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计算题题型练（一）
17．（8分）汽车的轮胎压力监测系统的作用是在汽车行驶过程中对轮胎气压进行实时自动监测，并对轮胎漏气和低气压进行报警，以确保行车安全。某汽车在某天的最高温度、最低温度时刻，轮胎压力监测系统测定前左侧轮胎的气压最大值、最小值分别为2.9atm、2.6atm。若轮胎内气体可视为理想气体，漏气前后轮胎容积不变。当天最低温度为﹣13℃。已知室外气体压强为1atm，0℃＝273K。
（1）求当天的最高温度为多少摄氏度；
（2）若该汽车某时刻显示前左侧车胎气压为2.6atm，后由于轮胎被钉子所扎开始漏气，造成轮胎气压降低，当轮胎漏气的质量与原有气体质量的比值为4：13时，轮胎压力监测系统开始报警，试求监测系统报警气压为多少，可认为漏气过程温度不变。
18．（11分）为助力全国文明城区建设，九龙城区师生积极参与社区建设，组织了“科技创作进社区”等一系列活动，如图所示为某小区业主自行研制的一弹射游戏装置，该装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道AB、圆心为O1的竖直半圆轨道BCD、圆心为O2的竖直半圆管道DEF、水平直轨道FG及弹性板等组成，轨道各部分平滑连接。已知滑块（可视为质点）质量m＝0.01kg，轨道BCD的半径R＝0.8m，管道DEF的半径r＝0.1m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ＝0.5，其余各部分轨道均光滑，轨道FG的长度L＝2m，射器中弹簧的弹性势能最大值Epm＝0.5J，滑块与弹簧作用后，弹簧的弹性势能完全转化为滑块的动能，滑块与弹性板作用后以等大速率弹回，g＝10m/s2，求：
（1）若弹簧的弹性势能Ep＝0.4J，求滑块运动到B点时对轨道的压力的大小；
（2）若滑块被弹簧弹开后恰能沿轨道BCD到达D点，请判断之后能否继续沿轨道DEF到达F点；
（3）若滑块在运动过程中不脱离轨道且最终静止在轨道FG中点的右侧区域内，求弹簧的弹性势能Ep的范围。
19．（11分）如图甲所示，间距为L的两条足够长光滑平行绝缘导轨放置在水平面内，导轨间有竖直方向且等间距间隔的匀强磁场区，磁感应强度大小为B，磁场宽度及间距均为2L。导轨上有一边长为L的正方形金属框abcd，质量为m，ab、cd边与导轨平行，ab、bc、ad、cd边电阻相等均为R。金属框在沿导轨方向的恒定拉力F（大小未知）作用下由静止开始向右沿导轨运动，经过一段距离后进入第一个磁场区。从bc边进入第一个磁场区至bc边离开第一个磁场区过程中，测得ad两端的电压随时间变化图像如图乙所示。
（1）求恒力F的大小？
（2）设Δt1＝t1﹣0，Δt2＝t2﹣t1，比较Δt1和Δt2的大小并求Δt1？
（3）在图丙中画出bc边离开第一个磁场至刚进入第二个磁场过程中ad两端的电压随时间变化图像（标出时间和电压值，以bc边离开第一个磁场开始计时）；
（4）金属框从静止开始到离开第二个磁场区的过程中F所做的功？
20．（11分）如图所示，绝缘的中空轨道竖直固定，圆弧段COD光滑，对应圆心角为120°，CD两端等高，O为最低点，圆弧的圆心为O′，半径为R；直线段AC、HD粗糙且足够长，与圆弧段分别在C、D端相切．整个装置处于方向垂直于轨道所在平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，在竖直虚线MC左侧和虚线ND右侧存在着电场强度大小相等、方向分别为水平向右和水平向左的匀强电场．现有一质量为m、电荷量恒为q、直径略小于轨道内径、可视为质点的带正电小球，从轨道内距C点足够远的P点由静止释放．若小球所受电场力的大小等于其重力的倍，小球与直线段AC、HD间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，求：
（1）小球在第一次沿轨道AC下滑的过程中的最大加速度和最大速度；
（2）小球经过长时间的往复运动过程中，轨道最低点O对小球最小支持力的大小．
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计算题题型练（一）
