必修第一册苏教版第6章单元测试卷（含解析）

第6章　幂函数、指数函数和对数函数　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=的定义域为 (　　)
A.(-1,0) B.(0,1) C.(0,2) D.[-1,1)
2.若指数函数f(x)=(m-1)x是R上的减函数,则m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(1,2) D.(0,1)
3.若f(x)是幂函数,且满足=3,则f()=(　　)
A.-3 B.- C.3 D.
4.已知函数y=g(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称,则g(2)= (　　)
A.9 B. C. D.log32
5.已知a=,b=,c=(,则a,b,c 的大小关系为 (　　)
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a
6.已知奇函数f(x)满足f(x)=f(x+4),当x∈(0,1)时,f(x)=4x,则f(log4192)= (　　)
A. B.- C. D.-
7.如图1,O为坐标原点,A(1,1),若函数y=ax(a>0,a≠1)及函数y=logbx(b>0,b≠1)的图象与线段OA分别交于M,N两点,且M,N恰好是线段OA的两个三等分点,则a,b与1的大小关系为 (　　)
A.aa>1 D.a>b>1
图1
8.已知直线y=mx与函数f(x)=的图象恰好有3个不同的公共点,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(,4) B.(,+∞) C.(,5) D.(,2)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.给定下列函数,其中在区间(0,1)上单调递减的是 (　　)
A.y= B.y=(x+1) C.y=|x-1| D.y=2x+1
10.若实数a,b满足2a+3a=3b+2b,则下列关系式中可能成立的是 (　　)
A.011.已知函数f(x)=loga(x-1)(a>0,且a≠1),g1(x)=f(|x|),g2(x)=|f(x)|,g3(x)=|f(|x|)|,则 (　　)
A.函数g1(x),g2(x),g3(x)都是偶函数
B.若g1(x1)=g1(x2)=a(x14
C.若g2(x1)=g2(x2)=a(x1D.若g3(x1)=g3(x2)=g3(x3)=g3(x4)(x1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为　　　　.
13.若函数f(x)=loga(ax2-x)在[2,4]上单调递增,则a的取值范围为　　　　.
14.已知函数f(x)=2x且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式2a·g(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则(1)g(x)=　　　　.
(2)实数a的取值范围是　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象过点(3,3).
(1)求实数a的值;
(2)解关于x的不等式f(2x+2)16.(15分)在①函数y=lg(x2+x+k)的值域为R,②对任意的x∈R,都有|x-2|+|x-3|-2k≥0,③方程x2-x+k=0有一根在区间[1,+∞)内这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并进行解答.
问题:已知条件p:　　　　,条件q:函数f(x)=2x2-kx在(-3,a)上不单调,若p是q的必要条件,求实数a的最大值.
注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
17.(15分)已知函数f(x)=log2(x2-2mx+9).
(1)若f(x)的图象关于直线x=3对称,求实数m的值;
(2)若函数f(x)的值域为R,求函数g(m)=的值域.
18.(17分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=lo(-x+1).
(1)求f(0),f(1);
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.
19.(17分)对于定义在区间[m，n]上的两个函数f(x)和g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有|f(x)-g(x)|≤1成立，则称函数f(x)与g(x)在[m，n]上是“友好”的，否则称为“不友好”的.已知函数f(x)=loga(x-3a)，g(x)=loga(a＞0，a≠1).
(1)若f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围;
(2)讨论函数f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是否“友好”.
第6章　幂函数、指数函数和对数函数　单元测试卷　参考答案
1.D　由题意可知解得-1≤x<1,所以该函数的定义域为[-1,1).
2.C　∵指数函数f(x)=(m-1)x是R上的减函数,
∴03.D　设幂函数f(x)=xα,α为常数,则==2α=3,解得α=log23,∴f(x)=,
∴f()=(=()-1=.
4.D　因为函数y=g(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称,所以函数y=g(x)是函数y=3x的反函数,所以g(x)=log3x,故g(2)=log32.
5.B　由已知得c==.令m=log23.4,n=log43.6,l=log3,
∵log43.6log33.4>log3>1,∴m>l>n.∵y=5x在R上为增函数,∴a>c>b.
6.B　由题意得,函数f(x)是以4为周期的周期函数.
log4192=log464+log43=3+log43=4+(log43-1)=4+log4,则f(log4192)=f(log4).
又函数f(x)为奇函数,所以f(log4)=-f(log4).
当x∈(0,1)时,f(x)=4x,所以f(log4)==.
故f(log4192)=-f(log4)=-.
7.A　由图象可知,两函数均为减函数,所以0因为O为坐标原点,A(1,1),所以直线OA所对应的函数为y=x.因为y=ax的图象过点M,所以它的反函数y=logax的图象也过点M.
又函数y=logbx的图象过点N,所以根据对数函数的图象和性质可知a图D 1
8.B　作出函数f(x)的图象,如图D 1所示.
当m≤0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有1个公共点,不符合题意;
当m>0时,直线y=mx与函数y=2-()x,x≤0的图象只有1个公共点,
∴直线y=mx与函数y=+1,x>0的图象有2个公共点,
即方程mx=+1在(0,+∞)上有2个不同的实数根.
∴解得m>.
故实数m的取值范围为(,+∞).
9.BC　幂函数y=在[0,+∞)上是增函数;
y=lo(x+1)在(-1,+∞)上是减函数;
y=|x-1|=所以其在区间(-∞,1)上单调递减;
y=2x+1在R上是增函数.
故在区间(0,1)上单调递减的函数是y=lo(x+1)和y=|x-1|.
