必修第一册人教B版第二章单元测试卷（含解析）

第二章　等式与不等式　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设方程x2+x-2=0的两个根为α,β,那么(α-1)·(β-1)的值等于 (　　)
A.-4 B.-2　 　 C.0　 D.2
2.已知集合A={0,1,2},B={x|x2-5x+4<0},则A∩ RB=(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2} C.{0} D.{0,1}
3.已知关于x的不等式组仅有三个整数解,则a的取值范围是 (　　)
A.≤a<1 B.≤a≤1 C.4.已知aA.> B.< C.≥ D.≤
5.设x,y,z>0,a=4x+,b=4y+,c=4z+,则a,b,c三个数 (　　)
A.都小于4 B.至少有一个不大于4
C.都大于4 D.至少有一个不小于4
6.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4)∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2)
7.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1A.{x|x<-3或x>0} B.{x|x<0或x>3} C.{x|-38.已知a,b∈R,a+b=2,则+的最大值为(　　)
A.1 B. C. 　 D.2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是(　　)
A.若ab≠0且a B.若0C.若a>b>0,则> D.若c10.下列结论正确的是 (　　)
A.不等式 >ax+的解集是(4,36),则a=
B.不等式1<|x+1|<3的解集为(0,2)
C.若a>0,b>0,则(a+b)(+)≥4
D.若a>0,b>0,则a3+b3≤2ab2
11.已知a,b>0,a+b2=1,则下列选项一定正确的是 (　　)
A.a-b≤1 B.b的最大值为
C.+b< D.+>
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为:y=[x](x∈R),[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.6]=-2,[1.6]=1,[2]=2,则关于x的不等式[x]2+[x]-12<0的解集为　　 　　.
13.已知正数a,b满足a+b=4,ab的最大值为t,不等式x2+3x-t<0的解集为M,则t=　　　　,M=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
14.某商场销售某种商品的经验表明,该产品生产总成本C与产量q(q∈N*)的函数关系式为C=100+4q,销售单价p与产量q的函数关系式为p=25-q.要使每件产品的平均利润最大,则产量q等于　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数y=|x-1|+|x+2|.
(1)求不等式y≤7的解集;
(2)若y的最小值为a+2b(a>0,b>0),求+的最小值.
16.(15分)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0.
(1)当a=-1,b=2,c=1时,求该不等式的解集.
(2)从下面两个条件中任选一个,并求出此时该不等式的解集.
①a=1,b=-2-m,c=2m;
②a=m,b=m-2,c=-2.
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
17.(15分)已知关于x的方程x2-2(m-1)x+m2-3=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,C=90°,且a∶b=4∶3,c-b=4,若方程的两个实数根的平方和等于△ABC的斜边c的平方,求m的值.
18.(17分)某校课外兴趣小组的学生为了给学校边 的一口被污染的池塘治污,他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂.已知每投放m(1≤m≤4,且m∈R)个单位的药剂,它在水中释放的质量浓度y(克/升)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y=m·t,其中t=若多次投放,则某一时刻水中的药剂的质量浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的质量浓度之和.根据经验,当水中药剂的质量浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.
(1)若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天
(2)若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放m个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求m的最小值.
19.(17分)对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若>，那么称点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，同时点(c，d)是点(a，b)的“下位点”.
(1)试写出点(3，5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，判断点P(，)是否是点(a，b)的“下位点”，并证明你的结论；
(3)设正整数n满足以下条件：对集合{t|0第二章　等式与不等式　单元测试卷　参考答案
1.C　　依题意得α+β=-1,α·β=-2,∴(α-1)(β-1)=α·β-(α+β)+1=-2+1+1=0.
　解方程可得方程的两根为-2,1,不妨设α=-2,β=1,∴(α-1)(β-1)=0.
2.D　因为A={0,1,2},B={x|13.A　解不等式2x≥3(x-2)+5,得x≤1.
因为x>2a-3,所以原不等式组的解集为{x|2a-3又原不等式组仅有三个整数解,所以-2≤2a-3<-1,解得≤a<1.
4.B　-==,∵a0,b2-a2<0,∴-=<0,∴<.故选B.
5.D　∵a+b+c=4x++4y++4z+=4x++4y++4z+≥4+4+4=12,当且仅当x=y=z=时等号成立,∴a,b,c至少有一个不小于4.故选D.
6.D　∵+=1,∴x+2y=(x+2y)(+)=4++≥4+4=8,当且仅当=时,等号成立.∵x+2y>m2+2m恒成立,∴m2+2m<8,解得-47.B　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-13},所以不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0或x>3}.
8.C　由于a,b∈R,a+b=2,则+====.
令t=ab-1,则t=a(2-a)-1=-(a-1)2≤0,
则 =.
令4-2t=s(s≥4),即t=,
可得==,
由s+≥2=8,当且仅当s=4,t=2-2时等号成立,可得≤=,
故+的最大值为.
9.BC　对于A,取a=-2,b=1,则>不成立,∴A不正确.
对于B,若0对于C,若a>b>0,则-==>0,∴>,∴C正确.
对于D,若c0,c<0,而b可能为0.当b=0时,cb2=ab2,不等式不成立,∴D不正确.故选BC.
