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计算题题型练（四）
17．如图所示，圆柱形汽缸内用活塞封闭了一定质量的理想气体，汽缸的高度为l，缸体内底面积为S，缸体重力为G。轻杆下端固定在桌面上，上端连接活塞。活塞所在的平面始终水平。当热力学温度为T0时，缸内气体高为，已知大气压强为p0，不计活塞质量及活塞与缸体的摩擦。现缓慢升温至活塞刚要脱离汽缸。
（1）求初始时气体的压强；
（2）求活塞刚要脱离汽缸时缸内气体的温度；
（3）已知此理想气体的内能跟热力学温度成正比，即U＝kT，k已知，求该过程缸内气体吸收的热量Q。
【解答】解：（1）设缸内气体原来压强为p1，汽缸受力平衡得：
p1s＝p0S+G
解得：
（2）发生等压变化，
解得：T1＝3T0
（3）根据气体实验定律，气体发生等压变化，气体对缸做功为：
由热力学第一定律可知，温度升高气体内能变大，得缸内气体内能增量为：
ΔU＝3kT0﹣kT0＝Q﹣W
解得：Q
答：（1）初始时气体的压强为；
（2）活塞刚要脱离汽缸时缸内气体的温度为3T0；
（3）已知此理想气体的内能跟热力学温度成正比，即U＝kT，k已知，该过程缸内气体吸收的热量为。
18．某滑块弹射游戏装置如图所示，该装置由固定在水平地面上的倾角θ＝37°的直轨道OB、光滑圆弧轨道B'C'以及平台CD组成，其中圆弧轨道在B'、C'两点的切线分别与直轨道OB、平台CD平行，BB'、CC'间的距离恰好能让游戏中的滑块通过。一根轻弹簧下端固定在直轨道OB的底端，质量m＝0.2kg的滑块P紧靠弹簧上端放置，平台右端D点处放置一质量M＝0.4kg的滑块Q。已知圆弧轨道半径R＝1m，滑块尺寸远小于轨道半径，平台CD长度LCD＝1m，平台离地高度h＝2.5m，滑块P与轨道OB、平台CD间的动摩擦因数μ＝0.1。
游戏中，游戏者将滑块P压缩弹簧到不同的程度，如果释放滑块P后，滑块P能够一直沿轨道运动至D点，与滑块Q发生弹性正碰，且滑块P停留在CD平台上则视为游戏成功。
某次游戏中游戏者将滑块P压缩弹簧至A点，AB距离LAB＝3m，释放后滑块P沿轨道运动，测得经过C点的速度大小为vc'＝4m/s。
（1）求该次游戏滑块P经过圆弧轨道C'时对轨道的压力F；
（2）该次游戏中弹簧压缩后具有的弹性势能Ep；
（3）更改不同的弹簧压缩程度，在游戏成功的条件下，求滑块Q的落地点距D点的水平距离x的范围。
【解答】解：（1）在C'点由牛顿第二定律有：
代入数据，可得FN＝1.2N
由牛顿第三定律可知滑块对轨道的压力F＝FN＝1.2N，方向竖直向上；
（2）由几何关系可知∠BO′C＝θ
从A点到C由能量守恒可得：
代入数据，可得Ep＝6.08J；
（3）设滑块P在D点碰前的速度为vD，碰后的速度为v1，滑块Q碰后的速度为v2
两滑块碰撞过程动量守恒，取向右为正方向，则有：mvD＝mv1+Mv2
由能量守恒可得：
两式联立，可得，
①当滑块P恰好过C′点不脱离轨道，则有：
代入数据，解得C′点的速度，C′点的速度v最小，则D点的速度vD最小
从C点到D点利用动能定理：
代入数据可得
可得滑块Q碰后的速度v2的最小值
②滑块P碰后恰好返回到C点，可知滑块P碰后的速度v1最大时，则vD最大，v2最大
从D点运动到C点，利用动能定理：
代入数据，可得v1的大小，则
可得滑块Q碰后的速度v2的最大值
滑块Q离开D点做平抛运动，则有：
代入数据，可得
由x＝v2t可得x的最小值，最大值xm＝2m
所以
答：（1）该次游戏滑块P经过圆弧轨道C'时对轨道的压力F为1.2N，方向：竖直向上；
（2）该次游戏中弹簧压缩后具有的弹性势能Ep为6.08J；
（3）更改不同的弹簧压缩程度，在游戏成功的条件下，求滑块Q的落地点距D点的水平距离x的范围为
