必修第一册北师大版第四章单元测试卷（含解析）

第四章　对数运算与对数函数　单元检测卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合M={y|y=2x},P={x|y=log2x-1},则M∩P= (　　)
A.(,+∞) B.(,1)∪(1,+∞) C.(,+∞) D.(,1)∪(1,+∞)
2.已知2x=3y=36,则+= (　　)
A.2 B. C.1 D.-1
3.围棋棋盘共19行19列,361个交叉点,每个交叉点上可能出现黑、白、空三种情况,因此棋盘交叉点上共有3361种不同的情况.我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书‘万’字五十二”种,即10 00052.下列最接近的是(lg 3≈0.477) (　　)
A.10-26 B.10-32 C.10-36 D.10-25
4.若函数f(x)=ax-k·a-x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga(x+k)的大致图象是 (　　)
　A　　　　　B　　　　　C　　　　D　　
5.已知函数y=loga(3-ax)在[0,1]上单调递减,则a的取值范围是 (　　)
A.(0,1) B.(1,3) C.(0,3) D.[3,+∞)
6.已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f()=2,则不等式f(log4x)>2的解集为(　　)
A.(0,)∪(2,+∞) B.(2,+∞) C.(0,)∪(,+∞) D.(0,)
7.已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则 (　　)
A.a8.a克糖水中含有b克糖,糖的质量与糖水的质量比为,这个质量比决定了糖水的甜度,如果再添加m克糖,生活经验告诉我们糖水会变甜,对应的不等式为>(a>b>0,m>0).若x1=log32,x2=log1510,x3=log4520,则 (　　)
A.x1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若1<<,则下列结论中正确的是 (　　)
A.logab>logba B.|logab+logba|>2 C.(logba)2<1 D.|logab|+|logba|>|logab+logba|
10.设函数f(x)=lox,下列四个命题正确的是 (　　)
A.函数f(|x|)为偶函数 B.若f(a)=|f(b)|,且a>0,b>0,a≠b,则ab=1
C.函数f(-x2+2x)在(1,3)上单调递增 D.若011.若函数f(x)的定义域为R,且满足对任意的x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),则称f(x)为“V形函数”;若函数g(x)的定义域为R,g(x)恒大于0,且对任意的x1,x2∈R,有lg g(x1+x2)≤lg g(x1)+lg g(x2),则称g(x)为“对数V形函数”,则下列结论正确的是 (　　)
A.当f(x)=2x时,f(x)为“V形函数”
B.当f(x)=x2时,f(x)为“V形函数”
C.当g(x)=x2+2时,g(x)是“对数V形函数”
D.若f(x)是“V形函数”,且满足对任意的x∈R,有f(x)≥2,则f(x)为“对数V形函数”
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知正实数a满足aa=(9a)8a,则loga(3a)的值为　　　　.
13.已知函数f(x)=ln x和g(x)=ex的图象与函数y=-x+2的图象在第一象限内的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=　　　　.
14.函数f(x)满足ln x=,且x>e.函数f(x)的解析式为　　　　;若f(x1)+f(x2)=1,则f(x1x2)的最小值为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知　　　　　　　　,a,b∈R.
①f(x)=ln(kx-10k+1)+过定点(a,b);
②f(x)=ax+b,f-1(x)=lg(x-);
③lg a,lg b是方程x2-x-=0的两个根.
(1)从①②③中任选一个填入上述横线,并求(lg )2的值;
(2)若对于(1)中所求结果,有logn(-x2+2)≤(lg)2恒成立,求n的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(15分)已知f(x)=(lox)2-2lox+4,x∈[2,4].
(1)设t=lox,x∈[2,4],求t的最大值与最小值;
(2)求f(x)的值域.
17.(15分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=lo(-x+1).
(1)求f(0),f(1);
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.
18.(17分)已知函数g(x)=是奇函数,f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数.
(1)求m+n的值;
(2)设h(x)=f(x)+x,若g(x)>h[log4(2a+1)]对任意的x≥1恒成立,求实数a的取值范围.
19.(17分)对于定义在区间[m，n]上的两个函数f(x)和g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有|f(x)-g(x)|≤1成立，则称函数f(x)与g(x)在[m，n]上是“友好”的，否则称为“不友好”的.已知函数f(x)=loga(x-3a)，g(x)=loga(a＞0，a≠1).