10.AC　A正确,设=t(t>0),则原不等式可转化为at2-t+<0,由题意可得a>0,且2与6是方程at2-t+=0的两根,故可得a=.B不正确,由1<|x+1|<3得10,b>0,(a+b)(+)≥2+2=4,当且仅当a=b时取等号.D不正确,若a=2,b=1,则a3+b3>2ab2.故选AC.
11.BD　∵a,b>0,a+b2=1,∴0∴a-b<1,故a-b≤1不成立,即选项A错误;
∵a=1-b2,∴b=≤=,
当且仅当b=,a=时,等号成立,
故b的最大值为,选项B正确;
∵≤a+b2=1,∴+b≤,
当且仅当b=,a=时,等号成立,故选项C错误;
令m>0,n>0,则(m+n)2≥4mn,∴m+n≥=,当且仅当m=n时等号成立,
∴+=+≥,
当且仅当=,即b=时,等号成立,
∵0当且仅当b=时,等号成立,
故+≥≥=,
∵两次取等号的条件不一致,∴+>,
故选项D正确.故选BD.
12.[-3,3)　不等式[x]2+[x]-12<0可化为([x]+4)([x]-3)<0,解得-4<[x]<3,即 -3≤x<3,所以不等式[x]2+[x]-12<0的解集为[-3,3).
13.4　(-4,1)　∵正数a,b满足a+b=4,则ab≤()2=4,即ab的最大值为4,而x2+3x-4<0的解集为M=(-4,1).
14.40　销售收入R=p×q=25q-q2,利润L=R-C=-q2+21q-100(015.(1)当x≤-2时,-(x-1)-(x+2)≤7,解得x≥-4,
故-4≤x≤-2,
当-2故-2当x≥1时,x-1+x+2≤7,解得1≤x≤3.
综上所述,-4≤x≤3,
故不等式y≤7的解集为{x|-4≤x≤3}.
(2)y=|x-1|+|x+2|=
则ymin=3,
∵y的最小值为a+2b(a>0,b>0),∴a+2b=3,
∴+=(a+2b)(+)=(5++)≥(5+2)=3,
当且仅当=,即a=b=1时,等号成立,
故+的最小值为3.
16.(1)依题意x2-2x-1≤0,则该不等式的解集为{x|1-≤x≤1+}.
(2)若选①,则不等式为x2-(2+m)x+2m≥0,
当m>2时,不等式解集为{x|x≤2或x≥m},
当m=2时,不等式解集为R,
当m<2时,不等式解集为{x|x≤m或x≥2}.
若选②,则不等式为mx2+(m-2)x-2≥0,
当m<-2时,不等式解集为{x|-1≤x≤},
当m=-2时,不等式解集为{x|x=-1},
当-2当m=0时,不等式解集为{x|x≤-1},
当m>0时,不等式解集为{x|x≤-1或x≥}.
17.(1)Δ=4(m-1)2-4(m2-3)=-8m+16.
∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,即-8m+16>0,解得m<2.
∴实数m的取值范围是(-∞,2).
(2)在△ABC中,设b=3k,a=4k,则c==5k.
又c-b=4,∴5k-3k=2k=4,解得k=2,∴c=10.
不妨设原方程的两根为x1,x2,
由根与系数的关系得x1+x2=2(m-1),x1x2=m2-3,
∴+=(x1+x2)2-2x1x2=4(m-1)2-2(m2-3)=2m2-8m+10.
由已知得+=102,∴2m2-8m+10=102,
解得m1=-5,m2=9.
又m<2,∴m=-5.
18.(1)∵m=4,∴y=
∴当0≤x≤4时,由≥4解得x≥-8,此时0≤x≤4;
当4综上,0≤x≤8.
故若一次投放4个单位的药剂,则有效治污的时间可达8天.
(2)当6≤x≤10时,y=2×(5-x)+m[]=10-x+=14-x+-4,又14-x∈[4,8],m∈[1,4],则y≥2-4=8-4,当且仅当14-x=,即14-x=4∈[4,8]时取等号.
令8-4≥4,解得m≥1.
故所求m的最小值为1.
19.(1)根据题设中的定义可得点(3，5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为(3，4)和(3，7).
(2)点P(，)是点(a，b)的“下位点”.
证明如下：∵点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，∴>.
又a，b，c，d均大于0，∴ad>bc，∴ad-bc>0，
∴-==<0，即>，
∴点P(，)是点(a，b)的“下位点”.
(3)若点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，可证点Q(a+c，b+d)既是点(c，d)的“上位点”，又是点(a，b)的“下位点”.
证明如下：∵点(a，b)是点(c，d)的“上位点”， ∴>，
∵a，b，c，d均大于0，∴ad>bc，∴ad-bc>0，
∴-===>0，
即>，∴点Q(a+c，b+d)是点(c，d)的“上位点”.
同理可得-==<0，
即>，
∴点Q(a+c，b+d)是点(a，b)的“下位点”.
∴点Q(a+c，b+d)既是点(c，d)的“上位点”，又是点(a，b)的“下位点”.
根据题意知，点(n，k)既是点(2 023，m)的“下位点”，又是点(2 024，m+1)的“上位点”对m∈{t|0根据上述结论可知，当n=2 023+2 024=4 047，k=2m+1时，满足条件.
故n=4 047.