19．如图所示，一电阻不计的U形导体框置于倾角为θ＝37°的足够长的光滑绝缘斜面顶端。一质量为m＝100g、电阻为R＝8Ω的金属棒CD置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF，且EF与斜面底边平行。导轨间的距离为，导体框上表面粗糙，金属棒与导体框间的动摩擦因数为μ＝0.5，与金属棒相距的下方区域有方向垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为。t＝0时刻，让金属棒与导体框同时由静止释放。金属棒进入磁场时导体框与金属棒发生相对滑动，导体框开始做匀速运动。t＝6s时刻导体框EF端进入磁场，EF进入磁场前金属棒已经开始匀速运动。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，导体框EF端进入磁场前金属棒没有离开磁场（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10m/s2）。求：
（1）导体框的质量M；
（2）t＝0时刻，导体框EF端与磁场上边界的距离；
（3）从静止释放到导体框EF端刚进入磁场的过程中，金属棒产生的焦耳热。
【解答】解：（1）导体框做匀速直线运动，对导体框，由平衡条件得：Mgsin37°＝μmgcos37°
代入数据解得：Mkg
（2）金属棒进入磁场前，对金属棒与导体框整体，由牛顿第二定律得：（m+M）gsinθ＝（m+M）a1
位移：L
金属棒刚进入磁场时的速度大小v1＝a1t
代入数据解得：t1＝0.5s，v1＝3m/s
金属棒进入磁场后导体框做匀速直线运动，从金属棒进入磁场到EF进入磁场过程，EF的位移x1＝v1（t﹣t1）
从释放导体棒到EF进入磁场过程，导体框的位移s＝L+x1
代入数据解得：s＝17.25m
（3）金属棒CD在磁场中速度为v时，金属棒切割磁感线产生的感应电动势E＝Bdv
由闭合电路的欧姆定律可知，感应电流I
金属棒受到的安培力F＝BId
金属棒做匀速直线运动，设棒的速度大小为v2，由平衡条件得：mgsin37°+μmgcos37°
代入数据解：v2＝2m/s
从释放导体框到EF端进入磁场过程，对金属棒，由动量定理得：mgtsin37°+μmg（t﹣t1）cos37°Δt＝mv2﹣0
其中：xvΔt，代入数据解得：x＝11.2m
从静止释放导体框到EF端进入磁场过程，由能量守恒定律得：Mgsin37°×s+mg（L+x）sin37°μmg（x1﹣x）cos37°+Q
代入数据解得：Q＝11.45J
答：（1）导体框的质量是kg；
（2）t＝0时刻，导体框EF端与磁场上边界的距离是17.25m；
（3）从静止释放到导体框EF端刚进入磁场的过程中，金属棒产生的焦耳热是11.45J。
20．如图所示，在xOy坐标平面内，半径为R的圆形匀强磁场区域的边界与x轴相切于原点O，与PM相切于A点，PM＝2R。PQ、MN间存在着匀强电场，MC＝R，。现有大量质量为m、电荷量为q的正离子，从O点以相同的速率v0均匀向各个方向射入y＞0的区域，离子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上（弧）。离子到达MN边界即被吸收，不计离子重力及相互作用。
（1）求离子在匀强磁场中运动的轨道半径r；
（2）求从F点出射的离子在磁场中运动的时间t；
（3）若仅改变磁感应强度的大小，使得其中沿y轴正向入射的离子能经过A点打到D点，求：
①电场强度大小E；
②CD区域接收到的离子数占发射出的总离子数的比例η。
【解答】解：（1）从F点离开的离子的轨迹如图所示，OF为圆周的直径，由几何关系可得，轨迹半径
（2）离子在磁场中运动的时间为：
解得：
（3）①沿y轴正向入射的离子能经过A点，轨迹如图
则轨迹半径
r2＝R
所有离子均以v0沿x轴正向进入电场，从A点入射的离子
y方向
解得
②从某点出射的离子打到C点，如图
R＝v0t2
y方向：
解得：
根据几何关系得：θ＝60°
答：（1）离子在匀强磁场中运动的轨道半径；
（2）从F点出射的离子在磁场中运动的时间；
（3）①电场强度大小；
②CD区域接收到的离子数占发射出的总离子数的比例。
