2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 1.5.1 平面上两点间的距离（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 1.5.1 平面上两点间的距离（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-05 11:12:40 | ||
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文档简介
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2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 1.5.1 平面上两点间的距离
一、选择题
1．在四边形ABCD中，，，，M，N分别为AB，CD的中点，则( )
A. B. C. D.
2．已知直线过定点A，直线过定点B，与相交于点P，则( )
A.10 B.13 C.16 D.20
3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. B.5 C. D.
4．已知直线：与直线：的交点为A，则点A与点间的距离为( )
A. B. C. D.1
5．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为( )
A. B. C. D.
6．在平面直角坐标系中，设定点，P是函数图像上一动点，若点P、A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为( )
A. B.1 C.或1 D.不存在
二、多项选择题
7．某同学在研究函数的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是( )
A.函数的最小值为 B.函数的最小值为
C.函数没有最大值 D.函数有最大值
8．对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为.已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是( )
A.A，B，C三点可能共线
B.A，B，C三点可能构成锐角三角形
C.A，B，C三点可能构成直角三角形
D.A，B，C三点可能构成钝角三角形
三、填空题
9．定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________.
10．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______.
11．已知点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是___________.
四、解答题
12．过点作直线l，使它被直线和直线截得的线段的中点恰好为P.
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l被和截得的线段长.
13．已知两条直线，.
（1）若直线与两坐标轴分别交于A，B两点，又过定点P，当a为何值时，有最小值，并求此时的方程；
（2）若，设、与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积S的最大值；
（3）设，直线与x轴交于点A，、的交点为P，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：如图所示：过D点作，垂足为O点，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
设，由题知，，因为，，所以，，因为M，N分别为AB，CD的中点，所以，，所以.
故选：B.
2．答案：B
解析：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点P，
又因为直线过定点，直线，即过定点，
所以在中，，
故选：B.
3．答案：D
解析：由关于的对称点为，
所以，可得，即对称点为，又，
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故选：D
4．答案：D
解析：联立方程，解得，，
所以，所以.
故选：D.
5．答案：C
解析：因为，
记点、、，则，
当且仅当点P为线段与x轴的交点时，等号成立，即的最小值为.
故选：C.
6．答案：C
解析：设，则；
由，则，
当且仅当，即时等号成立，
接下来分两种情况：
（1）当时，，则；
（2）当时，，则；
满足条件的实数a的所有值为；或1.
故选：C.
7．答案：BC
解析：设，可理解为动点到两个定点，的距离和.
如图：
由三角形三边关系可得，当点P和点B重合时，等号成立，
无最大值，
所以函数的最小值为，没有最大值.
故选：BC.
8．答案：ACD
解析：令点，，设点，则有，，，
由得：，
当，时，A，B，C三点共线，且有成立，A正确；
当时，则A，B，C三点不共线，
若，有，且成立，为直角三角形，C正确；
若，显然是钝角，且成立，为钝角三角形，D正确；
若，不成立，显然A，B，C三点不可能构成锐角三角形，B不正确.
故选：ACD.
9．答案：2
解析：当时，显然不成立，故，此时，设曲线任意一点，则，其中，当且仅当，即时等号成立，此时即为最小值.
故答案为：2.
10．答案：
解析：因的顶点，，，则的重心，
显然的外心M在线段AC中垂线上，设，
由得：，解得：，即点，
直线，化简整理得：，
所以欧拉线的方程为.
故答案为：.
11．答案：
解析：直线l：可化为：，
令，即直线过定点，但不包括直线，
所以，
而当PA与l垂直时，到直线l的距离最大，所以.
12．答案：（1）
（2）
解析：（1）设直线l与直线和直线l与直线的交点分别为A，B，
若直线l斜率不存在，则直线l的方程：，
将代入可得，，即，
将代入可得，，即，
显然线段中点不是，不符合题意；
若直线l斜率存在，设直线l的方程为：，（且）
由，即，
由，即，
因为线段中点是，
所以且，解得，
从而直线l的方程为：，即.
（2）由（1）中结论可知，，，
从而，
故直线l被和截得的线段长为.