(1)若f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围;
(2)讨论函数f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是否“友好”.
第四章　对数运算与对数函数　单元检测卷　参考答案
1.D　集合M表示函数y=2x的值域,为(0,+∞);集合P表示函数y=log2x-1的定义域,由解得x>且x≠1,则P=(,1)∪(1,+∞).故M∩P=P,选D.
2.B　∵2x=3y=36,∴x=log236,y=log336,∴+=log362+log363=log366=.
3.C　根据题意lg 3≈0.477,对于,可得lg =lg 3361-lg 10 00052=361×lg 3-52×4≈-35.8,则≈10-35.8,分析选项,可得C中10-36最接近.故选C.
4.B　∵函数f(x)=ax-k·a-x(a>0,且a≠1)在R上是奇函数,∴f(0)=0,即0=1-k,∴k=1.
又f(x)=ax-a-x在R上是增函数,∴a>1.
函数g(x)=loga(x+1)的图象可看作是函数y=logax的图象向左平移一个单位长度得到的,故函数g(x)=loga(x+1)(a>1)在定义域上是增函数,图象恒过点(0,0),只有B选项中的图象符合.
5.B　记u=3-ax,当01时,u=3-ax是减函数,y=logau是增函数,所以y=loga(3-ax)在[0,1]上单调递减,又3-ax在区间[0,1]上恒大于0,所以3-a>0,a<3,所以16.A　由题意知,f(log4x)>2,即f(log4x)>f(),又偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴log4x>=log42或log4x<-=log4,∴x>2或07.A　因为()5=84>55,所以>5,所以=log8>log85=b,即b<.因为(1)5=134<85,所以1<8,所以=log131.又2 187=37<55=3 125,所以lg 37,所以b=>,所以c>b>a.
8.B　因为x1=log32,x2=log1510,x3=log4520,所以x1=,x2==,x3=,根据题意,当a>b>0,m>0时,>成立,又lg 3>lg 2>0,lg 5>0,所以>,>,即x2>x1,x3>x1.又x2-x3=-=>0,所以x2>x3,所以x19.ABC　∵1<<,∴0则logab>1,0logba,故A正确;
易知logab·logba=1,由基本不等式得,logab+logba>2=2,故B正确;
由上述分析可知,0<(logba)2<1,|logab|+|logba|=|logab+logba|,故C正确,D错误.
10.ABD　由题知,f(x)=x,x>0,函数f(|x|)=|x|,∵f(|-x|)=f(|x|),∴f(|x|)为偶函数,A正确;
若f(a)=|f(b)|,且a>0,b>0,a≠b,则f(a)=|f(b)|=-f(b),∴a+b=(ab)=0,∴ab=1,因此B正确;
函数f(-x2+2x)=(-x2+2x),由-x2+2x>0,解得0∴函数的定义域为(0,2),因此在(1,3)上不具有单调性,C不正确;
若01+a>1>1-a>0,∴f(1+a)<011.CD　对于A,f(x1+x2)=,f(x1)+f(x2)=+≥,当且仅当x1=x2时取等号,显然f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2)不一定成立,故A错误.
对于B,f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=(x1+x2)2-(+)=2x1x2,
∵x1,x2∈R,∴2x1x2>0可能成立,f(x)不是“V形函数”,故B错误.
对于C,若要使对任意的x1,x2∈R,有lg g(x1+x2)≤lg g(x1)+lg g(x2),
只需使lg g(x1+x2)-lg g(x1)-lg g(x2)=lg[(x1+x2)2+2]-lg(+2)-lg(+2)≤0,即(x1+x2)2+2≤(+2)(+2),
即+(x1-x2)2+2≥0,显然成立,∴g(x)是“对数V形函数”,故C正确.
对于D,f(x)是“对数V形函数”,证明如下.
∵f(x)是“V形函数”,∴对任意的x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2).
∵对任意的x∈R,有f(x)≥2,∴f(x1)≥2,f(x2)≥2,则0<+≤1,∴0∴2≤f(x1+x2)≤f(x1)f(x2),∴lg f(x1+x2)≤lg f(x1)+lg f(x2),∴f(x)是“对数V形函数”,故D正确.
