必修第一册人教A版第三章单元测试卷（含解析）

第三章　函数的概念与性质　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=的值域是 (　　)
A.[0,+∞) B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
2.已知≈1.414 21,如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字,则f(2)+f(4)= (　　)
A.5 B.6 C.3 D.2
3.已知函数f(x)=若f()+f(1)=0,则a= (　　)
A.-6 B.-3 C.3 D.6
4.若函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1-a,2a]上的偶函数,则f(x)的最大值为 (　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
5.如图1是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]内的大致图象,则该函数是 (　　)
图1
A.y= B.y= C.y= D.y=
6.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+)=f(-x),且当0≤x≤1时,f(x)=x3,则f()= (　　)
A.- B.- C. D.
7.函数y=f(x)在区间(0,2)上单调递增,函数y=f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是 (　　)
A.f(1)C.f()8.已知函数f(x)=若存在唯一的整数x,使得(2 022f(x)-2 021)(x-a)<0成立,则所有满足条件的整数a的取值集合为 (　　)
A.{-2,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则 (　　)
A.函数f(x)在定义域内为增函数 B.函数f(x)为偶函数
C.当x>1时,f(x)>1 D.当010.函数f(x)=则下列结论正确的是 (　　)
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为增函数
C. x∈R,|f(x)|<1
D. x0∈R,|f(x0)|>1
11.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,称y=[x]为高斯函数,如:[1.2]=1,[-1.2]=-2,因而y=[x]又被称为取整函数,在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车收费等均按“取整函数”进行计费.以下关于“取整函数”的描述,正确的是 (　　)
A. x∈R,[2x]=2[x]
B. x∈R,[x]+[x+]=[2x]
C. x,y∈R,若[x]=[y],则有x-y>-1
D.方程x2=3[x]+1的解集为{,}
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若函数f(x)=+,则f(x)的定义域是　　　　　.
13.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2,则f(-)=　　　　,不等式f(1-2x)14.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),且当x∈[2,4]时,f(x)=g(x)=ax+1,若对于任意x1∈[-2,0],存在x2∈[-2,1],使得g(x2)=f(x1),则实数a的取值范围为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知f(x)=是奇函数,且f(2)=.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断函数f(x)在(-∞,-1]上的单调性,并加以证明.
16.(15分)在①f(a)=5,②f()=4a,③4f(1)-2f(2)=6这三个条件中任选一个,补充到横线中,并解答.已知一次函数y=f(x)满足f(x-1)=2x+a,且　　　　.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若g(x)=xf(x)+λf(x)+x在[0,2]上的最大值为2,求实数λ的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
17.(15分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中,为了治污,根据环保部门的建议,现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放a(1≤a≤4,且a∈R)个单位的药剂,它在水中释放的浓度y(单位:克/升)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为y=a·f(x),其中f(x)=若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4克/升时,才能起到有效治污的作用.
(1)若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天
(2)若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a的最小值.(精确到0.1,参考数据:取1.4)
18.(17分)已知函数f(x)=-x2+mx-m.
(1)若函数f(x)的最大值为0,求实数m的值.
(2)若函数f(x)在[-1,0]上单调递减,求实数m的取值范围.
(3)是否存在实数m,使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3] 若存在,求出实数m的值;若不存在,说明理由.
19.(17分)若函数y=f(x)与y=g(x)满足：对任意x1，x2∈D，都有|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|，则称函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.已知函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.
(1)若f(x)=|x|，D=R，判断函数y=g(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(x)=ax2+2x+1，g(x)=x2+ax，其中a>0，D=(0，+∞)，求实数a的取值范围.
第三章　函数的概念与性质　单元测试卷　参考答案
1.B　由题意知,函数y=的定义域为R,则x2+1≥1,∴y≥1.
2.C　根据题意,对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字,则f(2)=1,f(4)=2,则f(2)+f(4)=3,故选C.
3.A　因为f(1)=2且f()+f(1)=0,所以f()=-2<0,所以f()=1+=-2,解得a=-6.故选A.
4.A　因为函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1-a,2a]上的偶函数,所以-1-a+2a=0,所以a=1,所以函数f(x)的定义域为[-2,2].因为函数f(x)的图象的对称轴为直线x=0,所以b=0,故f(x)=x2+1,所以当x=±2时函数f(x)取得最大值,最大值为5.
5.A　由函数图象可知,函数为奇函数,易知C选项中的函数为偶函数,故排除C;对于选项B,当x=1时,y=0,与图象不符,故排除B;对于选项D,当x=3时,y=>0,与图象不符,故排除D.故选A.
