必修第一册苏教版第7章单元测试卷（含解析）

第7章　三角函数　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若600°角的终边上有一点(-4,a),则a的值是 (　　)
A. B.- C.4 D.-4
2.sin 1,cos 1,tan 1的大小关系为 (　　)
A.sin 1>cos 1>tan 1 B.sin 1>tan 1>cos 1
C.tan 1>sin 1>cos 1 D.tan 1>cos 1>sin 1
3.把函数y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到的图象所对应的函数解析式为(　　)
A.y=sin(3x+) B.y=sin(+) C.y=sin(3x-) D.y=sin(-)
4.函数y=的定义域是 (　　)
A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z) B.[kπ-,kπ+](k∈Z)
C.[kπ-,kπ+](k∈Z) D.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
5.已知△ABC中,=-,则cos A= (　　)
A. B.- C. D.-
6.若函数y=sin(2x+φ)(0<φ<)的图象的对称中心在区间(,)内有且只有一个,则φ的值可以是 (　　)
A. B. C. D.
图1
7.函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图1所示,A,B分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为2,则该函数图象的一条对称轴方程为(　　)
A.x= B.x= C.x=1 D.x=2
8.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),已知(-,0)为f(x)图象的一个对称中心,直线x=为f(x)图象的一条对称轴,且f(x)在[,]上单调递减.记满足条件的所有ω的值的和为S,则S的值为 (　　)
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中,最小正周期为π,且为偶函数的有 (　　)
A.y=tan(x+) B.y=sin(2x-)
C.y=sin|2x| D.y=|sin x|
10.将函数f(x)=cos(2x+)-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则 (　　)
A.函数g(x)的最大值为,其图象关于直线x=-对称
B.函数g(x)的图象关于y轴对称
C.函数g(x)的最小正周期为π
D.函数g(x)的图象关于点(,0)中心对称
11.如图2所示,点M,N是函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的图象与x轴的交点,点P在M,N之间的图象上运动,若M(-1,0),且当△MPN的面积最大时,PM⊥PN,则 (　　)
图2
A.f(0)= B.ω+φ=
C.f(x)的增区间为[-1+8k,1+8k](k∈Z) D.f(x)的图象关于直线x=5对称
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.“一湾如月弦初上,半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图3所示,月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为60米.其中外岸为半圆,内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周,则该游客步行的路程为　　　　米.
图3 图4
13.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如图4所示,则函数f(x)的最小正周期为　　　　　,减区间为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f()=f()=0,写出一个满足要求的函数f(x)的解析式　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知f(x)=sin(6x+)+.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的减区间;
(3)函数f(x)的图象可以由函数y=sin 6x的图象经过怎样变换得到
16.(15分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)满足下列三个条件中的两个条件:
①函数f(x)的周期为π;
②直线x=是函数f(x)的对称轴;
③f()=0且在区间(,)上单调.
(1)请指出这两个条件,并求出函数f(x)的解析式;
(2)若x∈[0,],求函数f(x)的值域.
17.(15分)已知函数f(x)=Asin(x+φ),A>0,0<φ<,f(x)的部分图象如图5所示,点P,Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;
(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,求A的值.
图5
18.(17分)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱,乘客坐在座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色,因此它受到广大年轻人的热爱.某一摩天轮的半径为50 m,最高点距离地面高度为110 m,摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱,并且运行时按逆时针匀速旋转,转一周大约需要12 min.如图6,甲、乙两游客分别坐在P,Q两个座舱里,且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).
(1)求劣弧PQ的弧长l(单位:m);
(2)设游客丙从最低点M处进舱,开始转动t min后距离地面的高度为H m,求在转动一周的过程中,H关于时间t的函数解析式;
(3)若游客在距离地面至少85 m的高度能够获得最佳视觉效果,请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲、乙两位游客都有最佳视觉效果
图6
19.(17分)对于函数f(x)，若f(x)的图象上存在关于原点对称的点，则称f(x)为定义域上的“G函数”.
(1)试判断f(x)=|cos x|(x≠0)是否为“G函数”，并说明理由;
(2)若f(x)=log2(tan x+m)+1是定义在区间[-，0)∪(0，]上的“G函数”，求实数m的取值范围.
