沪科版八年级数学第20章一元二次方程分节建议

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沪科版八年级数学第20章一元二次方程分节建议
§20.1一元二次方程
【教学目标】
1、了解一元二次方程的概念。
2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一种数学模型。
【内容分析】
本节通过对两个实际问题的分析、观察，归纳出一元二次方程及相关概念。
本节重点是一元二次方程的意义及一般形式。难点是探求问题中的等量关系，建立方程模型。
【教学建议】
1、本节提供了两个实际问题，让学生经历通过对实际问题中数量关系的分析，建立一元二次方程，使学生认识到一元二次方程源于实际，从而体会到学习方程的意义和作用。教学时，还可以根据情况，创设学生熟悉的其他现实生活情景。
2、这两个实际问题，可引导学生观察、思考、交流，充分利用直观图形，分析其中的数量关系，建立方程模型，鼓励学生的不同解决方式，但不必做过多的拓展。
3、一元二次方程的定义是针对方程整理后而言的，一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项是针对方程的一般形式而言的，对这些概念不必做过多的解释，更不能要求学生死记硬背，只要对具体方程能作识别就行了。
4、一元二次方程的一般形式，其目的是，一方面为研究特殊的一元二次方程的解法服务，以便学生从形式上认识，形如，的特殊性；另一方面为了研究它的公式解服务。
对一般形式的理解，就向学生指出，方程，只有当时，才叫做一元二次方程；如果说是一元二次方程，就应该有这个条件。
§20.2一元二次方程的解法
【教学目标】
1、会用开平方法、因式分解法解某些一元二次方程。
2、理解配方法的意义，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
3、理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程。
4、引导学生参与一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元二次方程的联系，体会转化的数学思想方法。
【内容分析】
本节教科书从方程的特殊形式入手，引入开平方法，接着通过设置“思考”、“探究”、“交流”等数学活动，研究了一般形式的一元二次方程的解法，即配方法，进而得到公式解，即求根公式，并介绍了一元二次方程根的判别式，最后研究了用因式分解法解某些一元二次方程。
本节重点是一元二次方程的求根公式和各种解法，难点是配方法。
【教学建议】
1、教科书先用由第6章接触过的问题，列出特殊的方程，并指出“它的解法，就是开平方”，这体现了与以前所学知识的联系，也说明了解法的实质。紧接着教科书中安排了一组练习，让学生初步掌握开平方法。对于练习（3）“解方程，可提示学生把看作一个字母，或用y替换，这实际就是渗透换元的思想，同时为导出配方法做好铺垫。
2、重视配方数学思想方法的教学，强调参与配方过程的意义。配方的意义远不止导出一元二次方程的求根公式，配方、比较、转化等思想方法，及其所渗透的思维多向性有助于培养学生的思维能力。配方法是中学数学中解决代数问题的一种常用方法，方法的实质是将代数式配成一个完全平方式，它的理论依据是完全平方公式
3、由于配方法需要添加项，是完全平方公式的灵活运用，学生初次学习有一定的难度，因而它是本章教学的难点。教学时，要注意由易到难，先讲二次项系数为1的方程的配方，再讲二次项系数不为1的方程的配方；先讲所配项的系数是整数的配方，再讲所配项的系数是分数的配方，要抓住关键步骤----配项，应重点讲解，启发学生思考探索，指出在二次项系数为1时，所配的项是一次项系数一半的平方，并结合例题的教学，引导学生归纳掌握用配方法解数字系数方程的一般步骤。
除此之外，还要让学生进行一些必要的练习，才有可能使他们切实掌握配方法，并熟练地进行。教科书后面配置的填空题和解方程练习就是这个意图。
4、关于具体的配方过程与方法应在实践中理解，在学生熟练掌握了配方法之后，不必要求学生一定要按照某种程序和套路解题，而是要灵活机动。
