2024-2025学年天津市蓟州一中高三（上）第一次学情调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市蓟州一中高三（上）第一次学情调研数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，或，则( )
A. 或 B.
C. D. 或
2.设，是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.下列结论错误的是( )
A. 若随机变量，满足，则
B. 数据，，，，，，的第百分位数为
C. 用简单随机抽样的方法从个个体中抽取个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到依据的独立性检验，可判断与有关
4.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，且，，，则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于( )
A. B. C. D.
8.下列命题正确的个数为( )
长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为；
对于命题：，，则命题的否定：，；
“”是“”的充分不必要条件；
已知，，，，且，则的值为．
A. B. C. D.
9.设表示集合的子集个数，，，其中给出下列命题：
当时，是函数的一个对称中心；
时，函数在上单调递增；
函数的值域是；
对任意的实数，任意的正整数，恒成立．
其中是真命题的为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知，且复数是纯虚数，则 ．
11.二项式的展开式中常数项为______．
12.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为______；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为______．
13.已知函数的最小正周期为，其图像向左平移个单位长度后所得图像关于轴对称，则 ______．
14.若，则的最小值为______．
15.已知，函数若对任意，恒成立，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若，求的面积．
已知，且为锐角，求的值．
17.本小题分
如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的正弦值；
若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是等边三角形，平面，，，，分别是，，，的中点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的大小；
线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知常数，函数．
Ⅰ讨论在区间上的单调性；
Ⅱ若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数注：是自然对数的底数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，函数在区间内有唯一的极值点．
(ⅰ)求实数的取值范围；
(ⅱ)求证：在区间内有唯一的零点，且．
参考答案
1.
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3.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.
16.解：，
由正弦定理可得，
又，
，
，，
，；
，
由余弦定理可得，
整理可得，
又，解得，
；
因为为锐角，所以，
又因为，
所以为钝角，
则，
．
17.解：证明：连接，因为，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，
因为点和分别为和的中点，所以且，
因为，，为的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
因为平面，，
故以为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，
，，，
，
设为平面的法向量，
则，即，取，
设为平面的法向量，
则，即，取，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以，
即平面与平面夹角的正弦值为．
设，即，
则．
从而．
由知平面的法向量为，
而直线与平面所成的角为，
所以，
即，
整理得，解得或，
因为，
所以，所以，，
由知是平面的法向量，
点到平面的距离为．
18.解：证明：是等边三角形，是的中点，
，
又平面，平面，
，
又，平面，平面，
平面；
由得平面，连接，建立以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：
底面是边长为的正方形，则，，，，，，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
平面的法向量为，
又平面的法向量为，
，，
又平面与平面的夹角为锐角，
平面与平面的夹角为；
假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，设，
由得平面的法向量为，则直线与平面的法向量所成的夹角为，
，，
，则，
，
，，即，
，
关于的方程无解，
故线段上不存在点．
19.解：Ⅰ．
，
，
当时，即时，恒成立，则函数在单调递增，
当时，由得，
若得，，
若得，，
则函数在单调递减，在单调递增．
Ⅱ由Ⅰ知，当时，，此时不存在极值点．
因此要使存在两个极值点，，则必有，
又的极值点可能是，，
由的定义域可知且，
且，解得，
则，分别为函数的极小值点和极大值点，
．
令，由且得，
当时，；当时，．
令．
当时，，，
故在上单调递减，，
当时，；
当，，
故在上单调递减，，
当时，；
综上所述，的取值范围是．
20.解：，
，
切线的斜率，又，
切线方程为．
，
当时，当时，，，
，
在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
当时，
，在上递增，
又，，
在上有唯一零点，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
函数在区间内有唯一极值点，符合题意，
综上，的取值范围是．
(ⅱ)证明：由(ⅰ)知，当时，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
时，，则，
又，
在上有唯一零点，
即在上有唯一零点．
由(ⅰ)知，．
，
则
，．
设，，
则，
，，
，
在为单调递增，又，，
又时，，
．
．
由前面讨论知，，在单调递增，
．
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