图D 2
10.ABD　由2a+3a=3b+2b,设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x,易知f(x),g(x)都是R上的增函数,画出f(x),g(x)的大致图象,如图D 2所示,
根据图象可知,当x=0,1时,f(x)=g(x),
由图可知,当0g(x),故当0当x<0时,因为f(x)当1当a=b=0或a=b=1时,f(a)=g(b),故D正确.
11.CD　因为g2(x)=|loga(x-1)|的定义域为(1,+∞),不关于原点对称,所以不是偶函数,故A错误;
因为g1(x)=loga(|x|-1),由g1(x1)=g1(x2)=a(x1当|f(x)|=a时,有f(x)=a或f(x)=-a,则x1=a-a+1,x2=aa+1(a>0),所以+====1,故C正确;
由g3(x1)=g3(x2)=g3(x3)=g3(x4)(x1设g3(x1)=1,a>1,则x1=-1-a,x2=--1,x3=1+,x4=1+a,所以=-,=-,=,=,所以+++=0,故D正确.
12.-1　令g(x)=ex+ae-x,则由题意知g(x)=ex+ae-x为奇函数,由奇函数的性质可得g(0)=0,即1+a=0,解得a=-1.
13.{a|a>1}　令φ(x)=ax2-x.
(1)当a>1时,若使f(x)=loga(ax2-x)在[2,4]上单调递增,则φ(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增且大于零.故有解得a>,∴a>1.
(2)当0综上所述,当a>1时,函数f(x)=loga(ax2-x)在[2,4]上单调递增.
14.(1)　∵f(x)=g(x)+h(x)　①,其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,∴f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)　②,
由①②得g(x)==.
(2){a|a≥-}　不等式2a·g(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,即a(2x-2-x)+≥0恒成立,
令t=2x-2-x,则t∈[,],
且22x+2-2x=(2x-2-x)2+2=t2+2,
故2at+t2+2≥0,即a≥-(t+)在t∈[,]时恒成立.
∵y=t+在t∈[,]时单调递增,
∴当t=时,t+取得最小值,为,
∴-(t+)的最大值为-,∴a≥-.
15.(1)由题设条件可知,f(3)=loga(3-1)+2=3,
∴loga2=1,即a=2.
(2)f(x)=log2(x-1)+2的定义域为{x|x>1},并且函数f(x)在定义域内单调递增,∵f(2x+2)∴解得x>3.
故不等式的解集为{x|x>3}.
16.选①.
令t=x2+x+k,t>0,∵y=lg t的值域为R,
∴t=x2+x+k的值域需包含(0,+∞),
故Δ=2-4k≥0,解得k≤,
故由条件p得k∈(-∞,].
选②.对任意的x∈R,都有|x-2|+|x-3|-2k≥0,即2k≤(|x-2|+|x-3|)min,
而|x-2|+|x-3|≥|x-2-x+3|=1,即2k≤1,
故由条件p得k∈(-∞,].
选③.∵方程x2-x+k=0有一根在区间[1,+∞)内,
故k=-x2+x=-(x-)2+≤,即k≤,
故由条件p得k∈(-∞,].
条件q:函数f(x)=2x2-kx在区间(-3,a)上不单调,
则-3<故由条件q得k∈(-12,4a).
若p是q的必要条件,即(-12,4a) (-∞,],则4a≤,解得a≤,故a的最大值是.
17.(1)∵f(x)的图象关于直线x=3对称,
∴f(3+x)=f(3-x),
即log2[(3+x)2-2m(3+x)+9]=log2[(3-x)2-2m(3-x)+9],
∴(3+x)2-2m(3+x)+9=(3-x)2-2m(3-x)+9,
解得m=3.
(2)∵f(x)的值域为R,
∴y=x2-2mx+9的值域需包含(0,+∞),
∴Δ=4m2-36≥0,解得m≤-3或m≥3.
令t=-m2+2m(m≤-3或m≥3),则t≤-3,
∴2t≤2-3=,又2t>0,
∴g(m)=的值域为(0,].
18.(1)∵当x≤0时,f(x)=lo(-x+1),∴f(0)=0.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(1)=f(-1)=lo[-(-1)+1]=lo2=-1,即f(1)=-1.
(2)令x>0,则-x<0,从而f(x)=f(-x)=lo(x+1),
∴当x>0时,f(x)=lo(x+1).
故f(x)=
(3)设x1,x2是R上的任意两个值,且x1-x2≥0,∴1-x1>1-x2≥1.
∵f(x2)-f(x1)=lo(-x2+1)-lo(-x1+1)=lo>lo1=0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)=lo(-x+1)在(-∞,0]上单调递增.
又f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵f(a-1)<-1=f(1),∴|a-1|>1,解得a>2或a<0.
故实数a的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).
19.(1)f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上都有意义，
则必须满足，解得a＜1，又a＞0且a≠1，
所以a的取值范围为(0，1).
(2)假设存在实数a，使得f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，则|f(x)-g(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)|≤1，
即-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1，
因为a∈(0，1)，则2a∈(0，2)，a+2＞2，所以[a+2，a+3]在x=2a的右侧，
由复合函数的单调性可得y=loga(x2-4ax+3a2)在区间[a+2，a+3]上为减函数，
从而当x=a+2时，ymax=loga(4-4a)，当x=a+3时，ymin=loga(9-6a)，
所以，即，解得0＜a≤，
所以当0＜a≤时，f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是“友好”的;
当＜a＜1时，f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是“不友好”的.