2024-2025学年云南省昭通市昭通一中高二（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省昭通一中高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
2.一元二次不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
3.是虚数单位，复数( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.在中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，平行六面体各棱长为，且，动点在该几何体内部，且满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为已知函数其中，，若，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增
D. 过点的直线与的图象一定有公共点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，，，，则下列关系正确的是( )
A. B.
C. D.
10.在正方体中，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 平面
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到平面的距离是点到平面的距离的倍
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是周期函数
B. 若，则
C. 在区间上是增函数
D. 函数在区间上至少有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某班男女生的比例为：，全班的平均身高为，若女生的平均身高为，则男生的平均身高为______．
13.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______．
14.年月日神舟十七号载人飞船在长征二号遥十七运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭除推进剂外的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比已知甲型火箭喷流相对速度为．
当总质比为时，甲型火箭的最大速度为______；
若经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的喷流相对速度提高到原来的倍，总质比变为原来的若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为______．
所有结果保留整数，参考数据：，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的解析式；
求函数的单调增区间．
16.本小题分
对名参加竞赛选拔学生的成绩作统计满分：分，将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图估计这名学生成绩的众数和平均数求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表；
现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取人若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为分和，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差．
17.本小题分
在一场娱乐晚会上，有位民间歌手至号登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众需彼此独立地在选票上选名歌手，其中观众甲是号歌手的歌迷，他必选号，不选号，另在至号中随机选名，观众乙和丙对位歌手的演唱没有偏爱，因此在至号中随机选名歌手．
求观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率；
表示号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求的概率．
18.本小题分
如图，矩形中，，，分别在线段和上，，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若，求证：；
Ⅲ求四面体体积的最大值．
19.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若，求的面积的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
所以．
，
所以是对称轴为，开口向上的二次函数，
且的解集为，
故在上单调递减，在单调递增．
当时，函数是增函数，
故函数在上单调递减，在单调递增；
当时，
函数是减函数，函数在上单调递增，在单调递减；
16.解：根据频率分布直方图估计这名学生成绩的众数为分；
平均数约为分；
第三组与第四组的频率之比为：，
设第四组的学生实际成绩的平均数与方差分别为，，
根据题意可得，解得，
，
解得，
第四组的学生实际成绩的平均数为分，方差为．
17.解：设事件表示“观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手”，
观众甲选中号歌手的概率为，
观众乙未选中号歌手的概率为，
所以；
用事件，，分别表示“甲、乙、丙选中号歌手”，
根据题意，，，
意味着甲、乙、丙三人中只有人选中号歌手，
所以．
18.Ⅰ证明：因为四边形，都是矩形，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面
Ⅱ证明：连接，设，
因为平面平面，平面平面，且，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又矩形中，，
所以矩形为正方形，
所以 ，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以
Ⅲ解：设，则，其中，
由Ⅰ得平面，
所以四面体的体积为：
，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故求四面体体积的最大值为
19.解：由，得，
由余弦定理得，
再由正弦定理及倍角公式得
，
得，即，
故在锐角中有；
，，则，
由正弦定理，有，
所以，
又是锐角三角形，有
得，则，
所以，
即的面积的取值范围为．
第1页，共1页