必修第一册北师大版第二章单元测试卷（含解析）

第二章　函数　单元检测卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=+的定义域为 (　　)
A.{x|x>-1} B.{x|x≥1} C.{x|x≥0} D.{x|x≥-1}
2.已知≈1.414 21,如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字,则f(2)+f(4)= (　　)
A.5 B.6 C.3 D.2
3.函数y=x|x|的图象可能是 (　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　D
4.函数f(x)= (　　)
A.是奇函数且在区间(,+∞)上单调递增
B.是奇函数且在区间(,+∞)上单调递减
C.是偶函数且在区间(,+∞)上单调递增
D.是偶函数且在区间(,+∞)上单调递减
5.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图1所示,则下列说法正确的是 (　　)
图1　　　
A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点
6.对于任意实数a,b,定义:F(a,b)=若函数f(x)=x2,g(x)=x+2,则函数G(x)=F(f(x),g(x))的最小值为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
7.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有 (　　)
A.f(-1)>f()>f(-π) B.f()>f(-1)>f(-π) C.f(-π)>f(-1)>f() D.f(-1)>f(-π)>f()
8.已知函数f(x)=ax2-x+1(a≠0),若对任意x1,x2∈[1,+∞)且x1≠x2,都有 >1,则实数a的取值范围为 (　　)
A.[1,+∞) B.(0,1] C.[2,+∞) D.(0,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中,定义域是其值域子集的有 (　　)
A.y=x+6 B.y=-x2-2x+5 C.y= D.y=-1
10.德国数学家狄利克雷在1837年时提出:如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,那么y是x的函数.这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得取值范围中的每一个x,有一个确定的y和它对应就行了,不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示,例如狄利克雷函数D(x),即:当自变量取有理数时,函数值为1;当自变量取无理数时,函数值为0.下列关于狄利克雷函数D(x)的性质表述正确的是 (　　)
A.D(π)=1 B.D(x)的值域为{0,1}
C.D(x)的图象关于直线x=1对称 D.D(x)的图象关于直线x=2对称
11.已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+,且f()=0,当x>时,f(x)>0.则下列结论中正确的是 (　　)
A.f(0)=- B.f(-1)=-
C.f(x)为R上的减函数 D.y=f(x)+为奇函数
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=若f(x0)=8,则x0=　　　　　.
13.我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 ml,已知一驾驶员某次饮酒后体内每100 ml血液中的酒精含量y(单位:mg)与时间x(单位:h)的关系是:当014.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,如果对于任意的x∈[1,2],f(ax+1)≤f(x-3)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在①a=-2;②a=1;③a=5这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成解答.
已知函数f(x)=(x-a)2-3|x-1|-b,且　　　　.
(1)判断f(x)的单调性;
(2)若f(x)的图象与x轴有两个交点,求实数b的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(15分)已知幂函数f(x)=(k2+k-1)·x(2-k)(1+k),且f(2)(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式;
(2)对于(1)中的函数f(x),是否存在正数m,使函数g(x)=1-f(x)+2mx在区间[0,1]上的最大值为5 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
17.(15分)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y), f(2)=1.
(1)求证:f(8)=3;
(2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.
18.(17分)我们把函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的差称为f(x)在区间[a,b]上的极差,记作d(a,b).
(1)若f(x)=x2-2x+2,求d(1,2);
(2)若f(x)=x+,且d(1,2)≠|f(2)-f(1)|,求实数m的取值范围.
19.(17分)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)若f(x)=x3-3x2, ①求此函数图象的对称中心; ②求f(-2 020)+f(-2 021)+f(2 022)+f(2 023)的值;
(2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.
第二章　函数　单元检测卷　参考答案
1.B　由题意知 解得x≥1.
2.C　根据题意,对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字,则f(2)=1,f(4)=2,则f(2)+f(4)=3,故选C.
3.C　因为函数y=x|x|为奇函数,故排除A,B,D,选C.
4.A　∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,f(-x)==-f(x),∴f(x)是奇函数,排除C,D.∵f(2)=,f(1)=3,f(2)>f(1),排除B.选A.
5.D　从题图可以看出甲、乙的出发时间相同;甲、乙两人所走的路程相同,即s甲=s乙,故可排除A,B.从题图中的横坐标可以看出甲用的时间小于乙用的时间,故甲先到达终点,而两人的路程相同,所以甲的速度大于乙的速度,故D正确,C错误.
6.B　 由题意可得G(x)=F(f(x),g(x))=
当x≥2或x≤-1时,G(x)≥1;
当-1所以G(x)≥1,因此G(x)的最小值是1.
7.A　函数y=f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),f(-π)=f(π),又函数在区间[0,4]上单调递减,所以f(1)>f()>f(π),所以f(-1)>f()>f(-π).
8.A　任取x1,x2∈[1,+∞),不妨设x1>x2,则由>1,可得f(x1)-x1>f(x2)-x2,则y=f(x)-x在[1,+∞)上单调递增.∵f(x)-x=ax2-2x+1的图象的对称轴为直线x=,∴解得a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞).
9.AC　对于A,y=x+6的定义域、值域均为R,符合要求;
对于B,y=-x2+2x+5的定义域为R,值域为(-∞,6],不符合要求;
对于C,y=的定义域为[1,+∞),值域为[0,+∞),符合要求;
对于D,y=-1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),不符合要求.
故定义域是其值域子集的有A,C.
