必修第一册苏教版第3章单元测试卷（含解析）

第3章　不等式　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2-7x+6>0},B={x|2-x>0},则A∩B= (　　)
A.{x|x>6} B.{x|12.若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为{x|-A.-2 B.2 C.3 D.-3
3.已知a,b,c∈R,给出下列条件:①a2>b2;②<;③ac2>bc2.则使得a>b成立的充分不必要条件是 (　　)
A.① B.② C.③ D.①②③
4.最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于2,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为 (　　)
A. B.1 C.2 D.6
5.已知a>b>0,则2a++的最小值为 (　　)
A.4× B.6 C.3× D.3
6.对任意实数x,不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0恒成立,则a的取值范围是 (　　)
A.{a|-22}
7.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=++,则(　　)
A.T>0 B.T<0 C.T=0 D.T≥0
8.若对任意的正实数x,y,不等式x+≤a(x+y)恒成立,则实数a的最小值为 (　　)
A. B.-1 C.+1 D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若a,b,c∈R,a>b,且ab≠0,则下列不等式成立的是(　　)
A.< B.> C.> D.a|c|>b|c|
10.下列命题中是假命题的有 (　　)
A.|x|2+|x|-2=0有四个实数解
B.设a,b,c是实数,若函数y=ax2+bx+c没有零点,则ac≥0
C.若x2-3x+2≠0,则x≠2
D.若关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0)的解集为{x|x∈R,x≠},则k=
11.下列关于一元二次不等式叙述正确的是 (　　)
A.若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,则a<0,且Δ≤0
B.若==,则一元二次不等式a1x2+b1x+c1>0的解集与一元二次不等式a2x2+b2x+c2>0的解集相等
C.已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a的值之和是22
D.若一元二次不等式ax2+bx-2>0和不等式<0的解集相同,则a+b的值为-13
三.填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是　　　　.
13.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为(x-k+) L,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,则x的取值范围为　　　　.
14.已知集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,则a2+的最小值为　　　　;若不等式x2+ax+b四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)函数y=x2+2mx+3m+4.
(1)若y有且只有一个零点,求m的值;
(2)若y有两个零点且均比-1大,求m的取值范围.
16.(15分)给定两个条件:①充分不必要,②必要不充分.从这两个条件中,任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.
已知p:实数x满足x2-3ax+2a2<0,a>0.
(1)若a=1,求实数x的取值范围.
(2)已知q:实数x满足217.(15分)(1)已知x<,求y=4x-2+的最大值.
(2)求函数y=(x>1)的最小值.
18.(17分)设函数y=x2-ax+b.
(1)若不等式x2-ax+b<0的解集是{x|10的解集;
(2)若当x=-2时,y=8,m2-3m-8≥ab对于任意的正实数a,b恒成立,求实数m的取值范围.
19.(17分)高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义A×B={(x，y)|x∈A且y∈B}，将A×B称为“A与B的笛卡尔积”.
(1)若A={-1，0，1}，B={-1，1}，求A×B和B×A.
(2)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为|H|.已知|A1×A2|=m3(m∈N*)，且存在实数a满足≥a对任意m∈N*恒成立，求a的取值范围，并指明当a取到最值时|A1|和|A2|满足的关系式及m应满足的条件.
第3章　不等式　单元测试卷　参考答案
1.C　∵A={x|(x-1)(x-6)>0}={x|x<1或x>6},B={x|2-x>0}={x|x<2},∴A∩B={x|x<1}.
2.D　由题意可知a≠0,由|ax-2|<3,得(ax-2)2<9,即a2x2-4ax-5<0, 故一元二次方程a2x2-4ax-5=0的解为x1=-,x2=,则x1+x2==-,x1x2=-=-,解得a=-3.
3.C　对于①,由a2>b2无法得到a>b成立,故①不符合题意;对于②,当a<0,b>0时,满足<,但a>b不成立,故②不符合题意;对于③,若ac2>bc2,则c≠0,可得a>b,但由a>b不能得到ac2>bc2,如当c2=0时,ac2>bc2不成立,故③是a>b成立的充分不必要条件.故选C.
4.C　记该直角三角形的斜边长为c=2,直角边长为a,b,则a2+b2=8.
由≤可知,≤2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以该直角三角形周长a+b+c≤4+c=4+2,
当这个直角三角形周长取最大值时,该三角形的面积为×2×2=2.
5.B　∵a>b>0,∴2a++=a+b++(a-b)+≥2+2=6,当且仅当a+b=2,a-b=1,即a=,b=时等号成立.故选B.
6.A　由已知得,若a≠2,则解得-2又当a=2时,原不等式可化为-4<0,显然恒成立.
综上,a的取值范围是{a|-27.B　由a+b+c=0,abc>0,知a,b,c中一正两负.不妨设a>0,b<0,c<0,则T=++===.∵ab<0,-c2<0,abc>0,∴T<0.
