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高中数学
苏教版(2019)
必修 第一册
第5章 函数概念与性质
本章复习与测试
必修第一册苏教版第5章单元测试卷(含解析)
文档属性
名称
必修第一册苏教版第5章单元测试卷(含解析)
格式
docx
文件大小
107.7KB
资源类型
试卷
版本资源
苏教版(2019)
科目
数学
更新时间
2024-10-05 10:11:59
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文档简介
第5章 函数概念与性质 单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=的定义域为 ( )
A.{x|x>1} B.{x|x<-1} C.{x|-1
2.已知≈1.414 21,如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字,则f(2)+f(4)= ( )
A.5 B.6 C.3 D.2
3.函数y=的值域是 ( )
A.(-1,] B.(-1,1) C.(-∞,] D.(-2,2)
4.函数g(x)=f(x)-f(-x)+1的图象可能是( )
A B C D
5.已知f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,且在(-2,2)上为增函数,若f(2+a)+f(1-2a)>0,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-,0) B.(-∞,3) C.(-4,0) D.(-,)
6.已知函数f(x)=设F(x)=x2·f(x),则对F(x)的描述正确的是 ( )
A.是奇函数,在(-∞,+∞)上单调递减
B.是奇函数,在(-∞,+∞)上单调递增
C.是偶函数,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增
D.是偶函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减
7.已知定义在R上的函数y=f(x)同时满足下列三个条件:
①对于任意的x∈R都有f(x+4)=f(x);
②对于任意的0≤x1
③函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称.
则f(5),f(6.5),f(15.5)的大小关系为 ( )
A.f(6.5)>f(5)>f(15.5) B.f(15.5)>f(6.5)>f(5)
C.f(5)>f(6.5)>f(15.5) D.f(6.5)>f(15.5)>f(5)
8.已知函数f(x)=若存在唯一的整数x,使得(2 022f(x)-2 021)(x-a)<0成立,则所有满足条件的整数a的取值集合为 ( )
A.{-2,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列各对函数中,图象完全相同的是 ( )
A.y=x与y= B.y=()2与y=|x|
C.y=与y=x0 D.y=与y=
10.已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+,且f()=0,下列结论正确的是 ( )
A.f(0)=- B.f(-1)=-
C.f(x)为R上的减函数 D.f(x)+为奇函数
11.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,称y=[x]为高斯函数,如:[1.2]=1,[-1.2]=-2,因而y=[x]又被称为取整函数,在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车收费等均按“取整函数”进行计费.以下关于“取整函数”的描述,正确的是 ( )
A. x∈R,[2x]=2[x] B. x∈R,[x]+[x+]=[2x]
C. x,y∈R,若[x]=[y],则有x-y>-1 D.方程x2=3[x]+1的解集为{,}
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若g(x)=x-1,f(g(x))=,则f(1)= .
13.已知f (x+2)是偶函数,f(x)在(-∞,2]上单调递减,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集是 .
14.设函数f(x)=
(1)若 x∈R且x≠0,使得f(1+x)=f(1-x)成立,则实数a的取值范围是 ;
(2)若函数f(x)为R上的单调函数,则实数a的取值范围是 .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(1)用定义法证明函数f(x)=x2-在(0,+∞)上单调递增;
(2)已知g(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=x3+3x2+1,求g(x)的解析式.
16.(15分)如图1所示,有一块半径为2的半圆形纸片,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是☉O的直径,上底CD的端点在半圆周上,设CD=2x,梯形ABCD的周长为y.
(1)求出y关于x的函数解析式;
(2)求y的最大值,并指出相应的x的值.
图1
17.(15分)已知函数f(x)=的定义域是(-1,1).
(1)当b=2时,求f(x)的值域;
(2)当b=0时,解不等式f(t-1)+f(t)<0.
18.(17分)有三个条件:①f(x+1)=f(x)+2x-1;②f(x+1)=f(1-x)且f(0)=3;③f(x)的最小值为2且f(0)=3.