12.　由正实数a满足aa=(9a)8a,得alogaa=8aloga(9a),∴1=8(loga9+1),∴loga9=-,∴loga3=-.
则loga(3a)=1+loga3=1-=.
13.2　函数f(x)=ln x和g(x)=ex互为反函数,图象关于直线y=x对称,它们的图象与y=-x+2的图象在第一象限内的交点M,N也关于直线y=x对称,由得x=1,所以=1,所以x1+x2=2.
14.f(x)=　　∵ln x=,∴ln x-ln x·f(x)-1-f(x)=0,∴f(x)=.
∵f(x1)+f(x2)=1,
∴+===1,
∴ln x1ln x2=ln(x1x2)+3.
∵x1,x2均大于e,∴ln x1,ln x2均大于1,
∴ln x1ln x2=ln(x1x2)+3≤()2=(当且仅当ln x1=ln x2时等号成立),
∴[ln(x1x2)]2-4ln(x1x2)-12≥0,∴ln(x1x2)≤-2(舍去)或ln(x1x2)≥6,∴ln(x1x2)≥6.
∴f(x1x2)==1-≥1-=(当且仅当即x1=x2=e3时等号成立).
15.(1)选①.
f(x)=ln[k(x-10)+1]+,则f(x)过定点(10,),即a=10,b=,∴(lg)2=4.
选②.
f(x)=ax+b,则f-1(x)=loga(x-b),又f-1(x)=lg(x-),∴a=10,b=,∴(lg)2=4.
选③.
由根与系数的关系可知,lg a+lg b=,lg a·lg b=-,
故(lg)2=(lg a+lg b)2-4lg a×lg b=2+4×=4.
(2)易知logn(-x2+2)≤4恒成立.
若0若n>1,logn(-x2+2)≤logn2,则logn2≤4,即n4≥2,解得n≥.
综上,n∈[,+∞).
16.(1)因为函数t=lox在[2,4]上单调递减,所以tmax=lo2=-1,tmin=lo4=-2.
(2)令t=lox,x∈[2,4],由(1)得t∈[-2,-1],则f(x)可转化为g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,t∈[-2,-1].因此当t=-2,即x=4时,f(x)max=g(t)max=12;
当t=-1,即x=2时,f(x)min=g(t)min=7.
故函数f(x)的值域为[7,12].
17.(1)由题意知f(0)=lo1=0, f(1)=f(-1)=lo2=-1.
(2)令x>0,则-x<0, ∴f(-x)=lo(x+1)=f(x),∴当x>0时,f(x)=lo(x+1).
∴f(x)=
(3)易知f(x)在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,又f(a-1)<-1=f(1),
∴|a-1|>1, ∴a>2或a<0.
故实数a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).
18.(1)∵g(x)是奇函数,且定义域为R,∴g(0)=0,
即=0,解得n=1.
∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),
即log4(4-x+1)-mx=log4(4x+1)-(m+1)x=log4(4x+1)+mx,∴(2m+1)x=0.
又x∈R,∴2m+1=0,即m=-.∴m+n=.
(2)∵h(x)=f(x)+x=log4(4x+1),
∴h[log4(2a+1)]=log4(2a+2),
又g(x)==2x-2-x在区间[1,+∞)上单调递增,
∴当x≥1时,g(x)min=g(1)=.
由题意得>log4(2a+2),即2a+2<,解得a<3,
又2a+1>0,∴a>-,∴-故实数a的取值范围是{a|-19.(1)f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上都有意义，
则必须满足，解得a＜1，又a＞0且a≠1，
所以a的取值范围为(0，1).
(2)假设存在实数a，使得f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，则|f(x)-g(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)|≤1，
即-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1，
因为a∈(0，1)，则2a∈(0，2)，a+2＞2，所以[a+2，a+3]在x=2a的右侧，
由复合函数的单调性可得y=loga(x2-4ax+3a2)在区间[a+2，a+3]上为减函数，
从而当x=a+2时，ymax=loga(4-4a)，当x=a+3时，ymin=loga(9-6a)，
所以，即，解得0＜a≤，
所以当0＜a≤时，f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是“友好”的;
当 ＜a＜1时，f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是“不友好”的.