6.B　∵定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+)=f(-x),
∴f(x+)=f(-x)=-f(x-),即f(x+2)=-f(x),则f()=f(2+)=-f()=-()3=-.故选B.
7.D　因为函数y=f(x+2)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(1)=f(3).因为函数y=f(x)在区间(0,2)上单调递增,所以函数y=f(x)在区间(2,4)上单调递减.因为2<<3<<4,所以f()8.B　作出函数f(x)的图象,如图D 1所示,
图D 1
对于(2 022f(x)-2 021)(x-a)<0,
当2 022f(x)-2 021<0,即f(x)<时,x-a>0,即x>a,记A={x|x>a},
对于f(x)<,
则或且x∈Z,
可得f(x)<的整数解集为B={x∈Z|x≤-2或x=0}.
由题意可得,集合A∩B只有一个元素,即A∩B={0},则
-2≤a<0,
满足条件的整数a的取值为-2,-1.
当2 022f(x)-2 021>0,即f(x)>时,x-a<0,即x对于f(x)>,
则或且x∈Z,
可得f(x)>的整数解集为D={x∈Z|x≥1或x=-1},
由题意可得,集合C∩D只有一个元素,即C∩D={-1},
则-1满足条件的整数a的取值为0,1.
综上所述,所有满足条件的整数a的取值集合为{-2,-1,0,1}.
9.ACD　由题意可得,4α=2,解得α=,所以函数解析式为f(x)=,易得函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且为非奇非偶函数,故A正确,B错误;因为函数f(x)单调递增,所以当x>1时,f(x)=>1,故C正确;由函数图象(图略)易得点(,f())在点(,)的上方,故D正确.故选ACD.
10.ABC　函数f(x)的定义域为R,f(0)=0,当x>0时,-x<0,则f(-x)=-=-f(x),当x<0时,-x>0,则f(-x)=-=-f(x),所以,对任意的x∈R,都有f(-x)=-f(x),即函数f(x)为奇函数,A对;
当x≥0时,f(x)==1-,则函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,因为函数f(x)为奇函数,则函数f(x)在(-∞,0)上也为增函数,故函数f(x)在R上为增函数,B对;
当x≥0时,f(x)=1-∈[0,1),因为函数f(x)为R上的奇函数,则当x<0时, f(x)=-f(-x)∈(-1,0),故f(x)∈(-1,1),所以, x∈R,|f(x)|<1,C对,D错.故选ABC.
11.BCD　对于A,取x=,则[2x]=[1]=1,2[x]=2[]=0,故A错误.
对于B,设[x]=x-a,a∈[0,1),所以[x]+[x+]=[x]+[[x]+a+]=2[x]+[a+],[2x]=[2[x]+2a]=2[x]+[2a],当a∈[0,)时,a+∈[,1),2a∈[0,1),则[a+]=0,[2a]=0,则[x]+[x+]=2[x],[2x]=2[x],故当a∈[0,)时,[x]+[x+]=[2x]成立;当a∈[,1)时,a+∈[1,),2a∈[1,2),则[a+]=1,[2a]=1,则[x]+[x+]=2[x]+1,[2x]=2[x]+1,故当a∈[,1)时,[x]+[x+]=[2x]成立,综上B正确.
对于C,设[x]=[y]=m,则x=m+t,0≤t<1,y=m+s,0≤s<1,则|x-y|=|(m+t)-(m+s)|=|t-s|<1,因此x-y>-1,故C正确.
对于D,由x2=3[x]+1知,x2一定为整数且3[x]+1≥0,所以[x]≥-,所以[x]≥0,所以x≥0,由[x]2≤x2<([x]+1)2,得[x]2≤3[x]+1<([x]+1)2,由[x]2≤3[x]+1,解得≤[x]≤≈3.3,只能取0≤[x]≤3,由3[x]+1<([x]+1)2,解得[x]>1或[x]<0(舍去),故2≤[x]≤3,所以[x]=2或[x]=3,当[x]=2时,x=,当[x]=3时,x=,所以方程x2=3[x]+1的解集为{,},故D正确.
故选BCD.
12.[-1,2)　由题意可得解得-1≤x<2,故所求函数的定义域为[-1,2).