10.BCD　由题意可得D(x)=由于π为无理数,则D(π)=0,故A错误;
结合函数D(x)的定义及分段函数的性质可知,函数D(x)的值域为{0,1},故B正确;
结合函数D(x)的定义可知,当x∈Q时,D(x)=1,相关图象关于直线x=1,x=2都对称,当x为无理数时,D(x)=0,相关图象关于直线x=1,x=2都对称,故C,D正确.故选BCD.
11.ABD　令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+,即f(0)=-,故A正确;
因为f()=0,令x=y=,得f(1)=f()+f()+=,令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)+,
即+f(-1)+=-,解得f(-1)=-,故B正确;
取y=-1,得f(x-1)=f(x)+f(-1)+,即f(x-1)-f(x)=f(-1)+=-1<0,即f(x-1)令y=-x,得-=f(0)=f(x)+f(-x)+,即f(x)++f(-x)+=0,即y=f(x)+为奇函数,故D正确.
12.4　若0≤x0≤2,由-4=8,解得x0=-2或x0=2,均不符合题意,舍去;
若x0>2,由2x0=8,解得x0=4.
综上可得,x0=4.
13.5.5　根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可,当020,当x=时,函数值为30,大于20,且当014.[-1,0]　由题意可得|ax+1|≤|x-3|在x∈[1,2]上恒成立,即有|ax+1|≤3-x,即x-3≤ax+1≤3-x,
所以1-≤a≤-1在x∈[1,2]上恒成立.
由y=1-在x∈[1,2]上单调递增,可得当x=2时,y取得最大值,最大值为y=1-2=-1;
由y=-1在x∈[1,2]上单调递减,可得当x=2时,y取得最小值,最小值为y=1-1=0.
故-1≤a≤0.
15.f(x)=(x-a)2-3|x-1|-b=
选①.
(1)当x≥1时,函数y=x2-(2a+3)x+a2-b+3图象的对称轴为直线x=-,且-≤1,
所以f(x)在[1,+∞)上单调递增.
当x<1时,函数y=x2-(2a-3)x+a2-b-3图象的对称轴为直线x=-,且-≤1,所以f(x)在(-∞,-)上单调递减,在[-,1)上单调递增.
综上所述,数形结合可知,f(x)在(-∞,-)上单调递减,在[-,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知,f(x)min=f(-)=-b-.
因为f(x)的图象与x轴有两个交点,所以f(x)min<0,
即-b-<0,所以实数b的取值范围是(-,+∞).
选②.
(1)当x≥1时,因为函数y=x2-(2a+3)x+a2-b+3图象的对称轴为直线x=,且>1,所以f(x)在[1,)上单调递减,在[,+∞)单调递增.
当x<1时,因为函数y=x2-(2a-3)x+a2-b-3图象的对称轴为直线x=-,且-<1,所以f(x)在(-∞,-)上单调递减,在[-,1)上单调递增.
综上所述,f(x)在(-∞,-),[1,)上单调递减,在[-,1),[,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知,f(-)=-b-,f()=-b-=f(-).
因为f(x)的图象与x轴有两个交点,所以f()=f(-)=0或f(1)<0.
由-b-=0或f(1)=-b<0,得b=-或b>0,
所以实数b的取值范围是{-}∪(0,+∞).
选③.
(1)当x≥1时,函数y=x2-(2a+3)x+a2-b+3图象的对称轴为直线x=,且>1,所以f(x)在[1,)上单调递减,在[,+∞)上单调递增.
当x<1时,函数y=x2-(2a-3)x+a2-b-3图象的对称轴为直线x=,且>1,
所以f(x)在(-∞,1)上单调递减.
综上所述,数形结合可知f(x)在(-∞,)上单调递减,在[,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知,f(x)min=f()=-b-.
因为f(x)的图象与x轴有两个交点,所以f(x)min<0.
由-b-<0,得b>-,
所以实数b的取值范围是(-,+∞).
16.(1)∵f(x)是幂函数,故k2+k-1=1,∴k=-2或k=1.
当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)当k=-2时,f(x)=x-4,不满足f(2)故f(x)=x2.
(2)∵g(x)=1-f(x)+2mx=-x2+2mx+1,
∴g(x)图象开口方向向下,对称轴方程为x=m(m>0).
①当0②当m≥1时,g(x)在区间[0,1]上递增,∴g(x)max=g(1)=2m=5,∴m=,符合题意.
综上所述,m=.
17.(1)由题意,得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2),∵f(2)=1,∴f(8)=3.
(2)不等式可化为f(x)>f(x-2)+3.
由(1)知f(8)=3,∴f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16).
∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
∴解得2故原不等式的解集为{x|218.(1)由f(x)=x2-2x+2图象的对称轴为直线x=1,可得f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(1)=1,所以d(1,2)=2-1=1.
(2)由d(1,2)≠|f(2)-f(1)|,可知f(x)在[1,2]上不为单调函数.
若m=0,则f(x)=x,在[1,2]上单调递增,不符合题意.
若m<0,则f(x)=x-,在[1,2]上单调递增,不符合题意.
故m>0,此时f(x)在x=处取得最小值,则1<<2,可得119.(1)①设函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心为P(a,b),g(x)=f(x+a)-b,则g(x)为奇函数,
故g(-x)=-g(x),故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b,
即f(-x+a)+f(x+a)=2b,即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b,整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0,故解得
所以函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心为(1,-2).
②因为函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心为(1,-2),
所以f(-x+1)+f(x+1)=-4,
故f(-2 020)+f(-2 021)+f(2 022)+f(2 023)=[f(-2 020)+f(2 022)]+[f(-2 021)+f(2 023)]=[f(-2 021+1)+f(2 021+1)]+[f(-2 022+1)+f(2 022+1)]=-4×2=-8.
(2)推论:函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.(答案不唯一)