必修第一册人教B版第三章单元测试卷（含解析）

第三章　函数　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=+的定义域为 (　　)
A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.[1,2) D.[1,2)∪(2,+∞)
2.定义域为R的函数y=f(x)的值域为[a,b],则函数y=f(x+a)的值域为 (　　)
A.[a,b] B.[2a,a+b] C.[0,b-a] D.[-a,a+b]
3.已知f(x-1)=2x-5,且f(a)=6,则a等于 (　　)
A.- B. C. D.-
4.利用二分法求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)时,得到以下数据:
f(2)=6 f(1)=-2
f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈0.162
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确到0.1)为　 (　　)
A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5
5.函数f(x)=x3-5的零点所在的区间是 (　　)
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)
6.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 (　　)
A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4
7.函数y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)在同一坐标系中的图象可能是 (　　)
A　 B　 C　 D
8.已知偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f(4)=0,则不等式(x+1)f(x)>0的解集为 (　　)
A.(-4,-1)∪(4,+∞) B.(-∞,-4)∪(-1,4) C.(-4,-1)∪(-1,4) D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=g(x)=x2-7,则 (　　)
A.f(x)是增函数 B.g(x)是偶函数 C.f(f(1))=3 D.f(g(1))=-7
10.形如f(x)=的函数因其图象类似于汉字“囧”,故被称为“囧函数”,则下列说法中正确的是 (　　)
A.函数f(x)的定义域为{x|x≠1} B.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
C.当x∈(-1,1)时,f(x)max=-1 D.函数g(x)=f(x)-x2+4有四个零点
11.已知二次函数f(x)=ax2 +bx+c,若a+3b+6c=0,f(0)<0,f(1)<0,则f(x)=0的根的分布情况可能为 (　　)
A.f(x)=0可能无解 B.f(x)=0有两相等解x0 ,且x0 ∈(0,1)
C.f(x)=0有两个不同解x1 ,x2 ∈(0,1) D.f(x)=0有两个都不在(0,1)内的不同解x1 ,x2
三、填空题:本题共3小题.每小题5分,共15分.
12.若不等式(-x3 +x2 +2x)(x2 -1)≥0,则x的取值范围为　　　　.
13.已知函数f(x)=ax2 +2x+b,其中a>b,若f(x)≥0对任意x∈R恒成立,且函数存在零点,则的最小值为　　　　.
14.若函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[,],则称区间[a,b]为函数f(x)的一个“倒值区间”.已知定义在R上的奇函数g(x),当x∈(-∞,0]时,g(x)=x2 +2x,那么当x∈(0,+∞)时,g(x)=　　　　;函数g(x)在(0,+∞)上的“倒值区间”为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知f(x)=是奇函数,且f(2)=.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断函数f(x)在(-∞,-1]上的单调性,并加以证明.
16.(15分)已知函数f(x)=
(1)在给定的直角坐标系内画出f(x)的图象(如图1);
(2)写出f(x)的单调区间,并指出单调性(不要求证明);
(3)若函数y=a-f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
图1
17.(15分)某校食堂需定期购买大米.已知该食堂每天需用大米0.6吨,每吨大米的价格为6 000元,大米的保管费用z(单位:元)与购买天数x(单位:天)的关系为z=9x(x+1)(x∈N*),每次购买大米需支付其他固定费用900元.
(1)该食堂多少天购买一次大米,才能使平均每天所支付的总费用最少
(2)若提供粮食的公司规定:当一次性购买大米不少于21吨时,其价格可享受8折优惠(即原价的80%),该食堂是否应考虑接受此优惠条件 请说明理由.
18.(17分)现有三个条件:①对任意的x∈R都有f(x+1)-f(x)=2x-2;②不等式f(x)<0的解集为{x|1已知二次函数f(x)=ax2 +bx+c,且满足(填所选条件的序号).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(x)-mx,若函数g(x)在区间[1,2]上的最小值为3,求实数m的值.
注:如果选择多种情况分别解答,则按第一个解答计分.
19.(17分)若函数y=f(x)与y=g(x)满足：对任意x1，x2∈D，都有|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|，则称函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.已知函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.
(1)若f(x)=|x|，D=R，判断函数y=g(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(x)=ax2+2x+1，g(x)=x2+ax，其中a>0，D=(0，+∞)，求实数a的取值范围.
第三章　函数　单元测试卷　参考答案
1.D　依题意得解得x≥1且x≠2,故选D.
2.A　函数y=f(x+a)是把函数y=f(x)的图象向左(a>0)平移了a个单位长度,或向右(a<0)平移了|a|个单位长度,所以函数的值域不变,故选A.