13.-3　(-1,+∞)　由f(x)为奇函数且x≥0时,f(x)=x2,可得f(-)=-f()=-3.因为x≥0时,f(x)=x2单调递增,根据奇函数的对称性可知,f(x)在R上单调递增,故由f(1-2x)-1,故不等式f(1-2x)14.(-∞,-]∪[,+∞)　当x∈[2,4]时,f(x)=可知f(x)在[2,3]上单调递减,在(3,4]上单调递增,所以f(x)在[2,3]上的值域为[3,4],在(3,4]上的值域为(,],所以f(x)在[2,4]上的值域为[3,],因为f(x+2)=2f(x),所以f(x)=f(x+4),所以f(x)在[-2,0]上的值域为[,].
当a=0时,g(x)为常函数,值域为{1},不符合题意;
当a>0时,得解得a≥;
当a<0时,得解得a≤-.
综上,a的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).
15.(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即=-,解得b=0.
又f(2)=,∴=,∴a=2.
(2)由(1)知f(x)==+,则f(x)在(-∞,-1]上单调递增.证明如下:
设x1∵x11,1->0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故f(x)在(-∞,-1]上单调递增.
16.(1)设f(x)=kx+b(k≠0),
则f(x-1)=k(x-1)+b=2x+a,
则k=2,a=b-k=b-2,
所以f(x)=2x+a+2.
若选①f(a)=5,则f(a)=2a+a+2=5,
解得a=1,f(x)=2x+3.
若选②f()=4a,则f()=1+a+2=4a,
解得a=1,f(x)=2x+3.
若选③ 4f(1)-2f(2)=6,
则4(4+a)-2(6+a)=6,
解得a=1,f(x)=2x+3.
(2)由(1)得,f(x)=2x+3,则g(x)=xf(x)+λf(x)+x=2x2+3x+2λx+3λ+x=2x2+(4+2λ)x+3λ,g(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=-.
当-≤1,即λ≥-4时,g(x)max=g(2)=16+7λ=2,
解得λ=-2;
当->1,即λ<-4时,g(x)max=g(0)=3λ=2,
解得λ=(舍).
综上,λ=-2.
17.(1)因为a=4,所以y=
则当0≤x≤4时,由-4≥4,解得x≥0,所以此时0≤x≤4;
当4综上所述,若一次投放4个单位的药剂,有效治污时间可达8天.
(2)当6≤x≤10时,
y=2×(5-)+a[-1]=10-x+-a=(14-x)+-a-4,
易知14-x∈[4,8],因为1≤a≤4,所以4∈[4,8],
故y≥2-a-4=8-a-4,当且仅当14-x=4,即x=14-4时,y取得最小值8-a-4.
令8-a-4≥4,解得24-16≤a≤4,
所以a的最小值为24-16≈1.6.
18.(1)f(x)=-(x-)2-m+,则当x=时,f(x)取得最大值-m+,则-m+=0,即m2-4m=0,解得m=0或m=4.
(2)函数f(x)图象的对称轴是直线x=,要使f(x)在[-1,0]上单调递减,应满足≤-1,解得m≤-2,故实数m的取值范围为(-∞,-2].
(3)①当≤2即m≤4时,f(x)在[2,3]上单调递减.
若存在实数m,使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3],则即此时无解.
②当≥3即m≥6时,f(x)在[2,3]上单调递增,则即解得m=6.
③当2<<3即4综上可得,存在实数m=6,使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3].
19.(1)g(x)是偶函数.
理由如下：因为f(x)=|x|，所以对任意x∈R有f(x)-f(-x)=0，
令x1=x，x2=-x，且x1，x2∈R，
因为|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|，
所以|f(x)-f(-x)|≥|g(x)-g(-x)|，
所以|g(x)-g(-x)|≤0，
所以g(x)=g(-x)，且定义域R关于原点对称，
所以g(x)是偶函数.
(2)因为a>0，所以f(x)=ax2+2x+1图象的对称轴为x=-<0，且图象开口向上，g(x)=x2+ax图象的对称轴为x=-<0，且图象开口向上，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，g(x)在(0，+∞)上单调递增，
不妨假设0所以|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)| f(x2)-f(x1)≥g(x2)-g(x1)，
即f(x2)-g(x2)≥f(x1)-g(x1).
设h(x)=f(x)-g(x)=(a-1)x2+(2-a)x+1，
当a=1时，h(x)=x+1，在(0，+∞)上单调递增，显然满足要求；
当a>1时，h(x)为二次函数，其图象的对称轴为x=-，图象开口向上，故只需-≤0即可，解得1当a<1时，h(x)为二次函数，其图象的对称轴为x=->0，图象开口向下，此时不满足要求.
综上可知，a的取值范围是[1，2].