从这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.
问题:已知二次函数f(x)满足 ,f(1)=2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x),x∈[-1,4],求g(x)的最值.
注:若选择多个条件分别进行解答,则按第一个解答计分.
19.(17分)定义:设函数f(x)的定义域为D,若存在实数m,M,对任意的实数x∈D,有f(x)≤M,则称函数f(x)为有上界函数,M是f(x)的一个上界;有f(x)≥m,则称函数f(x)为有下界函数,m是f(x)的一个下界.
(1)若函数f(x)=x2+cx-2在(0,1)上是以2为上界的有界函数,求实数c的取值范围.
(2)某同学在研究函数y=x+(b>0)的单调性时发现该函数在(0,]与[,+∞)上具有单调性,
(i)请直接写出函数y=x+(b>0)在(0,]与[,+∞)上的单调性,不必证明;
(ii)若函数g(x)=(a>0)的定义域为[4,16],m是函数g(x)的下界,请利用(i)的结论,求m的最大值m(a).
第5章 函数概念与性质 单元测试卷 参考答案
1.D 因为f(x)是分式,所以函数f(x)的定义域是使分母不等于零的实数,故x2-1≠0,即x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.
2.C 根据题意,对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字,则f(2)=1,f(4)=2,则f(2)+f(4)=3,故选C.
3.A 函数y===-1+,
∵0<≤,∴-1
4.C 令h(x)=f(x)-f(-x),则g(x)=h(x)+1,g(x)的图象就是将h(x)的图象向上平移一个单位,
因为h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x),所以函数h(x)为奇函数,图象关于原点对称,
所以g(x)=f(x)-f(-x)+1的图象关于点(0,1)对称.
结合选项可知C正确.
5.A ∵f(2+a)+f(1-2a)>0,∴f(2+a)>-f(1-2a).
又f(x)为奇函数,∴f(2+a)>f(2a-1).
∵f(x)在(-2,2)上为增函数,∴
解得-
6.B ∵f(-x)=∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
∵F(x)=x2·f(x),
∴F(-x)=(-x)2·f(-x)=-x2·f(x)=-F(x),
∴F(x)是奇函数,可排除C,D.
又F(x)=x2·f(x)=
∴F(x)在(-∞,+∞)上单调递增.故选B.
7.A 由f(x+4)=f(x)可知,f(6.5)=f(2.5),f(5)=f(1),
f(15.5)=f(3.5).
因为函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称,且y=f(x)的图象向左平移2个单位长度可得y=f(x+2)的图象,
所以y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则有f(6.5)=f(2.5)=f(1.5),f(15.5)=f(3.5)=f(0.5).
对于任意的0≤x1
f(1)>f(0.5),即f(6.5)>f(5)>f(15.5).
8.B 作出函数f(x)的图象,如图D 1所示,
图D 1
对于(2 022f(x)-2 021)(x-a)<0,
当2 022f(x)-2 021<0,即f(x)<时,x-a>0,即x>a,记A={x|x>a},
对于f(x)<,则或且x∈Z,
可得f(x)<的整数解集为B={x∈Z|x≤-2或x=0}.
由题意可得,集合A∩B只有一个元素,即A∩B={0},则
-2≤a<0,
满足条件的整数a的取值为-2,-1.
当2 022f(x)-2 021>0,即f(x)>时,x-a<0,即x
对于f(x)>,则或且x∈Z,
可得f(x)>的整数解集为D={x∈Z|x≥1或x=-1},
由题意可得,集合C∩D只有一个元素,即C∩D={-1},则-1
满足条件的整数a的取值为0,1.
综上所述,所有满足条件的整数a的取值集合为{-2,-1,0,1}.