第7章　三角函数　单元测试卷　参考答案
1.D　tan 600°==tan(540°+60°)=tan 60°=,故a=-4.
2.C　∵<1<,∴结合三角函数线得tan 1>sin 1>cos 1.
3.B　把函数y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin(x+)的图象,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(+)的图象.
4.D　∵cos x-≥0,∴cos x≥,∴2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),故所求函数的定义域是[2kπ-,2kπ+](k∈Z).
5.B　由=-得tan A=-,从而=-,即sin A=-cos A,代入sin2A+cos2A=1得cos2A=,因为A为△ABC的内角,所以sin A>0,cos A<0,则cos A=-.
6.D　根据题意,令2x+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-2x,k∈Z.∵函数f(x)图象的一个对称中心在区间(,)内,∴-2x∈(-,-),∴kπ-2x∈(kπ-,kπ-),k∈Z.当k=1时,φ∈(,),又0<φ<,∴φ∈(,),结合选项,φ的可能取值是,此时函数的图象的对称中心在区间(,)内有且只有一个,符合题意.
7.C　函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1,最小值为-1,所以最小正周期T=2×=4,所以ω=.因为函数为奇函数,所以cos φ=0(0<φ<π),则φ=,故函数解析式为y=cos(x+)=-sinx,所以x=1为该函数图象的一条对称轴方程.
8.B　由题意知-ω+φ=k1π,k1∈Z,ω+φ=k2π+,k2∈Z,两式相减可求得ω=(k2-k1+),k1,k2∈Z,
即ω=(k+),k∈Z.
因为f(x)在[,]上单调递减,所以≥-=,
所以≥,且(k+)>0,k∈Z,
解得0≤k≤2,所以k=0,1,2.
k=0时,ω=,此时φ=,符合题意;
k=1时,ω=,此时φ=,不满足f(x)在[,]上单调递减,不符合题意;
k=2时,ω=2,此时φ=,符合题意.
所以符合条件的ω值之和S=+2=.
9.BD　y=tan(x+)的最小正周期为π,但不是偶函数,故A不满足条件.y=sin(2x-)=-cos 2x的最小正周期为π,且它为偶函数,故B满足条件.y=sin|2x|为偶函数,但不是周期函数,故C不满足条件.y=|sin x|的最小正周期为π,且它为偶函数,故D满足条件.
10.BCD　将函数f(x)=cos(2x+)-1的图象向左平移个单位长度,得到y=cos[2(x+)+]-1=cos(2x+π)-1=-cos 2x-1的图象;
再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)=-cos 2x的图象.
对于函数g(x),函数g(x)的最大值为,由于当x=-时,g(x)=,不是最值,故g(x)的图象不关于直线x=-对称,故A错误;
由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故B正确;
函数g(x)的最小正周期为=π,故C正确;
当x=时,g(x)=0,故函数g(x)的图象关于点(,0)中心对称,故D正确.
11.AD　由题图知,当点P(x0,y0)位于曲线最高点(此时y0=2)时,△MPN面积最大,且PM⊥PN,∴△MPN为等腰直角三角形.
设MN的中点为Q,则PQ⊥MN,且PQ=MN,即y0=MN=2,∴MN=4,又ω>0,MN=×=4,∴ω=,∴f(x)=2cos(x+φ).
将M(-1,0)代入f(x)=2cos(x+φ)中得,2cos[×(-1)+φ]=0,×(-1)+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ+,k∈Z,又-<φ<,∴φ=-,∴f(x)=2cos(x-).
f(0)=2cos(-)=,故A正确;ω+φ=0,故B错误;令x-∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z,则x∈[8k-3,8k+1],k∈Z,故C错误;令x-=kπ,k∈Z,则x=4k+1,k∈Z,当k=1时,x=5,故D正确.
图D 1
12.(40+30)π　作月牙泉的示意图(如图D 1所示),O是QT的中点,P是内岸圆弧所在圆的圆心,连接PO,PQ,PT,可得PO⊥QT,由条件可知QT=60,PQ=60,所以sin∠QPO=,所以∠QPO=,∠QPT=,所以月牙泉的周长l=×60+π×30=(40+30)π.