8.D　因为x>0,y>0,所以不等式x+≤a(x+y)可化为a≥,∴a≥,令t=1+(t>1),
∴a≥.∵=≤==,当且仅当t=时等号成立,
∴a≥,
∴实数a的最小值为.故选D.
9.BC　对于A,若a>0,b<0,则>0,<0,此时>,
∴A不成立;
对于B,∵a>b,>0,∴-=>0,即>,
∴B成立;
对于C,∵c2+1≥1,且a>b,∴>成立;
对于D,当c=0时,a|c|=b|c|,∴D不成立.
10.AD　由|x|2+|x|-2=0得|x|=1或|x|=-2(舍去),所以x=±1,故方程有两个实数解,故A是假命题.
若二次函数y=ax2+bx+c没有零点,则b2-4ac<0,则ac>≥0,则ac>0;若a=b=0,c≠0,则函数y=c没有零点,满足题意,此时ac=0.故ac≥0,故B是真命题.
若x2-3x+2≠0,则x≠2且x≠1,可推出x≠2,故C是真命题.
依题意知解得k=-,故D是假命题.
11.AD　对于选项A,一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,则a<0,且Δ≤0,A正确;
对于选项B,若==,但a1,a2的符号相反,则两个不等式的解集不可能相等,B错误;
对于选项C,∵y=x2-6x+a图象的对称轴为直线x=3,根据对称性可得,一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数为2,3,4,则解得5∵a∈Z,则a=6,7,8,∴所有符合条件的a的值之和是6+7+8=21,C错误;
对于选项D,∵<0,则(4x+1)(x+2)<0,解得-2故选AD.
12.c≥b>a　∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,即b=a2+1,
∴b-a=a2-a+1=(a-)2+>0,∴b>a,∴c≥b>a.
13.{x|60≤x≤100}　由汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,得(120-k+)=11.5,解得k=100,故每小时油耗为[(x+)-20] L.
由题意得(x+)-20≤9,解得45≤x≤100.又60≤x≤120,故60≤x≤100.所以x的取值范围为{x|60≤x≤100}.
14.4　4　因为集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,则Δ=a2-4b=0,所以a2=4b>0,因为a2+=4b+≥2=4,当且仅当4b=,即b=时取等号,所以a2+的最小值为4.
因为不等式x2+ax+b15.(1)根据题意,若y=x2+2mx+3m+4有且只有一个零点,
则Δ=(2m)2-4(3m+4)=0,解得m=-1或m=4,
即m的值为-1或4.
(2)根据题意,若y=x2+2mx+3m+4有两个零点且均比-1大,则有解得-5即m的取值范围为(-5,-1).
16.(1)当a=1时,不等式为x2-3x+2<0,解得1所以实数x的取值范围为(1,2).
(2)由x2-3ax+2a2<0,a>0,可得a若选①,因为p是q的充分不必要条件,
则无解,
所以满足条件的实数a不存在.
若选②,因为p是q的必要不充分条件,
则解得所以实数a的取值范围为(,2].
17.(1)由x<,可得4x-5<0,所以y=4x-2+=-(5-4x+)+3≤-2+3=-2+3=1,当且仅当x=1时,y取得最大值,最大值为1.
(2)因为x>1,所以x-1>0,所以y===(x-1)++2≥2+2=2+2,当且仅当x=1+时,y取得最小值,为2+2.
18.(1)由题意知,1和4是方程x2-ax+b=0的两根,所以解得所以不等式bx2-ax+1>0为4x2-5x+1>0,即(4x-1)(x-1)>0,解得x<或x>1.
故不等式bx2-ax+1>0的解集为{x|x<或x>1}.
(2)由当x=2时,y=8可得,4+2a+b=8,即2a+b=4,所以ab=·2a·b≤·()2=·()2=2,当且仅当2a=b,即a=1,b=2时等号成立,所以ab的最大值为2,要使m2-3m-8≥ab对于任意的正数a,b恒成立,则m2-3m-8≥(ab)max=2,所以m2-3m-10≥0,即(m-5)·(m+2)≥0,解得m≤-2或m≥5.故实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[5,+∞).
(1)由题意可得，A×B={(-1，-1)，(-1，1)，(0，-1)，(0，1)，(1，-1)，(1，1)}，
B×A={(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)}.
(2)设|A1|=c，|A2|=d，c，d∈N*，
则|A1×A2|=|A2×A1|=cd=m3，|A1×A1|=c2，|A2×A2|=d2，
可得==≥=，
当且仅当=，即c=d时，等号成立，
所以实数a的取值范围为{a|a≤}.
若a取到最大值，则c=d，即|A1|=|A2|，
可得c2=m3，即c==()3∈N*，
所以m=k2，k∈N*.