3.B　　由f(x-1)=2x-5=4(x-1)-1,得f(x)=4x-1.又f(a)=6,所以4a-1=6,解得a=.
　令2x-5=6得,x=,所以a=×-1=.
4.C　由参考数据知f(1.375)·f(1.437 5)<0,且1.437 5-1.375=0.062 5<0.1,所以方程的一个近似解可取为1.4,故选C.
5.A　由函数f(x)=x3-5可得f(1)=1-5=-4<0,f(2)=8-5=3>0,故有f(1)f(2)<0,根据函数零点存在定理可得,函数f(x)的零点所在区间为(1,2),故选A.
6.C　由已知,得解得∴f(x)=当x≤0时,方程为x2+4x+2=x,即x2+3x+2=0,解得x=-1或x=-2.当x>0时,方程的解为x=2.故方程f(x)=x有3个解.
7.C　对于A,由二次函数图象知,图象开口向上,a>0;一次函数为减函数,所以a<0,所以排除A.
对于B,由二次函数图象知,图象开口向上,a>0,对称轴为直线x=0,所以b=0;一次函数为增函数,且其图象与y轴交于正半轴,所以a>0,b>0,所以排除B.
对于C,由二次函数图象知,图象开口向下,a<0,因为对称轴在y轴右侧,所以b>0;一次函数为减函数,且其图象与y轴交于正半轴,所以a<0,b>0,所以C正确.
对于D,由二次函数图象知,图象开口向下,a<0,因为对称轴在y轴右侧,所以b>0;一次函数为增函数,所以a>0,所以排除D.
8.A　若x+1<0,则(x+1)f(x)>0等价于f(x)<0,∵f(-4)=f(4)=0,f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)<0有-40,则(x+1)f(x)>0等价于f(x)>0,偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(x)>0,得x>4.
综上,(x+1)f(x)>0的解集为(-4,-1)∪(4,+∞).
9.ABD　对于函数f(x)=当x<0时,f(x)=x-1显然单调递增,因为y=x2+x是图象开口向上,对称轴为直线x=-的二次函数,所以当x≥0时,f(x)=x2+x单调递增,又0-1<02+0,所以函数f(x)在定义域内是增函数,A正确;又f(1)=1+1=2,所以f(f(1))=f(2)=4+2=6,故C错;对于函数g(x)=x2-7,g(-x)=(-x)2-7=x2-7=g(x),所以g(x)是偶函数,B正确;又g(1)=1-7=-6,所以f(g(1))=f(-6)=-6-1=-7,D正确.故选ABD.
图D 1
10.CD　f(x)的定义域为{x|x≠±1},
∴A错误;
∵f(0)=-1,f(2)=1,∴f(x)的图象不关于直线x=1对称,∴B错误;
f(x)==作出f(x)=和y=x2-4的图象,如图D 1所示,
结合图象知C,D正确.故选CD.
11.ABC　因为f(0)<0,所以c<0,
因为a+3b+6c=0,所以a=-3b-6c,b=-a-2c,
c=-a-b,因为f(1)<0,
所以f(1)=a+b+c=a-a-2c+c<0,即a-c<0,所以a<0;
f(1)=a+b+c=-3b-6c+b+c<0,即2b+5c>0,
所以b>0;
f(1)=a+b+c=a+b-a-b<0,即a+b<0,所以0<-<.
所以二次函数f(x)开口向下,对称轴x=-,且0<-<.
又Δ=b2-4ac=b2-4a(-a-b)=b2+2ab+a2=(a+b)2-a2,所以取a=-1,b=1时,(a+b)2-a2<0,此时f(x)=0无解,故选项A正确;
取a=-1,b=1+时,(a+b)2-a2=0,此时f(x)=0有两相等的解x0 ,且x0 ∈(0,1),故选项B正确;
取a=-1,b=时,(a+b)2-a2>0,
因为a<0,f(0)<0,f(1)<0,0<-<,所以此时f(x)=0有两不等的解x1 ,x2 ,且x1 ,x2 ∈(0,1),故选项C正确,选项D错误.故选ABC.
12.{x|x≤0或1≤x≤2}　高次不等式(-x3 +x2 +2x)(x2 -1)≥0,即 x(x2 -x-2)(x+1)(x-1)≤0,
图D 2
即 x(x-2)(x-1)(x+1)2 ≤0,等价于x(x-2)(x-1)≤0,或x=-1,画出函数y=x(x-2)(x-1)的图象,如图D 2,由图可得x(x-2)(x-1)≤0的解集为{x|x≤0或1≤x≤2},故所求原不等式的解集为{x|x≤0或1≤x≤2}.
