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计算题题型练（二）
17．（8分）一横截面积为S的圆柱形汽缸水平固定，开口向右，底部导热，其他部分绝热。汽缸内的两绝热隔板a、b将汽缸分成Ⅰ、Ⅱ两室，隔板可在汽缸内无摩擦地移动。b的右侧与水平弹簧相连，初始时弹簧处于原长，两室内均封闭有体积为V0、温度为T0的理想气体。现用电热丝对Ⅱ室缓慢加热一段时间达到稳定状态时，a、b隔板移动的距离均为。已知大气压强为p0，环境的热力学温度恒为T0，求：
（1）加热后Ⅱ室气体的压强p、热力学温度T；
（2）弹簧的劲度系数k。
【解答】解：（1）加热后Ⅱ室与Ⅰ室气体的压强相等。
以Ⅰ内的气体为研究对象，根据玻意耳定律可得
p0V0＝p（V0S）
解得：p＝2p0
对Ⅱ内的气体，根据理想气体状态方程可得：
解得：T＝4T0
（2）对b活塞，根据平衡条件得：
pS＝p0S+k
解得：k
答：（1）加热后Ⅱ室气体的压强p为2p0、热力学温度T为4T0；
（2）弹簧的劲度系数k为。
18．（11分）如图所示，倾角为37°的粗糙斜面体AB固定在水平地面上，斜面底部有一小圆弧与光滑水平地面平滑连接，质量M＝5kg、带有圆心角为60°的光滑圆弧轨道的滑块P放在水平地面上，圆弧轨道CD与水平地面相切，质量m＝1kg的滑块Q（视为质点）从斜面上的E点（图中未画出）由静止释放，若滑块P固定在水平地面上，则滑块Q恰好能滑到圆弧轨道的最高点D；若滑块P不固定时，滑块Q从斜面上的F点（图中未画出）由静止释放也恰好能滑到圆弧轨道的最高点D。已知E点到水平地面的高度hE＝3m，滑块Q与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，滑块P与水平地面间无摩擦，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小g＝10m/s2，求：
（1）圆弧轨道半径R；
（2）F点到水平地面的高度；
（3）在滑块P不固定的情况下，滑块Q运动到圆弧轨道D点时对轨道的压力大小。
【解答】解：（1）滑块P固定，滑块Q恰好能滑到圆弧轨道的最高点D，滑块Q到达D时速度为零，
滑块Q从E到D过程，由动能定理得：
mghE﹣μmgcos37°mgR（1﹣cos60°）＝0﹣0
代入数据解得：R＝4m
（2）设Q从F点下滑到达水平面上时的速度为v0，Q从F点到达水平面的过程，由动能定理得：
mghF﹣μmgcos37°0
P、Q组成的系统在水平方向动量守恒，Q到达D点时两者在水平方向速度相等，设为v，
以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv0＝（m+M）v
由机械能守恒定律得：mgR（1﹣cos60°）
代入数据解得：hF＝3.6m
（3）滑块P不固定，在D点，P、Q沿圆弧半径方向加速度大小相等，
设滑块P对Q的支持力大小为F，滑块在沿圆弧半径方向，由牛顿第二定律得：
对滑块Q：mgcos60°﹣F＝man
对滑块P：Fsin60°＝Ma
其中：an＝asin60°
代入数据解得：FN
由牛顿第三定律可知，滑块Q对轨道的压力大小F′＝FN
答：（1）圆弧轨道半径R是4m；
（2）F点到水平地面的高度是3.6m；
（3）在滑块P不固定的情况下，滑块Q运动到圆弧轨道D点时对轨道的压力大小是N。
19．（11分）如图甲所示，固定光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面成37°角倾斜放置，其电阻不计，相距为L＝0.5m，导轨顶端与电阻R相连，R＝2Ω。在导轨上垂直导轨水平放置一根质量为m＝0.2kg、电阻为r＝0.5Ω的导体棒ab，ab距离导轨顶端d1＝2m。在装置所在区域加一个垂直导轨平面向上的磁场，其磁感应强度B和时间t的函数关系如图乙所示。0～2s内，导体棒在外力作用下保持静止，2s后由静止释放导体棒，棒始终与导轨垂直并接触良好，且导体棒滑到底部前已经做匀速运动（g取10m/s2，sin37°＝0.6）。求：
