18. ；
三、解答题
19.
(1) ，
抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
(2) 当 时，，解得 ，，
抛物线与 轴的交点坐标为 ，．
(3) 当 或 时，．
20.
(1) ，
此抛物线与 轴必有两个不同的交点．
(2) 此抛物线与直线 的一个交点在 轴上，
．
，
，．
的值为 或 ．
21.
(1) 抛物线
当 时，，，
即抛物线与 轴的交点坐标为 ，．
(2) 抛物线与 轴的交点的横坐标的值有一个大于 且小于 ，抛物线与 轴的交点坐标为 ，，
解得 ，即 的取值范围是 ．
22.
(1) 由题意得：．
(2) ，即 ，
，
函数的对称轴为：，
，函数有最大值，
当 时，函数随 的增大而增大，而 ，
故 时， 最大，此时， 最大值为：，
即每份 元时，营业额最大，最大营业额是 元．
23.
(1) ，当 时，；当 时，．
和 ．
(2) ① 抛物线 的对称轴为直线 ，
，解得 ，
抛物线 与 轴交于点 ，
，
抛物线的解析式为 ；
②由相关点定义得，点 ， 关于直线 对称．
又 直线 与 轴交于点 ，
直线 的解析式为 ．
代入抛物线的解析式 中，并整理，得 ，
解得 ，，
， 两点坐标为 和 ．
设点 的横坐标为 ，则点 ，
过 作 轴交直线 于 点，
则 点坐标为 ，
即当 时， 的面积最大，最大值为 ．