必修第一册人教A版第四章单元测试卷（含解析）

第四章　指数函数与对数函数　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=log2(x2-3x-4)的单调递减区间为 (　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,-) C.(,+∞) D.(4,+∞)
2.函数f(x)=(x≠0)的图象大致为 (　　)
3.设a=30.3,b=log3,c=()-1.6,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a4.对正整数a,函数φ(a)表示小于或等于a的正整数中与a互质的数的数目,此函数以其首位研究者欧拉命名,故称为欧拉函数.例如:因为1,3,5,7均和8互质,所以φ(8)=4,基于上述事实,φ[(+2lg 5+lg 8-lg 14)5]= (　　)
A.8 B.12 C.16 D.24
5.围棋棋盘共19行19列,361个交叉点,每个交叉点上可能出现黑、白、空三种情况,因此有3361种不同的情况,我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书‘万’字五十二”种,即10 00052.下列最接近的是
(lg 3≈0.477) (　　)
A.10-26 B.10-32 C.10-36 D.10-25
6.2021年,郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·((N0表示碳14原有的质量).经过测定,官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的至,据此推测青铜布币生产的时期距今约(参考数据:log23≈1.6) (　　)
A.2 600年 B.3 100年 C.3 200年 D.3 300年
7.a克糖水中含有b克糖,糖的质量与糖水的质量比为,这个质量比决定了糖水的甜度,如果再添加m克糖,生活经验告诉我们糖水会变甜,对应的不等式为>(a>b>0,m>0).若x1=log32,x2=log1510,x3=log4520,则 (　　)
A.x18已知f(x)=|ex-1|+1,若函数g(x)=f 2(x)+(a-2)·f(x)-2a有三个零点,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若10a=4,10b=25,则 (　　)
A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab>8lg22 D.b-a10.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理,简单来讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数f(x),存在一个点x0,使得f(x0)=x0,那么我们称该函数为“不动点”函数,下列为“不动点”函数的是 (　　)
A.f(x)=x+1 B.f(x)=-x,x>0 C.f(x)=x2-x+3 D.f(x)=lox
11.已知函数f(x)=x2-2x+a有两个零点x1,x2,以下结论正确的是 (　　)
A.a<1 B.若x1x2≠0,则+=
C.f(-1)=f(3) D.函数y=f(|x|)有四个零点
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=ln 为奇函数,则a=　　　　.
13.某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿的种植成本Q(单位:元/(100 kg))与上市时间t(单位:天)的数据如下表:
时间t/天 60 100 180
种植成本Q/(元/(100 kg)) 116 84 116
根据上表中的数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b;Q=a(t-b)2+m;Q=a·bt;Q=a·logbt.
利用你选取的函数,求得:西红柿的种植成本最低时的上市天数是　　　;最低种植成本是　　　元/(100 kg).(本题第一空2分,第二空3分)
14.已知函数f(x)是定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=则方程f(x)+x2=2根的个数为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在①g2(x)+f 2(x)=g(2x),②g2(x)-f 2(x)=1,③f(x)g(x)=f(2x)这三条性质中任选一个,补充在下面的命题中,并判断命题的真假,若命题为真,请写出证明过程,若命题为假,请说明理由.
命题:若设函数f(x)=,g(x)=,则f(x)与g(x)满足性质　　　　.
注:如果选择多个性质分别作答,按第一个解答计分.
16.(15分)有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物,氟化物的释放会破坏大气上层的臭氧层,使臭氧含量呈指数型函数变化,在氟化物排放量维持在某种水平时,臭氧含量Q(t)与时间t(单位:年)具有关系式Q(t)=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量.
(1)随着时间t的增加,臭氧的含量是增加的还是减少的
(2)试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失 (参考数据:ln 0.5≈-0.69)
17.(15分)已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.
(1)当a=1时,求函数f(x)的零点;
(2)若f(x)有零点,求a的取值范围.
18.(17分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)证明f(x)为减函数;
(3)若对任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
19.(17分)对于定义在区间[m，n]上的两个函数f(x)和g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有|f(x)-g(x)|≤1成立，则称函数f(x)与g(x)在[m，n]上是“友好”的，否则称为“不友好”的.已知函数f(x)=loga(x-3a)，g(x)=loga(a＞0，a≠1).
(1)若f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围;
(2)讨论函数f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是否“友好”.
第四章　指数函数与对数函数　单元测试卷　参考答案
1.A　由x2-3x-4>0得(x+1)(x-4)>0,得x>4或x<-1,设t=x2-3x-4,要求f(x)的单调递减区间,即求t=x2-3x-4的单调递减区间,∵t=x2-3x-4的单调递减区间为(-∞,-1),∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1).
2.A　f(x)==(ex+e-x)(x≠0),定义域关于原点对称,则f(-x)=-(ex+e-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C,D,又当x>0时,f(x)>0,排除选项B.故选A.
3.D　∵c=31.6>30.3=a>1,b=log3<0,∴b4.C　(+2lg 5+lg 8-lg 14)5=(lg 7+2lg 5+3lg 2-lg 2-lg 7)5=(2lg 5+2lg 2)5=25=32,∵小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,共16个,∴φ[(+2lg 5+lg 8-lg 14)5]=φ(32)=16,故选C.
5.C　根据题意lg 3≈0.477,对于,可得lg =lg 3361-lg 10 00052=361×
lg3-52×4≈-35.8,可得≈10-35.8,分析选项,可得C中10-36最接近.故选C.