13．答案：（1）；
（2）
（3）
解析：（1）由直线，令，，
得，，直线恒过定点，
则，
当且仅当时，最小值为9.此时直线；
（2）由直线，知恒过定点，
，分别与x，y轴交于A、C两点，且，，
故，
又函数在上单调递增，
因为，故当时，面积；
（3）由，可得，，，均恒过定点，
设直线，由；
，设直线交x轴于点，而，
则
，
又，所以，故.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 1.5.1 平面上两点间的距离
一、选择题
1．在四边形ABCD中，，，，M，N分别为AB，CD的中点，则( )
A. B. C. D.
2．已知直线过定点A，直线过定点B，与相交于点P，则( )
A.10 B.13 C.16 D.20
3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. B.5 C. D.
4．已知直线：与直线：的交点为A，则点A与点间的距离为( )
A. B. C. D.1
5．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为( )
A. B. C. D.
6．在平面直角坐标系中，设定点，P是函数图像上一动点，若点P、A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为( )
A. B.1 C.或1 D.不存在
二、多项选择题
7．某同学在研究函数的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是( )
A.函数的最小值为 B.函数的最小值为
C.函数没有最大值 D.函数有最大值
8．对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为.已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是( )
A.A，B，C三点可能共线
B.A，B，C三点可能构成锐角三角形
C.A，B，C三点可能构成直角三角形
D.A，B，C三点可能构成钝角三角形
三、填空题
9．定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________.
10．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______.
11．已知点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是___________.
四、解答题
12．过点作直线l，使它被直线和直线截得的线段的中点恰好为P.
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l被和截得的线段长.
13．已知两条直线，.
（1）若直线与两坐标轴分别交于A，B两点，又过定点P，当a为何值时，有最小值，并求此时的方程；
（2）若，设、与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积S的最大值；
（3）设，直线与x轴交于点A，、的交点为P，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：如图所示：过D点作，垂足为O点，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
设，由题知，，因为，，所以，，因为M，N分别为AB，CD的中点，所以，，所以.
故选：B.
2．答案：B
解析：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点P，
又因为直线过定点，直线，即过定点，
所以在中，，
故选：B.
3．答案：D
解析：由关于的对称点为，
所以，可得，即对称点为，又，
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故选：D
4．答案：D
解析：联立方程，解得，，
所以，所以.
故选：D.
5．答案：C
解析：因为，
记点、、，则，
当且仅当点P为线段与x轴的交点时，等号成立，即的最小值为.
故选：C.
6．答案：C
解析：设，则；
由，则，
当且仅当，即时等号成立，
接下来分两种情况：
（1）当时，，则；
（2）当时，，则；
满足条件的实数a的所有值为；或1.
故选：C.
7．答案：BC
解析：设，可理解为动点到两个定点，的距离和.
如图：
由三角形三边关系可得，当点P和点B重合时，等号成立，
无最大值，
所以函数的最小值为，没有最大值.
故选：BC.
8．答案：ACD
解析：令点，，设点，则有，，，
由得：，
当，时，A，B，C三点共线，且有成立，A正确；
当时，则A，B，C三点不共线，
若，有，且成立，为直角三角形，C正确；
若，显然是钝角，且成立，为钝角三角形，D正确；
若，不成立，显然A，B，C三点不可能构成锐角三角形，B不正确.
故选：ACD.
9．答案：2
解析：当时，显然不成立，故，此时，设曲线任意一点，则，其中，当且仅当，即时等号成立，此时即为最小值.
故答案为：2.
10．答案：
解析：因的顶点，，，则的重心，
显然的外心M在线段AC中垂线上，设，
由得：，解得：，即点，
直线，化简整理得：，
所以欧拉线的方程为.
故答案为：.
11．答案：
解析：直线l：可化为：，
令，即直线过定点，但不包括直线，
所以，
而当PA与l垂直时，到直线l的距离最大，所以.
12．答案：（1）
（2）
解析：（1）设直线l与直线和直线l与直线的交点分别为A，B，
若直线l斜率不存在，则直线l的方程：，
将代入可得，，即，
将代入可得，，即，
显然线段中点不是，不符合题意；
若直线l斜率存在，设直线l的方程为：，（且）
由，即，
由，即，
因为线段中点是，
所以且，解得，
从而直线l的方程为：，即.
（2）由（1）中结论可知，，，
从而，
故直线l被和截得的线段长为.
13．答案：（1）；
（2）
（3）
解析：（1）由直线，令，，
得，，直线恒过定点，
则，
当且仅当时，最小值为9.此时直线；
（2）由直线，知恒过定点，
，分别与x，y轴交于A、C两点，且，，
故，
又函数在上单调递增，
因为，故当时，面积；
（3）由，可得，，，均恒过定点，
设直线，由；
，设直线交x轴于点，而，
则
，
又，所以，故.
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