2024-2025学年山东省聊城市冠县育才双语学校九年级（上）开学数学试卷（含详解）

2024-2025学年山东省聊城市冠县育才双语学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )
A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 是轴对称图形
2.如图，、、分别是各边中点，则以下说法错误的是( )
A. 和的面积相等
B. 四边形是平行四边形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若，则四边形是矩形
3.下列各数中，为无理数的是( )
A. B. C. D.
4.下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.如果不等式组的解集为，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
7.直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
8.如果∽，，下列各式正确的个数为( )
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.下列说法中，正确的有( )
三边成比例的两个三角形相似；
两个等边三角形相似；
两个直角三角形相似．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定∽的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.如果两个相似三角形的面积比为：，那么它们的周长比为______．
12.的平方根为______．
13.已知，化简： ______．
14.在中，，如果，，那么 ______．
15.直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形斜边上的高为 ．
16.如图，热气球的探测器显示，从热气球底部处看一栋楼顶部的俯角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球处与地面距离为，则这栋楼的高度是______
17.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，已知，，测得米，米，米，那么该古城墙的高度是______米．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
计算：
；
；
；
．
19.本小题分
如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，，．
求的长；
求的值．
20.本小题分
君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的、两种型号的毛笔若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元；若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元．
求每支种型号的毛笔和每支种型号的毛笔各多少元；
君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共支，总费用不超过元，那么该中学最多可以购买多少支种型号的毛笔？
21.本小题分
如图，直线与直线 相交于点，并且直线经过轴上点
求直线的解析式．
求两条直线与轴围成的三角形面积．
直接写出不等式的解集．
22.本小题分
如图，，且，若，，求的长．
23.本小题分
如图，在中，在上，，．
求证：∽；
若，求的值．
24.本小题分
天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图，从位于天封塔的观测点测得两建筑物底部，的俯角分别为和，若此观测点离地面的高度为米，，两点在的两侧，且点，，在同一水平直线上，求，之间的距离结果保留根号
答案和解析
1.【答案】
解：菱形的四条边相等，故选项A不符合题意，
B.菱形的对角线互相垂直，故选项B不符合题意，
C.菱形的对角线不一定相等，故选项C符合题意，
D.菱形是轴对称图形，故选项D不符合题意，
故选：．
2.【答案】
解：连接，
、、分别是各边中点，
，，
设和间的距离为，
，，
，
故本选项不符合题意；
B.、、分别是各边中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C.、、分别是各边中点，
，，，
若，则，无法判断与是否相等，
无法判断四边形是菱形，
故本选项符合题意；
D.四边形是平行四边形，
若，则四边形是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：．
3.【答案】
解：是无理数，故本选项符合题意；
B.是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C.是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
D.是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选A．
4.【答案】
解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
5.【答案】
解：解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，
故选：．
6.【答案】
解：．，故本选项不符合题意；
B.和不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
7.【答案】
解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，解得
直线为，
当时，，解得，
由图象可知：随的增大而减小，
不等式的解集是，
故选C．
8.【答案】
解：∽，
，错误；
，错误；
，错误；
，正确，
故选：．
9.【答案】
解：三边对应成比例的两个三角形相似，即错误；
两个等边三角形，则所有内角都为，两个等边三角形相似，即正确；
两组直角三角形只能确定一组对角相等，不能判定三角形相似，即错误；
综上，正确的只有．
故选：．
10.【答案】
解：，
，
，
选项B、根据两角对应相等判定∽，
选项A根据两边成比例夹角相等判定∽，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：．
11.【答案】：
解：两个相似三角形的面积比为：，
它们的相似比为：，
它们的周长比为：．
故答案为：：．
12.【答案】
解：，
因为，
所以的平方根为．
故答案为：．
13.【答案】
解：，
，，
．
故答案为：．
14.【答案】
解：，
．
故答案是：．
15.【答案】或
解：设直角三角形斜边上的高为，
当是直角边时，斜边长，
则，
解得：，
当是斜边时，另一条直角边长，
则，
解得：，
综上所述：直角三角形斜边上的高为或，
故答案为：或．
16.【答案】
解：如图，过作，交的延长线于点，
在中，
，，
，
在中，
，，
，
，
答：这栋楼的高度为．
故答案为．
17.【答案】
解：由题意可得，
，，
，
在和中，
∽，
，
，，，
，
即，
故答案为．
18.解：
；
；
；
，
解式得：，
解式得：，
原不等式组的解集为：．
19.解：在中，是边上的高，
．
在中，，，，
．
在中，，，，
，
，
；
是边上的中线，
，
，
．
20.解：设每支种型号的毛笔元，每支种型号的毛笔元；
由题意可得：，解得：，
答：每支种型号的毛笔元，每支种型号的毛笔元；
设种型号的毛笔为支，则买型毛笔支，
由题意可得：，
解得：，
答：最多可以购买多少支种型号的毛笔．
21.解：把代入中，得，
，
把，代入，
得，
，，
一次函数的解析式是；
设直线与轴交于点，则
；
不等式可以变形为，
结合图象得到解集为：．
22.解：，
，
即，
，，，
，
即，
解得：．
23.证明：，，
，，
，
，
，
∽；
解：，
，
由知和的相似比为：，
．
24.解：由题意得，，，
，
，，
，
在中，，
米，
米，
．
答：，之间的距离为米．
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