17．（8分）汽车的轮胎压力监测系统的作用是在汽车行驶过程中对轮胎气压进行实时自动监测，并对轮胎漏气和低气压进行报警，以确保行车安全。某汽车在某天的最高温度、最低温度时刻，轮胎压力监测系统测定前左侧轮胎的气压最大值、最小值分别为2.9atm、2.6atm。若轮胎内气体可视为理想气体，漏气前后轮胎容积不变。当天最低温度为﹣13℃。已知室外气体压强为1atm，0℃＝273K。
（1）求当天的最高温度为多少摄氏度；
（2）若该汽车某时刻显示前左侧车胎气压为2.6atm，后由于轮胎被钉子所扎开始漏气，造成轮胎气压降低，当轮胎漏气的质量与原有气体质量的比值为4：13时，轮胎压力监测系统开始报警，试求监测系统报警气压为多少，可认为漏气过程温度不变。
【解答】解：（1）根据查理定律可知
即
解得，当天的最高温度为
t1＝17℃
（2）设轮胎的体积为V，根据玻意耳定律可知，同等质量的空气在2.6atm及1atm下的体积之比为
代入数据得
在2.6atm及1atm下的空气密度之比为
所以当轮胎漏气质量与原有气体质量的比值为
代入数据得
可得，漏气体积
V0＝0.8V
以轮胎漏气前原有气体为研究对象，在漏气过程中，根据玻意耳定律可得
p1′V＝p0V0+p2′V
即
2.6V＝1×0.8V+p2′V
解得
p2′＝1.8atm
所以，监测系统报警气压为1.8atm。
答：（1）当天的最高温度为17摄氏度；
（2）若该汽车某时刻显示前左侧车胎气压为2.6atm，后由于轮胎被钉子所扎开始漏气，造成轮胎气压降低，当轮胎漏气的质量与原有气体质量的比值为4：13时，轮胎压力监测系统开始报警，监测系统报警气压为1.8atm。
18．（11分）为助力全国文明城区建设，九龙城区师生积极参与社区建设，组织了“科技创作进社区”等一系列活动，如图所示为某小区业主自行研制的一弹射游戏装置，该装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道AB、圆心为O1的竖直半圆轨道BCD、圆心为O2的竖直半圆管道DEF、水平直轨道FG及弹性板等组成，轨道各部分平滑连接。已知滑块（可视为质点）质量m＝0.01kg，轨道BCD的半径R＝0.8m，管道DEF的半径r＝0.1m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ＝0.5，其余各部分轨道均光滑，轨道FG的长度L＝2m，射器中弹簧的弹性势能最大值Epm＝0.5J，滑块与弹簧作用后，弹簧的弹性势能完全转化为滑块的动能，滑块与弹性板作用后以等大速率弹回，g＝10m/s2，求：
（1）若弹簧的弹性势能Ep＝0.4J，求滑块运动到B点时对轨道的压力的大小；
（2）若滑块被弹簧弹开后恰能沿轨道BCD到达D点，请判断之后能否继续沿轨道DEF到达F点；
（3）若滑块在运动过程中不脱离轨道且最终静止在轨道FG中点的右侧区域内，求弹簧的弹性势能Ep的范围。
【解答】解：（1）若弹簧的弹性势能Ep＝0.4J，设滑块达到B点的速度大小为vB，则有：
Ep
在B点，根据牛顿第二定律可得：FN﹣mg＝m
联立解得：FN＝1.1N
根据牛顿第三定律可得对轨道的压力的大小为1.1N；
（2）若滑块被弹簧弹开后恰能沿轨道BCD到达D点，达到D点的最小速度为vmin，
则有：mg＝m
解得：vmin＝2m/s
若能继续沿轨道DEF到达F点，根据能量守恒定律可得：mg 2r
代入数据解得：vD＝2m/s＜vmin，
所以滑块被弹簧弹开后恰能沿轨道BCD到达D点，之后能继续沿轨道DEF到达F点；
（3）如果滑块在运动过程中不脱离轨道，根据功能关系可得：
Ep0＝mg 2R
代入数据解得：Ep0＝0.2J
如果滑块在运动过程中不脱离轨道且在FG过程中运动静止，根据功能关系可得：
Ep1＝mg（2R+2r）+μmg
代入数据解得：Ep1＝0.23J
滑块从F到G损失的能量为ΔE＝μmgL，代入数据解得：ΔE＝0.1J
射器中弹簧的弹性势能最大值Epm＝0.5J，所以滑块最多能够与被挡板碰撞2次，第2次碰撞后达到FG中间时对应的弹性势能最大，根据功能关系可得：
Ep2＝mg（2R+2r）+μmg（3LL）
解得：Ep2＝0.53J＞0.5J，故最多为0.5J。
第一次碰撞后向左滑动没停留在FG中点，此时对应的弹簧弹性势能为：EP3＝mg（2R+2r）+μmg
解得：EP3＝0.33J
第一次碰撞后滑下到再次冲上F向右运动停留在F点，此时对应的弹簧弹性势能为：EP4＝mg（2R+2r）+μmg L
解得：EP3＝0.43J
综上所述，满足条件的弹性势能范围为：0.23J＜Ep＜0.33J或0.43J＜Ep≤0.5J
答：（1）若弹簧的弹性势能Ep＝0.4J，滑块运动到B点时对轨道的压力的大小为1.1N；
