2024-2025学年江西省赣州市全南中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年江西省赣州市全南中学高三（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，是函数的导函数，则函数的部分图象是( )
A. B.
C. D.
4.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位后得到的函数图象关于原点中心对称，则( )
A. B. C. D.
5.定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为( )
A. B.
C. D.
6.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，年提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数称为常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的常数约为参考数据：，
A. B. C. D.
7.已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若对任意的，，且，都有，则的最小值是( )
注：为自然对数的底数
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 若，则
D. 若，，且，则的最小值为
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 是曲线的一个对称中心
C. 是曲线的一条对称轴 D. 在区间上单调递增
11.已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则( )
A. 的图象关于点对称 B.
C. D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数是偶函数，则的最小值是______．
13.已知数列满足，，若，则数列的前项和______．
14.若实数，，，满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
求的单调区间和极小值．
16.本小题分
如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形记．
用分别表示，的长度；
当为何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积．
17.本小题分
已知函数的所有正数零点构成递增数列
求数列的通项公式；
设数列满足，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，对，有．
求的值及的单调递增区间；
若，，求；
将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象若，，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若函数与的图象关于点对称，求的解析式；
当时，，求实数的取值范围；
判断函数在的零点个数，并说明理由．
参考答案
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15.解：因为，定义域为，
所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
切线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为．
令，解得或，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
所以在出取得极小值，极小值为．
综上所述，单调递增区间为和，单调递减期间为，极小值为．
16.解：已知是半径为，圆心角为的扇形，
是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，
所以，
所以；
设矩形的面积为，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，．
17.解：已知函数，
令，
则，
则，，
则，，
又函数的所有正数零点构成递增数列，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，
即数列的通项公式为；
由可得，
则，
，
由可得，
则．
18.解：，
因为对，有，可得当时，取得最值，
所以，，
可得，，又，
所以，
所以，
由，，可得，，
所以的单调递增区间为．
由，，，
可得，，
所以，
所以．
将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到，
函数的图象，进而可得，
令，，
只需，
令，
因为，所以，
所以，
因为，可得 ，
所以，
因为，所以当时，，
所以，即，解得或．
所以实数的取值范围为或．
19.解：由题意得，．
由题意得，，，
令，解得，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
由于时，，
所以实数的取值范围为．
令，则，整理得，
令，则，
当时，所以在上单调递减，
又，
所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点．
当时，，此时函数无零点．
综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为．
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