5、对于一般的一元二次方程，配方法是行之有效的，但每一个一元二次方程都来配方又是很麻烦的，这实际上是说明配方法的不足，有意导出公式法。教学时，可类比一元一次方程的一般解，即方程的解是，引导学生从一元二方程（一般形式）入手，提出只用a、b、c表示它的解的设想，这样有助于学生认识公式法的重要性，特殊与一般的关系，提高思维能力。
6、一元二次方程的求根公式是本章的重点，也是学好本章内容的关键。它的具体推导过程中，前一部分是配方法，后一部分是作开方运算。教学时，应注意两点：一是被开方数必须是非负数；二是在这一步中，由于式子前面有“±”号，而要去掉绝对值符号，又会出现“±”号，但结果还是只有“+”、“-”两种，教科书中未作说明，省去了分类讨论。如果有学生提出疑问，可从简单例子出发，指出结果一样就可以了。
7、求根公式的推导过程，蕴涵着诸多的知识、思想方法，如等式的基本性质、配方的意义、完全平方公式、平方根的概念及二次根式的性质等。通过求根公式推导过程的教学，使学生理解基本理论和方法，培养他们数学推理的严密性和严谨性，以及求简意识和创新精神，渗透分类讨论和转化的数学思想方法。
8、教科书从另一个角度重新审视的解法，改写方程的形式，再把方程左边因式分解；接着介绍数0的一个特性，提出因式分解的策略，用因式分解法解特殊的一元二次方程，体现化归的数学思想方法，在教学中应注意渗透。
9、教科书中指出“如果两个因式的积等于0……”这段话涉及ab=0的充要条件。教学时，要防止学生认为ab=0，则a=0、b=0。应结合具体方程予以说明，帮助学生理解两个因式的积为0，只需一个为0，但要求不能过高，因为这不是本节的教学要求，它只是引入因式分解法的需要，即对因式分解法的依据的说明。同样，对教科书中“交流”栏目中的方程（2）的说明，也只需用具体方程来说明两边同除以x是不正确的即可，不应做过多的解释。
10、在熟练掌握一元二次方程各种解法的前提下，引导学生比较、分析、归纳、总结每种解法的适用范围和优越性，使他们体会各种用法的相互关系，领悟解一元二次方程的基本思想，能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选择适当的解法。
§20.3一元二次方程的根的判别式
【教学目标】
1、了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能根据它判断方程根的情况。
2、能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等。
3、在对求根公式讨论时，注意培养学生的分类思想。
【内容分析】
本节教科书先直接利用求根公式进行讨论，因为在上节已经学习对一般的一元二次方程进行求根，已经得出求根公式，所以就不必再绕弯子了。
【教学建议】
1、在对求根公式进行讨论时，为什么要分类（△＞0，△＝0，△＜0）？教学时，要引导学生自己去发现、去探寻。因为分类讨论的思想，应贯彻于整个数学教学始终。
2、△＜0时，说一元二次方程没有实数根，或说有两个复数根都可以。结合△＝0时，说有两个相等的实数根。使学生真正认识到一元二次方程总有两个根。
§20.4一元二次方程的根与系数的关系
【教学目标】
1、了解一元二次方程的根与系数的关系。
2、通过由特殊到一般，培养学生观察、分析、猜测规律的能力。
【内容分析】
1、与上节处理方法不同，本节内容是先让学生通过对一些特例的观察、分析，去猜测可能存在的规律。
2、对于一元二次方程的两种基本形式，根与系数关系的式子各是什么，在比较中让学生理解。
3、在论证猜想时，教科书是通过求根公式先求出两根，先后对两根求和、求积。除此外，还可以按下面方法进行：
设两根为，应该有 。将等号右边展开，比较两边对应项的系数，可得
于是
由于没有讲一元二次方程的求根与二次三项式因式分解的关系，所以本教科书没介绍这个方法。
【教学建议】
1、只要求学生了解一元二次方程根与系数的关系，不要求应用这个关系解决其他问题。
2、这节内容，《课标》要求不高，务必不要补充内容和过量的作业。
不做大运动量训练，而又应让学生对这节内容有深刻印象，因此必须充分调动学生自主学习的积极性，主动去观察、探求规律，只有充分理解，才能较长时间记住。
