2024-2025学年新疆石河子市石河子一中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年新疆石河子一中高二（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.过原点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
3.若两平行直线：与：之间的距离是，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离( )
A. B. C. D.
5.平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则( )
A. B.
C. D.
6.已知直线：，：，若，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
7.数学家欧拉于年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为( )
A. B. C. D.
8.为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则下列结论正确的是( )
A. 向量与向量的夹角为
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量与向量，共面
10.已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点与，不重合，则以下说法正确的是( )
A. 点的坐标为 B.
C. D. 的最大值为
11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，若一点在底面内包括边界移动，且满足，则( )
A. 与平面的夹角的正弦值为
B. 点到的距离为
C. 线段的长度的最大值为
D. 与的数量积的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过两条直线：与：的交点，倾斜角为的直线方程为______用一般式表示
13.平面上三个点，，，写出平面的一个法向量为______．
14.已知为直线上的一点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正四面体的棱长为，，分别为棱，的中点，点为线段的中点．
用，，表示；
求的值．
16.本小题分
在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为．
求直线的方程；
求直线的方程及点的坐标．
17.本小题分
已知直线：．
求证：直线经过一个定点；
若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
18.本小题分
在如图所示的平行六面体中，，．
求的长度；
求二面角的大小；
求平行六面体的体积．
19.本小题分
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，．
求的长；
若为的中点，求二面角的余弦值；
若为上一点，且满足，求．
参考答案
1.
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13.答案不唯一
14.
15.解：如图所示：
所以，，由于点为的中点，
故，
故．
由得：，
所以．
16.解：与互相垂直，且的斜率为，
直线的斜率为，
结合，可得的点斜式方程：，
化简整理得：，
所以直线的方程为．
由和联解，得
由此可得直线方程为：，即，
，关于角平分线轴对称，
直线的方程为：，
直线方程为，
将、方程联解，得，，
因此，可得点的坐标为．
17.证明：直线：，可化为，
对任意实数，当时，恒有，所以直线过定点；
解：根据题意可得不为，直线：交轴于点，交轴于点，
而点，分别在，轴的正半轴上，即，解得，
则的面积，
当且仅当，即时取等号，
因此，当时，，此时直线的方程为．
18.解：根据题意可得，
则
，
；
如图：
作，，则等于二面角的一个平面角，
因为，，
则，
易知
，
所以，，所以，，
即二面角的大小为；
由知平面，而四边形的面积，
则平行六面体的体积．
19.解：在四棱锥中，底面为矩形，
底面，易得，，两两相互垂直，
易得平面，平面平面，
又，为上一点，
且，，，
，
，又，，
；
若为的中点，分别延长，交点，
底面，过作于点，连接，
则根据三垂线定理可得为二面角的补角，
又，底面为矩形，且由知，
为等腰直角三角形，，
，
，
二面角的余弦值为；
过作于点，由知平面平面，
平面，又根据新定义可知，
又，，
，，，，
，
，，
过作，且，在上取靠近的五等分点，
，
则易知，且，，
，且，
四边形为平行四边形，，又平面，
平面，
又，，
．
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