9.AC 对于A,∵y=x的定义域为R,y=的定义域为R,两个函数的对应关系相同,∴是同一个函数.对于B,∵y=()2的定义域为[0,+∞),y=|x|的定义域为R,∴两个函数不是同一个函数.对于C,∵y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),两个函数的对应关系相同,∴两个函数是同一个函数.对于D,y=的定义域是{x|x≠±1},y=的定义域是{x|x≠1},定义域不相同,∴不是同一个函数.
10.ABD 依题意f(x+y)=f(x)+f(y)+,且f()=0,
令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+,所以f(0)=-,故A选项正确.
令x=,y=-,则f(-)=f()+f(-)+,
即-=0+f(-)+,所以f(-)=-1,
令x=y=-,得f(--)=f(-)+f(-)+,
即f(-1)=2f(-)+=-2+=-,故B选项正确.
由于f(-1)
令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)+,即-=f(x)+f(-x)+,即0=[f(x)+]+[f(-x)+],所以f(x)+为奇函数,故D选项正确.故选ABD.
11.BCD 对于A,取x=,则[2x]=[1]=1,2[x]=2[]=0,故A错误.对于B,设[x]=x-a,a∈[0,1),所以[x]+[x+]=[x]+[[x]+a+]=2[x]+[a+],[2x]=[2[x]+2a]=2[x]+[2a],当a∈[0,)时,a+∈[,1),2a∈[0,1),则[a+]=0,[2a]=0,则[x]+[x+]=2[x],[2x]=2[x],故当a∈[0,)时,[x]+[x+]=[2x]成立;当a∈[,1)时,a+∈[1,),2a∈[1,2),则[a+]=1,[2a]=1,则[x]+[x+]=2[x]+1,[2x]=2[x]+1,故当a∈[,1)时,[x]+[x+]=[2x]成立,综上B正确.对于C,设[x]=[y]=m,则x=m+t,0≤t<1,y=m+s,0≤s<1,则|x-y|=|(m+t)-(m+s)|=|t-s|<1,因此x-y>-1,故C正确.对于D,由x2=3[x]+1知,x2一定为整数且3[x]+1≥0,所以[x]≥-,所以[x]≥0,所以x≥0,由[x]2≤x2<([x]+1)2,得[x]2≤3[x]+1<([x]+1)2,由[x]2≤3[x]+1,解得≤[x]≤≈3.3,只能取0≤[x]≤3,由3[x]+1<([x]+1)2,解得[x]>1或[x]<0(舍去),故2≤[x]≤3,所以[x]=2或[x]=3,当[x]=2时,x=,当[x]=3时,x=,所以方程x2=3[x]+1的解集为{,},故D正确.故选BCD.
12.1 在f(g(x))=中,令x=2可得f(g(2))=f(1)==1.
14.(-∞,-)∪(,+∞) 因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),f(x)的图象关于直线x=2对称,
由f(0)=0得f(4)=0,又f(x)在(-∞,2]上单调递减,所以f(x)在[2,+∞)上单调递增,
所以f(2-3x)>0,即2-3x<0或2-3x>4,解得x>或x<-.
因此,f(2-3x)>0的解集是(-∞,-)∪(,+∞).
14.(1)a>1 f(1+x)=f(1-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称.令g(x)=-x2+2x,易知其图象开口向下,对称轴方程为x=1,可画出f(x)的大致图象(图略).
结合图象易知,若 x∈R且x≠0,使得f(1+x)=f(1-x),则a>1.
(2)a≤0或a=1 g(x)=-x2+2x在(-∞,1)上单调递增,令h(x)=x,则h(x)在R上单调递增,令g(x)≤h(x),则x≤0或x≥1.
结合图象知,若使f(x)在R上为单调函数,则a≤0或a=1.
15.(1)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1
则f(x1)-f(x2)=--+=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1+x2+)(x1-x2).
因为0
0,所以f(x1)
故函数f(x)=x2-在(0,+∞)上单调递增.
(2)当x>0时,-x<0,g(-x)=(-x)3+3(-x)2+1=-x3+3x2+1,
因为g(x)是定义在R上的奇函数,所以g(x)=-g(-x)=x3-3x2-1,且g(0)=0.