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计算题题型练（四）
17．如图所示，圆柱形汽缸内用活塞封闭了一定质量的理想气体，汽缸的高度为l，缸体内底面积为S，缸体重力为G。轻杆下端固定在桌面上，上端连接活塞。活塞所在的平面始终水平。当热力学温度为T0时，缸内气体高为，已知大气压强为p0，不计活塞质量及活塞与缸体的摩擦。现缓慢升温至活塞刚要脱离汽缸。
（1）求初始时气体的压强；
（2）求活塞刚要脱离汽缸时缸内气体的温度；
（3）已知此理想气体的内能跟热力学温度成正比，即U＝kT，k已知，求该过程缸内气体吸收的热量Q。
18．某滑块弹射游戏装置如图所示，该装置由固定在水平地面上的倾角θ＝37°的直轨道OB、光滑圆弧轨道B'C'以及平台CD组成，其中圆弧轨道在B'、C'两点的切线分别与直轨道OB、平台CD平行，BB'、CC'间的距离恰好能让游戏中的滑块通过。一根轻弹簧下端固定在直轨道OB的底端，质量m＝0.2kg的滑块P紧靠弹簧上端放置，平台右端D点处放置一质量M＝0.4kg的滑块Q。已知圆弧轨道半径R＝1m，滑块尺寸远小于轨道半径，平台CD长度LCD＝1m，平台离地高度h＝2.5m，滑块P与轨道OB、平台CD间的动摩擦因数μ＝0.1。
游戏中，游戏者将滑块P压缩弹簧到不同的程度，如果释放滑块P后，滑块P能够一直沿轨道运动至D点，与滑块Q发生弹性正碰，且滑块P停留在CD平台上则视为游戏成功。
某次游戏中游戏者将滑块P压缩弹簧至A点，AB距离LAB＝3m，释放后滑块P沿轨道运动，测得经过C点的速度大小为vc'＝4m/s。
（1）求该次游戏滑块P经过圆弧轨道C'时对轨道的压力F；
（2）该次游戏中弹簧压缩后具有的弹性势能Ep；
（3）更改不同的弹簧压缩程度，在游戏成功的条件下，求滑块Q的落地点距D点的水平距离x的范围。
19．如图所示，一电阻不计的U形导体框置于倾角为θ＝37°的足够长的光滑绝缘斜面顶端。一质量为m＝100g、电阻为R＝8Ω的金属棒CD置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF，且EF与斜面底边平行。导轨间的距离为，导体框上表面粗糙，金属棒与导体框间的动摩擦因数为μ＝0.5，与金属棒相距的下方区域有方向垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为。t＝0时刻，让金属棒与导体框同时由静止释放。金属棒进入磁场时导体框与金属棒发生相对滑动，导体框开始做匀速运动。t＝6s时刻导体框EF端进入磁场，EF进入磁场前金属棒已经开始匀速运动。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，导体框EF端进入磁场前金属棒没有离开磁场（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10m/s2）。求：
（1）导体框的质量M；
（2）t＝0时刻，导体框EF端与磁场上边界的距离；
（3）从静止释放到导体框EF端刚进入磁场的过程中，金属棒产生的焦耳热。
20．如图所示，在xOy坐标平面内，半径为R的圆形匀强磁场区域的边界与x轴相切于原点O，与PM相切于A点，PM＝2R。PQ、MN间存在着匀强电场，MC＝R，。现有大量质量为m、电荷量为q的正离子，从O点以相同的速率v0均匀向各个方向射入y＞0的区域，离子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上（弧）。离子到达MN边界即被吸收，不计离子重力及相互作用。
（1）求离子在匀强磁场中运动的轨道半径r；
（2）求从F点出射的离子在磁场中运动的时间t；
（3）若仅改变磁感应强度的大小，使得其中沿y轴正向入射的离子能经过A点打到D点，求：
①电场强度大小E；
②CD区域接收到的离子数占发射出的总离子数的比例η。
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