2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 1.5.2 点到直线的距离（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 1.5.2 点到直线的距离（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-05 11:12:53 | ||
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文档简介
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2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 1.5.2 点到直线的距离
一、选择题
1．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( )
A.1.8cm B.2.5cm C.3.2cm D.3.9cm
2．点到直线的距离为d，则d的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是( )
A. B. C.或 D.或
4．坐标原点到直线的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．直线关于直线对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
6．已知，两点到直线的距离相等，则a的值为( )
A.1或2 B.3或4 C.3 D.4
二、多项选择题
7．下列说法正确的是( )
A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B.直线关于x轴对称的直线方程为直线
C.过，两点的直线方程为
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
8．下列说法正确的是( )
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
C.直线l：，为直线l上动点，则的最小值为
D.若两直线：与：平行，则
三、填空题
9．已知平面内点一定点，点M、N分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值为______.
10．平面直角坐标系中有点，，直线l经过点A，且B点到直线l的距离是5，则直线l的方程是__________.
11．经过点，且与原点的距离等于2的直线l的一般式方程为______.
四、解答题
12．已知点P和非零实数，若两条不同的直线、均过点P，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.
（1）已知，且、是一组“共轭线对”，求、的夹角；
（2）已知点、点和点分别是三条直线、、上的点（A、B、C与P、Q、R均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点P的坐标；
（3）已知直线过定点Q，直线、是“共轭线对”，当实数m变化时，求原点O到直线、的距离之积的取值范围.
13．已知直线方程为.
（1）证明：直线恒过定点M，并求出M的坐标；
（2）m为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）设P，Q为圆上的动点，若，求PQ中点R的轨迹方程.
参考答案
1．答案：B
解析：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，
所以，
利用点斜式方程可得到直线：，整理为，
所以原点O到直线距离为，
故选：B.
2．答案：A
解析：，化简得，所以当时，恒成立，所以直线l过定点，所以当直线l过点时，d有最小值为0，此时；d的最大值为和点的距离为，此时直线l与垂直，因为，所以直线l的斜率，又因为，所以有，化简得，故此时无解；所以d的最大值取不到，故.
故选：A.
3．答案：C
解析：两平行直线，之间的距离等于，
设直线m与两平行直线的夹角为，
则有，又，.
由于两平行直线的斜率为1，故它们的倾斜角等于，故m的倾斜角可以是，故m的倾斜角可以是或，
故选：C.
4．答案：A
解析：坐标原点到直线的距离，
令，则，
因，则，当且仅当，即时取等号，即，
所以原点到直线l的距离的取值范围为.
故选：A.
5．答案：B
解析：设点是所求直线上任意一点，
则关于直线对称的点为，且在直线上，
所以，代入可得，整理得.
所以，所求直线方程为.
故选：B.
6．答案：A
解析：由题意可得，整理得，则，解得或2.故选A.
7．答案：AB
解析：对于A，令，则，令，则，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故A正确；
对于B，直线的斜率为1，则倾斜角为，与x轴的交点坐标为，
故其关于x轴对称的直线的倾斜角为，斜率为，且过点，
所以所求直线方程为，即，故B正确；
对于C，当时，过，两点的直线的倾斜角为，斜率不存在，
则不能用两点式方程，故C错误；
对于D，当直线过原点时，直线在x轴和y轴上截距都为0，
此时直线方程为，
当直线不过原点时，可设直线方程为，
则，所以，此时方程为，
综上，所求直线方程为或，故D错误.
故选：AB.
8．答案：CD
解析：A：若，直线与直线垂直，符合题意；
若，由直线与直线垂直，
得，解得，
所以“”是“两直线垂直”的充分不必要条件，故A错误；
B：当在两坐标轴上的截距都为0时，直线方程为；
当在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，
将点代入直线方程，得，解得，则，
即，故B错误；
C：表示点到点的距离的平方，
当点到直线的距离为时，
的值最小，此时，即，故C正确；
D：由，得，解得，故D正确.
故选：CD.
9．答案：
解析：作出点关于x轴的对称点，则，
最小值即为到直线的距离，
所以的最小值为.
故答案为：.
10．答案：或
解析：由直线l经过点A，且点，，
当直线斜率不存在时，此时直线l的方程为，满足B点到直线l的距离是；
当直线斜率存在时，设直线方程为，转化为，
因为B点到直线l的距离是5，所以，解得，
此时直线l的方程为.
故答案为：或.
11．答案：或
解析：当该直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当该直线斜率存在时，设直线方程为，
即，则原点到该直线的距离为，
化简得.
所以直线l的一般式方程为或.
故答案为：或
12．答案：（1）
（2）或
（3）
解析：（1），，
由题可知，，
设、的夹角为，
则.
所以.
（2）设直线PQ：，QR：，RP：，
由题可知，解得或，
当时，联立可得，
当时，联立可得，
所以P点的坐标为或.
（3）过定点，，
因为直线、是“共轭线对”，所以，
，，
设原点到直线、的距离分别为，，
则，
当时，，
又，，
即.
13．答案：（1）
（2），最大距离为
（3）
解析：（1）证明：直线方程为，可化为
，对任意m都成立，所以，解得，所以直线恒过定点；
（2）点到直线的距离最大，
可知点T与定点的连线的距离就是所求最大值，
即.
，
的斜率为：，
可得，解得.
所以当时，点T到直线的距离最大，最大值为.