（1）0～2s内通过导体棒的电流I的大小和方向；
（2）ab棒滑到底部前的最大速度vm；
（3）若导体棒由静止开始下滑到导轨底部的过程中，通过的电荷量q＝1.0C。求此过程中电阻R上产生的热量QR。
【解答】解：（1）0～2s内磁感应强度均匀减小，由法拉第电磁感应定律可得前2s产生的感应电动势：
由闭合电路欧姆定律：
解得：I＝0.8A
根据楞次定律知感应电流的方向为a到b。
（2）当导体棒达最大速度后匀速下滑，由导体棒受力平衡有：mgsinθ＝B0IL
由动生电动势公式知：E0＝B0Lvm
感应电流的大小：
由题意可知：B0＝2T
代入数据解得：vm＝3m/s
（3）导体棒从静止开始下滑到底端过程中：
根据题设条件知：q＝1C
代入数据可得：d2＝2.5m
设下滑过程中系统产生的热量Q，则热量：Q＝mgd2sinθ
代入数据得：Q＝2.1J
根据焦耳定律可得，电阻R产生的热量为：QRJ＝1.68J
答：（1）0～2s内通过导体棒的电流I的大小I＝0.8A，方向为a到b；
（2）ab棒滑到底部前的最大速度vm为3m/s；
（3）此过程中电阻R上产生的热量为1.68J。
20．（11分）我国自行设计研制的热核聚变全超导托卡马克实验装置再次创造了该类实验装置运行的世界新纪录。此装置在运行过程中，需要将加速到较高速度的离子束转变成中性粒子束，而其中还未被中性化的高速带电离子则需通过过滤装置过滤出来并剥离。所用到的过滤装置工作原理简图如图所示，混合粒子束先通过加有一定电压的两极板之间区域后，再进入极板下方的偏转磁场中，此过程中中性粒子仍会沿原方向运动并被接收器接收；而带电离子中的一部分则会先在两极板间的电场作用下发生偏转，一部分直接打在下极板，另一部分则会在穿过板间电场后进入其下方的匀强磁场B2区域，进一步发生磁偏转并打在吞噬板上，从而剥离吸收。已知这些带电离子电荷量为q（q＞0），质量为m，两极板间距为d，所加电压为U，极板长度为2d，粒子束中所有粒子所受重力均可忽略不计，不考虑粒子间的相互作用。
（1）要使初速度为的离子能沿平行于极板的直线经过电场区域，需在极板间再施加一垂直于纸面的匀强磁场，求其磁感应强度B1的大小和方向；
（2）若带电离子以初速度v1沿直线通过极板区域后，进入下方垂直纸面向外的匀强偏转磁场B2区域。当磁感应强度时，要使离子能全部被吞噬板吞噬，求吞噬板所需的最小长度l；
（3）若粒子束中带电粒子为初速度，且撤去了两极板间的磁场B1，则有部分带电离子会通过两极板间的偏转电场进入偏转磁场，已知磁场的磁感应强度B2大小可调，且分布范围足够宽广，吞噬板l＝2d并紧靠左极板水平放置。若要保证进入偏转磁场的带电粒子最终都能被吞噬板吞噬，求磁感应强度B2大小的取值范围。
【解答】解：（1）离子能直线通过两极板，则洛伦兹力与电场力平衡，则有
将代入上式解得
由左手定则判断可知：磁场B1方向垂直纸面向里。
（2）当离子在偏转磁场中做匀速圆周运动时有
解得
又由图甲可知：离子在吞噬板上最靠右的落点到左极板距离
x1＝2r﹣d
离子在吞噬板上最靠左的落点到左极板距离
x2＝2r
则此吞噬板的长度最短，联立解得
l＝（x2﹣x1）＝d
（3）当初速度为时，对于沿右极板运动的离子，在两极板间做类平抛运动。
则
2d＝v2t
联立解得
离子做类平抛运动的过程中，根据动能定理
得
离子进入偏转电场时的速度偏向角的余弦值为
此时沿上极板进入电场的带电离子射出偏转电场时，与吞噬板右端相距为，当磁场B2满足此离子打到吞噬板，如图乙，由几何关系分析可得：
又当入射点下移至带电粒子刚好擦着下极板右边缘射出电场进入偏转磁场，则磁场B2满足该离子刚好能打在吞噬板的下端点为最大值，有
2rcosθ≤2d
综合分析结果有
根据
则所需磁场B2的取值范围
答：（1）磁感应强度B1的大小为，方向垂直纸面向里；
（2）吞噬板所需的最小长度为d；
（3）磁感应强度B2大小的取值范围为。
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计算题题型练（二）