即该游客步行的路程为(40+30)π米.
13.π　[+kπ,+kπ],k∈Z　由题图知,A=1,最小正周期T=4(-)=π,∴ω==2.
∵点(,1)在函数图象上,∴sin(2×+φ)=1,即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.又0<φ<,∴φ=.故函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+).
由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.故函数f(x)的减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z.
14.f(x)=sin(x+)(答案不唯一)　函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f()=f()=0,则-=,k∈Z,
不妨设k=1,则-=,解得T=,所以ω==,所以f(x)=sin(x+φ).
由f()=0可得×+φ=kπ,k∈Z,
不妨取k=1,代入可得φ=,所以f(x)=sin(x+).
15.(1)最小正周期T==.
(2)由2kπ+≤6x+≤2kπ+,k∈Z,
得+≤x≤+,k∈Z.
故f(x)的减区间为[+,+],k∈Z.
(3)把y=sin 6x图象上的所有点向左平移个单位长度,再向上平移个单位长度,即得函数f(x)=sin(6x+)+的图象.
16.(1)由①得,=π,则ω=2;
由②得,+φ=kπ+,k∈Z,则φ=kπ+-,k∈Z;
由③得,+φ=mπ,m∈Z,则φ=mπ-,m∈Z,≥-=,即≥,所以0<ω≤3.
若①②成立,则ω=2,φ=,f(x)=sin(2x+);
若①③成立,则ω=2,φ=mπ-=mπ-,m∈Z,不满足|φ|<,不合题意;
若②③成立,则kπ+-=mπ-,k,m∈Z,可得ω=12(m-k)-6,m,k∈Z,此时|ω|≥6,与③中的0<ω≤3矛盾,不合题意.
所以只有①②成立,故f(x)=sin(2x+).
(2)由0≤x≤可得,≤2x+≤,所以≤f(x)≤1,
所以函数f(x)的值域为[,1].
17.(1)f(x)的最小正周期T==6.
因为点P(1,A)为函数图象的最高点,
所以×1+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,
又0<φ<,所以φ=.
(2)因为Q为函数图象的最低点,点P的坐标为(1,A),=3,
所以点Q的坐标为(4,-A).
过点Q作QS⊥x轴,并交x轴于点S,则∠QRS=-=.
因为QS=A,RS=4-1=3,
所以tan∠QRS==,即tan =,所以A=.
18.(1)∠POQ=2π×=,
由弧长公式可得,l=×50=12.5π (m).
(2)设H=Asin(ωt+φ)+B,由题意得,最小正周期T=12,
∴ω==,由解得
∴H=50sin(t+φ)+60.
当t=0时,H=60-50=10,可得sin φ=-1,∴φ=-,
故H=50sin(t-)+60(0≤t≤12).
(3)由题意得,H=50sin(t-)+60≥85,
∴sin(t-)≥,
令+2kπ≤t-≤+2kπ,k∈Z,
∴4+12k≤t≤8+12k,k∈Z.
∴转动一周,游客有最佳视觉效果的时间为4 min.
而甲、乙相差×12= (min),
又使甲、乙两人都有最佳视觉效果,∴4-= (min),
∴摩天轮转动一周,有 min甲、乙两位游客都有最佳视觉效果.
19(1)∵f(-)=0=f()，
∴f(-)+f()=0，
∴f(x)=|cos x|(x≠0)是“G函数”.
(2)∵f(x)是“G函数”，故存在x∈[-，0)∪(0，]，
使得f(x)+f(-x)=0，
∴log2(tan x+m)+1+log2(-tan x+m)+1=0，
即m2-tan2x=在x∈[-，0)∪(0，]有解.
∵x∈[-，0)∪(0，]时，tan x∈[-，0)∪(0，]
(点拨：此时角的范围在同一个单调区间内，所以可以直接运用单调性得正切函数值的范围，若角的范围不在一个单调区间内，则要结合函数图象求正切函数值的范围)，
∴m2=tan2x+∈(，]，即m∈(，].
又∵log2(tan x+m)有意义，∴m+tan x＞0在x∈[-，0)∪(0，]恒成立，
∴m＞(-tan x)max=.
∴＜m≤，
即m的取值范围为(，].