13.2　根据题意,函数f(x)=ax2 +2x+b满足f(x)≥0对任意x∈R恒成立,且函数存在零点,则必有Δ=4-4ab=0,则ab=1,
则==(a-b)+,
又a>b,所以(a-b)+≥2=2,当且仅当a-b=时等号成立,即的最小值为2.
14.-x2+2x　[1,]　若x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),则g(-x)=x2 -2x,
∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),
即g(x)=-x2 +2x(x>0).
若0当01,此时g(a)=不成立;
当0则必有1则 解得a=1,b=,
即g(x)在(0,+∞)上的“倒值区间”为[1,].
15.(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即=-,解得b=0.
又f(2)=,∴=,∴a=2.
(2)由(1)知f(x)==+,则f(x)在(-∞,-1]上为增函数.证明如下:
设x1∵x11,1->0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在(-∞,-1]上单调递增.
图D 3
16.(1)函数f(x)的图象如图D 3所示.
(2)单调区间:[-1,0],(0,2],(2,4].
单调性:f(x)在[-1,0]和(2,4]上单调递增,在(0,2]上单调递减.
(3)由题意知,f(x)的最大值f(x)max=f(0)=3,最小值f(x)min=f(2)=-1,f(-1)=2,f(4)=1,
若函数y=a-f(x)有两个不同的零点,则方程a=f(x)有两个不同的实数根,即函数y=a与y=f(x)的图象有两个不同的交点.由图象知2≤a<3或-1故实数a的取值范围为2≤a<3或-117.(1)设该食堂平均每天所支付的总费用为y1元,
则y1=[9x(x+1)+900]+0.6×6 000=+9x+3 609≥3 609+2=3 609+180=3 789,
当且仅当=9x,即x=10时取等号,
则该食堂10天购买一次大米,才能使平均每天所支付的总费用最少.
(2)若该食堂接受此优惠条件,则至少每35天购买一次大米.
设该食堂接受此优惠条件后,每x(x≥35)天购买一次大米,平均每天支付的总费用为y2元,
则y2=[9x(x+1)+900]+0.6×6 000×0.8=+9x+2 889.
设f(x)=+9x=9(x+),x≥35,
则f(x)在x≥35时为增函数,则当x=35时,y2有最小值,约为3 229.7,此时3 229.7<3 789,则食堂应考虑接受此优惠条件.
18.(1)条件①,因为f(x)=ax2 +bx+c(a≠0),所以f(x+1)-f(x)=a(x+1)2 +b(x+1)+c-(ax2 +bx+c)=2ax+a+b=2x-2,即2(a-1)x+a+b+2=0对任意的x∈R恒成立,所以 解得
条件②,因为不等式f(x)<0的解集为{x|10.
条件③,函数y=f(x)的图象过点(3,2),所以9a+3b+c=2.
若选择条件①②,则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2 -3x+2;
若选择条件①③,则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2 -3x+2;
若选择条件②③,则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2 -3x+2.
(2)由(1)知g(x)=x2 -(m+3)x+2,其图象的对称轴方程为x=.
①当≤1,即m≤-1时,g(x)min =g(1)=3-(m+3)=-m=3,解得m=-3;
②当≥2,即m≥1时,g(x)min =g(2)=6-(2m+6)=-2m=3,解得m=-(舍);
③当1<<2,即-1综上所述,所求实数m的值为-3.
19.(1)g(x)是偶函数.
理由如下：因为f(x)=|x|，所以对任意x∈R有f(x)-f(-x)=0，
令x1=x，x2=-x，且x1，x2∈R，
因为|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|，
所以|f(x)-f(-x)|≥|g(x)-g(-x)|，
所以|g(x)-g(-x)|≤0，
所以g(x)=g(-x)，且定义域R关于原点对称，
所以g(x)是偶函数.
(2)因为a>0，所以f(x)=ax2+2x+1图象的对称轴为x=-<0，且图象开口向上，g(x)=x2+ax图象的对称轴为x=-<0，且图象开口向上，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，g(x)在(0，+∞)上单调递增，
不妨假设0所以|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)| f(x2)-f(x1)≥g(x2)-g(x1)，
即f(x2)-g(x2)≥f(x1)-g(x1).
设h(x)=f(x)-g(x)=(a-1)x2+(2-a)x+1，
当a=1时，h(x)=x+1，在(0，+∞)上单调递增，显然满足要求；
当a>1时，h(x)为二次函数，其图象的对称轴为x=-，图象开口向上，故只需-≤0即可，解得1当a<1时，h(x)为二次函数，其图象的对称轴为x=->0，图象开口向下，此时不满足要求.
综上可知，a的取值范围是[1，2].