故g(x)=
图D 2
16.(1)作OH垂直DC交DC于点H,可知H是DC的中点,作DN垂直AB交AB于点N,连接OD,如图D 2所示.
设 OH=h,则h==.
在Rt△AND中,AD====2,所以y=AB+DC+2AD=4+2x+4,定义域是(0,2).
(2)令t=,则t∈(0,),且x=2-t2,
所以y=4+2(2-t2)+4t=-2(t-1)2+10,
故当t=1即x=1时,y取得最大值,最大值是10.
17.(1)当b=2时,可得f(x)==,
设y===(x+2)+-4,
∵f(x)的定义域是(-1,1),∴1
根据对勾函数的性质可得2-4≤y<0,
∴函数f(x)≤,
即f(x)的值域为(-∞,-].
(2)当b=0时,可得f(x)=,则f(-x)=-=-f(x),故f(x)是奇函数.
任取-1
0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在(-1,1)上为减函数.
不等式f(t-1)+f(t)<0,即f(t-1)<-f(t),∴f(t-1)
故得解得
故不等式的解集为(,1).
18.(1)选择①.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c,
∵f(x+1)=f(x)+2x-1,
∴ax2+(2a+b)x+a+b+c=ax2+(b+2)x+c-1,
∴解得a=1,b=-2.
又二次函数f(x)的图象经过点(1,2),∴a+b+c=2,∴c=3,故f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+3.
选择②.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=3,可得c=3.
∵f(x+1)=f(1-x),
∴二次函数f(x)图象的对称轴方程为x=1,即-=1.
又f(x)的图象经过点(1,2),∴a+b+c=2,
解得a=1,b=-2,故f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+3.
选择③.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=3,可得c=3.
∵f(x)≥2恒成立,且f(1)=2,∴f(x)图象的对称轴方程为x=1,即-=1,又f(1)=a+b+c=2,
∴a=1,b=-2,故f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+3.
(2)根据(1)可知g(x)=x2-2x+3,x∈[-1,4],结合二次函数性质可知,
g(x)在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,4]上单调递增,
∴g(x)max=g(4)=11,g(x)min=g(1)=2.
故g(x)在[-1,4]上的最小值为2,最大值为11.
19.(1)依题意得,对任意x∈(0,1),x2+cx-2≤2恒成立.
∴c≤-x对任意x∈(0,1)恒成立.
令h(x)=-x,显然函数h(x)=-x在(0,1)上单调递减,
∴当x∈(0,1)时,h(x)>h(1)=3,
∴c≤3,即实数c的取值范围为(-∞,3].
(i)函数y=x+(b>0)在(0,]上为减函数,在[,+∞)上为增函数.
(ii)g(x)==x+(a>0).
①当≥16,即a≥128时,由(i)知g(x)在[4,16]上为减函数,
∴g(x)≥g(16)=16+,
∴m(a)=16+;
②当≤4,即0
∴g(x)≥g(4)=4+,
∴m(a)=4+;
③当4<<16,即8
当且仅当x=时等号成立,
∴m(a)=2.
综上所述,m(a)=.(17分)
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同课章节目录
第1章 集合
1.1 集合的概念与表示
1.2 子集、全集、补集
1.3 交集、并集
第2章 常用逻辑用语
2.1 命题、定理、定义
2.2 充分条件、必要条件、冲要条件
2.3 全称量词命题与存在量词命题
第3章 不等式
3.1 不等式的基本性质
3.2 基本不等式
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
第4章 指数与对数
4.1 指数
4.2 对数
第5章 函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象
5.2 函数的表示方法
5.3 函数的单调性
5.4 函数的奇偶性
第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.1 幂函数
6.2 指数函数
6.3 对数函数
第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.2 三角函数概念
7.3 三角函数的图象和性质
7.4 三角函数应用
第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解
8.2 函数与数学模型
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