6.A　由题意得,N0解得2 2927.B　因为x1=log32,x2=log1510,x3=log4520,所以x1=,x2==,x3=,根据题意,当a>b>0,m>0时,>成立,又lg 3>lg 2>0,lg 5>0,
所以>,>,即x2>x1,x3>x1.
又x2-x3=-=>0,所以x2>x3,所以x18.A　若g(x)=f 2(x)+(a-2)f(x)-2a=[f(x)-2][f(x)+a]有三个零点,即方程[f(x)-2][f(x)+a]=0有三个解.当f(x)=2,即|ex-1|+1=2时,得|ex-1|=1,解得ex=2或ex=0(舍去),则x=ln 2,此时方程只有一个解,所以f(x)=-a有两个不同的解.作出f(x)的图象,如图D 1所示,
图D 1
由图象知,1<-a<2,即-29.AC　∵10a=4,10b=25,∴a=lg 4,b=lg 25,∴a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,b-a=lg 25-lg 4=
lg >lg 6,ab=2lg 2×2lg 5=4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4=8lg22.故选AC.
10.BD　四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的.对于A,当x0+1=x0时,该方程无解,故A不满足;对于B,当-x0=x0,x0>0时,解得x0=,故B满足;对于C,当-x0+3=x0,即(x0-1)2+2=0时,无实数根,故C不满足;对于D,画出f(x)=lox与y=x的图象,如图D 2,显然有交点,即存在一个点x0,使得f(x0)=x0,故D满足.故选BD.
图D 2
11.ABC　根据题意,函数f(x)=x2-2x+a有两个零点x1,x2,即方程x2-2x+a=0有两个不相等的实数根,为x1,x2,据此分析选项.对于A,若方程x2-2x+a=0有两个不相等的实数根,则有(-2)2-4a>0,解得a<1,故A正确;对于B,方程x2-2x+a=0有两个不相等的实数根,为x1,x2,则有x1+x2=2,x1x2=a,则+==,故B正确;对于C,因为函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1,所以f(-1)=f(3),故C正确;对于D,当a=0时,y=f(|x|)=x2-2|x|,有三个零点,故D错误.故选ABC.
12.-1　因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即ln =-ln 恒成立,整理得(a2-1)x2=0恒成立,解得a=±1,经检验a=1时f(x)无意义,舍去.故a=-1.
13.120　80　由题意知,随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而且当t=60和t=180时种植成本相等,再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系应该用Q=a(t-b)2+m描述.由表中两组数据(60,116)和(100,84),以及=120可得解得
所以Q=0.01(t-120)2+80.
故当上市天数为120时种植成本最低,最低为80元/(100 kg).
14.6　求方程f(x)+x2=2根的个数即求y=f(x)与函数y=-x2+2的图象交点个数,画出两函数图象如图D 3.
图D 3
由图象可知两函数图象有6个交点.
15.若选①,命题为真命题.证明:g2(x)+f 2(x)=()2+()2=+==g(2x),
所以g2(x)+f 2(x)=g(2x)成立.
若选②,命题为真命题.证明:g2(x)-f 2(x)=()2-()2=-==1,
所以g2(x)-f 2(x)=1成立.
若选③,命题为真命题.证明:f(x)g(x)=()·()=,f(2x)=·=,
所以f(x)g(x)=f(2x)成立.
16.(1)对于函数Q(t)=Q0e-0.002 5t,显然Q(t)>0.任取t10,===>e0=1,所以Q(t1)>Q(t2).
故随着时间t的增加,臭氧的含量是减少的.
(2)令==e-0.002 5t=,解得-0.002 5t=ln≈-0.69,解得t=276.故估计276年以后将会有一半的臭氧消失.
17.(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1.
令f(x)=0,即2·(2x)2-2x-1=0,解得2x=1或2x=-(舍去),
所以x=0.故函数f(x)的零点为0.
(2)若f(x)有零点,则方程2a·4x-2x-1=0有解.
令t=2x(t>0),则方程2at2-t-1=0在(0,+∞)上有解.
①当a=0时,方程为t+1=0,即t=-1<0,不符合题意,应舍去.
②当a≠0时,令g(t)=2at2-t-1,
若方程g(t)=0在(0,+∞)上有一解,则a·g(0)<0,
即-a<0,解得a>0.
若方程g(t)=0在(0,+∞)上有两解,则
无解.
综上所述,所求实数a的取值范围是(0,+∞).
18.(1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,∴b=1.
又f(-1)=-f(1),∴a=1.
经检验a=1,b=1符合题意.∴a=b=1.
(2)任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=-==.
∵x10.
又(+1)(+1)>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
故f(x)为减函数.
(3)∵t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
∴f(t2-2t)<-f(2t2-k).
∵f(x)为奇函数,∴f(t2-2t)∵f(x)为减函数, ∴t2-2t>k-2t2,
即k<3t2-2t恒成立,
而3t2-2t=3(t-)2-≥-,∴k<-.
故k的取值范围为(-∞,-).
19.(1)f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上都有意义，
则必须满足，解得a＜1，又a＞0且a≠1，
所以a的取值范围为(0，1).
(2)假设存在实数a，使得f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，则|f(x)-g(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)|≤1，
即-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1，
因为a∈(0，1)，则2a∈(0，2)，a+2＞2，所以[a+2，a+3]在x=2a的右侧，
由复合函数的单调性可得y=loga(x2-4ax+3a2)在区间[a+2，a+3]上为减函数，
从而当x=a+2时，ymax=loga(4-4a)，当x=a+3时，ymin=loga(9-6a)，
所以，即，解得0＜a≤，
所以当0＜a≤时，f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是“友好”的;
当＜a＜1时，f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是“不友好”的.