（3）因为P，Q为圆上的动点，所以设，，，则有，且，
又，，则有，即，化简可得：（1）
因为
代入（1）式可得：.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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一、选择题
1．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( )
A.1.8cm B.2.5cm C.3.2cm D.3.9cm
2．点到直线的距离为d，则d的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是( )
A. B. C.或 D.或
4．坐标原点到直线的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．直线关于直线对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
6．已知，两点到直线的距离相等，则a的值为( )
A.1或2 B.3或4 C.3 D.4
二、多项选择题
7．下列说法正确的是( )
A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B.直线关于x轴对称的直线方程为直线
C.过，两点的直线方程为
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
8．下列说法正确的是( )
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
C.直线l：，为直线l上动点，则的最小值为
D.若两直线：与：平行，则
三、填空题
9．已知平面内点一定点，点M、N分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值为______.
10．平面直角坐标系中有点，，直线l经过点A，且B点到直线l的距离是5，则直线l的方程是__________.
11．经过点，且与原点的距离等于2的直线l的一般式方程为______.
四、解答题
12．已知点P和非零实数，若两条不同的直线、均过点P，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.
（1）已知，且、是一组“共轭线对”，求、的夹角；
（2）已知点、点和点分别是三条直线、、上的点（A、B、C与P、Q、R均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点P的坐标；
（3）已知直线过定点Q，直线、是“共轭线对”，当实数m变化时，求原点O到直线、的距离之积的取值范围.
13．已知直线方程为.
（1）证明：直线恒过定点M，并求出M的坐标；
（2）m为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）设P，Q为圆上的动点，若，求PQ中点R的轨迹方程.
参考答案
1．答案：B
解析：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，
所以，
利用点斜式方程可得到直线：，整理为，
所以原点O到直线距离为，
故选：B.
2．答案：A
解析：，化简得，所以当时，恒成立，所以直线l过定点，所以当直线l过点时，d有最小值为0，此时；d的最大值为和点的距离为，此时直线l与垂直，因为，所以直线l的斜率，又因为，所以有，化简得，故此时无解；所以d的最大值取不到，故.
故选：A.
3．答案：C
解析：两平行直线，之间的距离等于，
设直线m与两平行直线的夹角为，
则有，又，.
由于两平行直线的斜率为1，故它们的倾斜角等于，故m的倾斜角可以是，故m的倾斜角可以是或，
故选：C.
4．答案：A
解析：坐标原点到直线的距离，
令，则，
因，则，当且仅当，即时取等号，即，
所以原点到直线l的距离的取值范围为.
故选：A.
5．答案：B
解析：设点是所求直线上任意一点，
则关于直线对称的点为，且在直线上，
所以，代入可得，整理得.
所以，所求直线方程为.
故选：B.
6．答案：A
解析：由题意可得，整理得，则，解得或2.故选A.
7．答案：AB
解析：对于A，令，则，令，则，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故A正确；
对于B，直线的斜率为1，则倾斜角为，与x轴的交点坐标为，
故其关于x轴对称的直线的倾斜角为，斜率为，且过点，
所以所求直线方程为，即，故B正确；
对于C，当时，过，两点的直线的倾斜角为，斜率不存在，
则不能用两点式方程，故C错误；
对于D，当直线过原点时，直线在x轴和y轴上截距都为0，
此时直线方程为，
当直线不过原点时，可设直线方程为，
则，所以，此时方程为，
综上，所求直线方程为或，故D错误.
故选：AB.
8．答案：CD
解析：A：若，直线与直线垂直，符合题意；
若，由直线与直线垂直，
得，解得，
所以“”是“两直线垂直”的充分不必要条件，故A错误；
B：当在两坐标轴上的截距都为0时，直线方程为；
当在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，
将点代入直线方程，得，解得，则，
即，故B错误；
C：表示点到点的距离的平方，
当点到直线的距离为时，
的值最小，此时，即，故C正确；
D：由，得，解得，故D正确.
故选：CD.
9．答案：
解析：作出点关于x轴的对称点，则，
最小值即为到直线的距离，
所以的最小值为.
故答案为：.
10．答案：或
解析：由直线l经过点A，且点，，
当直线斜率不存在时，此时直线l的方程为，满足B点到直线l的距离是；
当直线斜率存在时，设直线方程为，转化为，
因为B点到直线l的距离是5，所以，解得，
此时直线l的方程为.
故答案为：或.
11．答案：或
解析：当该直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当该直线斜率存在时，设直线方程为，
即，则原点到该直线的距离为，
化简得.
所以直线l的一般式方程为或.
故答案为：或
12．答案：（1）
（2）或
（3）
解析：（1），，
由题可知，，
设、的夹角为，
则.
所以.
（2）设直线PQ：，QR：，RP：，
由题可知，解得或，
当时，联立可得，
当时，联立可得，
所以P点的坐标为或.
（3）过定点，，
因为直线、是“共轭线对”，所以，
，，
设原点到直线、的距离分别为，，
则，
当时，，
又，，
即.
13．答案：（1）
（2），最大距离为
（3）
解析：（1）证明：直线方程为，可化为
，对任意m都成立，所以，解得，所以直线恒过定点；
（2）点到直线的距离最大，
可知点T与定点的连线的距离就是所求最大值，
即.
，
的斜率为：，
可得，解得.
所以当时，点T到直线的距离最大，最大值为.
（3）因为P，Q为圆上的动点，所以设，，，则有，且，
又，，则有，即，化简可得：（1）
因为
代入（1）式可得：.
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