（2）若滑块被弹簧弹开后恰能沿轨道BCD到达D点，之后能继续沿轨道DEF到达F点；
（3）若滑块在运动过程中不脱离轨道且最终静止在轨道FG中点的右侧区域内，弹性势能范围为0.23J＜Ep＜0.33J或0.43J＜Ep≤0.5J。
19．（11分）如图甲所示，间距为L的两条足够长光滑平行绝缘导轨放置在水平面内，导轨间有竖直方向且等间距间隔的匀强磁场区，磁感应强度大小为B，磁场宽度及间距均为2L。导轨上有一边长为L的正方形金属框abcd，质量为m，ab、cd边与导轨平行，ab、bc、ad、cd边电阻相等均为R。金属框在沿导轨方向的恒定拉力F（大小未知）作用下由静止开始向右沿导轨运动，经过一段距离后进入第一个磁场区。从bc边进入第一个磁场区至bc边离开第一个磁场区过程中，测得ad两端的电压随时间变化图像如图乙所示。
（1）求恒力F的大小？
（2）设Δt1＝t1﹣0，Δt2＝t2﹣t1，比较Δt1和Δt2的大小并求Δt1？
（3）在图丙中画出bc边离开第一个磁场至刚进入第二个磁场过程中ad两端的电压随时间变化图像（标出时间和电压值，以bc边离开第一个磁场开始计时）；
（4）金属框从静止开始到离开第二个磁场区的过程中F所做的功？
【解答】解：（1）由t1到t2，不受安培力，做匀加速直线运动
又U1＝BLv1
U2＝BLv2
联立可得
（2）导体框的电动势
E＝BLv
E与v成正比，由图乙可得v﹣t图像下
由于Δt1和Δt2时间内的位移都等于L，即图中面积
S1＝S2
可知
Δt1＞Δt2
由0到t1过程
FΔt1﹣BLq＝mv2﹣mv1
解得
（3）线框离开磁场区的受力情况、运动情况和进入磁场区相同，但
全部离开磁场后的运动情况和线框全部处于磁场中的运动情况相同，但不切割磁感线
Uad＝0
图像如下
（4）假设线框经过一个磁场区产生的热量为Q，由静止开始到离开第二个磁场区，由动能定理得
又
U2＝BLv2
从bc边进入第一个磁场到进入第二个磁场，由动能定理可知
Q＝F 4L
联立解得
答：（1）恒力F的大小为；
（2）设Δt1＝t1﹣0，Δt2＝t2﹣t1，Δt1＞Δt2，Δt1；
（3）bc边离开第一个磁场至刚进入第二个磁场过程中ad两端的电压随时间变化图像为
（4）金属框从静止开始到离开第二个磁场区的过程中F所做的功为。
20．（11分）如图所示，绝缘的中空轨道竖直固定，圆弧段COD光滑，对应圆心角为120°，CD两端等高，O为最低点，圆弧的圆心为O′，半径为R；直线段AC、HD粗糙且足够长，与圆弧段分别在C、D端相切．整个装置处于方向垂直于轨道所在平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，在竖直虚线MC左侧和虚线ND右侧存在着电场强度大小相等、方向分别为水平向右和水平向左的匀强电场．现有一质量为m、电荷量恒为q、直径略小于轨道内径、可视为质点的带正电小球，从轨道内距C点足够远的P点由静止释放．若小球所受电场力的大小等于其重力的倍，小球与直线段AC、HD间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，求：
（1）小球在第一次沿轨道AC下滑的过程中的最大加速度和最大速度；
（2）小球经过长时间的往复运动过程中，轨道最低点O对小球最小支持力的大小．
【解答】解：（1）小球第一次沿轨道AC下滑的过程中，由题意可知，电场力与重力的合力方向恰好沿着斜面AC，则刚开始小球与管壁无作用力，当从静止运动后，由左手定则可知，洛伦兹力导致球对管壁有作用力，从而导致滑动摩擦力增大，而重力与电场力的合力大小为：
，
该合力不变，根据牛顿第二定律可知，做加速度减小的加速运动，因刚下滑时，加速度最大，即为：
；
当小球的摩擦力、重力、电场力、弹力的合力为零时，小球做匀速直线运动，小球的速度达到最大，即为qvB＝N，而μN＝f，且，
因此解得：；
（2）对小球在O点受力分析，且由C向D运动，洛伦兹力最小，由牛顿第二定律，则有：N﹣mg+Bqv＝m；
由C到O点，机械能守恒定律，则有：mgRsin30°mv2；
由上综合而得：对轨道的弹力为：N＝2mg﹣qB；
答：（1）小球在第一次沿轨道AC下滑的过程中的最大加速度为，最大速度为；
（2）小球经过长时间的往复运动过程中，轨道最低点O对小球最小支持力的大小为2mg﹣qB．
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