17．（8分）一横截面积为S的圆柱形汽缸水平固定，开口向右，底部导热，其他部分绝热。汽缸内的两绝热隔板a、b将汽缸分成Ⅰ、Ⅱ两室，隔板可在汽缸内无摩擦地移动。b的右侧与水平弹簧相连，初始时弹簧处于原长，两室内均封闭有体积为V0、温度为T0的理想气体。现用电热丝对Ⅱ室缓慢加热一段时间达到稳定状态时，a、b隔板移动的距离均为。已知大气压强为p0，环境的热力学温度恒为T0，求：
（1）加热后Ⅱ室气体的压强p、热力学温度T；
（2）弹簧的劲度系数k。
18．（11分）如图所示，倾角为37°的粗糙斜面体AB固定在水平地面上，斜面底部有一小圆弧与光滑水平地面平滑连接，质量M＝5kg、带有圆心角为60°的光滑圆弧轨道的滑块P放在水平地面上，圆弧轨道CD与水平地面相切，质量m＝1kg的滑块Q（视为质点）从斜面上的E点（图中未画出）由静止释放，若滑块P固定在水平地面上，则滑块Q恰好能滑到圆弧轨道的最高点D；若滑块P不固定时，滑块Q从斜面上的F点（图中未画出）由静止释放也恰好能滑到圆弧轨道的最高点D。已知E点到水平地面的高度hE＝3m，滑块Q与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，滑块P与水平地面间无摩擦，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小g＝10m/s2，求：
（1）圆弧轨道半径R；
（2）F点到水平地面的高度；
（3）在滑块P不固定的情况下，滑块Q运动到圆弧轨道D点时对轨道的压力大小。
19．（11分）如图甲所示，固定光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面成37°角倾斜放置，其电阻不计，相距为L＝0.5m，导轨顶端与电阻R相连，R＝2Ω。在导轨上垂直导轨水平放置一根质量为m＝0.2kg、电阻为r＝0.5Ω的导体棒ab，ab距离导轨顶端d1＝2m。在装置所在区域加一个垂直导轨平面向上的磁场，其磁感应强度B和时间t的函数关系如图乙所示。0～2s内，导体棒在外力作用下保持静止，2s后由静止释放导体棒，棒始终与导轨垂直并接触良好，且导体棒滑到底部前已经做匀速运动（g取10m/s2，sin37°＝0.6）。求：
（1）0～2s内通过导体棒的电流I的大小和方向；
（2）ab棒滑到底部前的最大速度vm；
（3）若导体棒由静止开始下滑到导轨底部的过程中，通过的电荷量q＝1.0C。求此过程中电阻R上产生的热量QR。
20．（11分）我国自行设计研制的热核聚变全超导托卡马克实验装置再次创造了该类实验装置运行的世界新纪录。此装置在运行过程中，需要将加速到较高速度的离子束转变成中性粒子束，而其中还未被中性化的高速带电离子则需通过过滤装置过滤出来并剥离。所用到的过滤装置工作原理简图如图所示，混合粒子束先通过加有一定电压的两极板之间区域后，再进入极板下方的偏转磁场中，此过程中中性粒子仍会沿原方向运动并被接收器接收；而带电离子中的一部分则会先在两极板间的电场作用下发生偏转，一部分直接打在下极板，另一部分则会在穿过板间电场后进入其下方的匀强磁场B2区域，进一步发生磁偏转并打在吞噬板上，从而剥离吸收。已知这些带电离子电荷量为q（q＞0），质量为m，两极板间距为d，所加电压为U，极板长度为2d，粒子束中所有粒子所受重力均可忽略不计，不考虑粒子间的相互作用。
（1）要使初速度为的离子能沿平行于极板的直线经过电场区域，需在极板间再施加一垂直于纸面的匀强磁场，求其磁感应强度B1的大小和方向；
（2）若带电离子以初速度v1沿直线通过极板区域后，进入下方垂直纸面向外的匀强偏转磁场B2区域。当磁感应强度时，要使离子能全部被吞噬板吞噬，求吞噬板所需的最小长度l；
（3）若粒子束中带电粒子为初速度，且撤去了两极板间的磁场B1，则有部分带电离子会通过两极板间的偏转电场进入偏转磁场，已知磁场的磁感应强度B2大小可调，且分布范围足够宽广，吞噬板l＝2d并紧靠左极板水平放置。若要保证进入偏转磁场的带电粒子最终都能被吞噬板吞噬，求磁感应强度B2大小的取值范围。
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