§20.5一元二次方程的应用
【教学目标】
1、能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程、可化为一元二次方程的分式方程解应用题。
2、能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理。
3、在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，培养和提高学生分析问题和解决问题的能力。体会数学建模和符号化思想，感受数学的应用价值。
【内容分析】
本节教材先从解决本章开始提出的问题入手，再研究一元二次方程这个重要数学模型在几何和现实生活中的应用，让学生进一步体会到数学与实际的联系，培养学生解决实际问题的能力。
本节的重点是用一元二次方程解决实际问题。难点是如何分析问题中数量关系，建立方程。
【教学建议】
1、本节教科书研究一元二次方程的应用，是在学生已有列一次方程（组）解应用题的知识和经验的基础上展开的。而且解决问题的方法和过程也基本相同，因此，可以说一元二次方程的应用是方程模型应用的深化学习，是本章内容的重点。但由于它所涉及的数量关系是二次的，比以前所学的建立线性关系要复杂，在解决实际问题中表现为涉及面广，背景更丰富，由实际问题抽象为数学问题的过程的难度也更大，因此它也是本章内容的难点。
2、本节教科书把可化为一元二次方程的分式方程解应用题置于“阅读与思考”栏目中（《课标》中对这一内容没有列入），是因为解这种方程可视为一元二次方程的应用，以突出一元二次方程的解法的重要作用。
3、在进行一元二次方程应用的教学时，应关注三个重要环节：一是整体地、系统地审清问题，重视问题背景的介绍，让学生清楚现实生活中广泛运用的一些名词、术语的数学意义；二是把握问题中的数量关系，突出寻求相等关系的分析过程，可借助画示意图或列表格，有的是各类问题中固有的基本关系式，有的是隐含的等量关系有待于我们去挖掘；三是正确求解方程，并检验解的合理性，要鼓励学生多角度地思考，用不同的方法解决问题，从而开拓思路，培养创新意识。
4、例1和第1节的问题1是降低率（增长率）的问题，应用广泛，是重点内容，学生初次接触有困难，解题的关键是对“平均降低率（增长率）的”的理解，这种平均与以前学生学均意义不同，要适当地予以说明，充分利用示意图，让学生学会列式、推导，在理解的基础上，认识此类问题的规律。
5、要注意结合例1、例2的教学，让学生掌握判别方程的根是否符合题意的方法，这是列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题的区别。
6、“阅读与思考”栏目中的例1、例2是可化为一元二次方程的分式方程解应用题，由于分式方程是在七年级下册学习的，因此有必要在例1前或在讲例1中，对分式方程的解法、步骤作简单的复习，再结合例1中分式方程的求解过程，让学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法。
在学例1、例2时，可参照列一元二次方程解应用题的教学方法进行教学。同时，要注意学生体会到列分式方程解应用题，也是解决实际问题的需要，在一些实际问题中它有一定的优越性，能直接利用问题中的相等关系。还要提醒学生注意它与列一元一次方程解应用题的不同点，对求得的解要进行两次检验，一是看它是否是原分式方程的根；二是看它是有无实际意义。
7、“阅读与思考”栏目中的例3主要介绍利用换元法解分式方程。换元法是一种重要的教学方法，在进一步学习中有着广泛的应用。要结合例3的教学，让学生明确换元法在解分式方程中的作用，即通过换元把不可解或难解的分式方程化为可解的分式方程，从而初步认识换元法的意义。
8、在本节的教学中，要注意结合教学内容，适当地提供一些问题背景材料，让学生发现，提供其中的可以利用一元二次方程（包括分式方程）来解决的实际问题，或给出要求，让学生自编应用题。这不仅有助于培养他们的应用数学知识解决问题能力，也有助于培养他们的创新意识，但要防止分类的模式化教学，以及繁的重复训练。
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