2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.1.1 椭圆的标准方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.1.1 椭圆的标准方程（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-05 11:16:19 | ||
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文档简介
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2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.1.1 椭圆的标准方程
一、选择题
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上一点，若的中点为，且，则椭圆C的标准方程为( )
A. B. C. D.
2．已知椭圆的右焦点为F，点P为椭圆C上的动点，点，则周长的最大值为( )
A.4 B. C. D.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点.若，，的面积为，则a的值为( )
A.4 B.3 C.5 D.6
4．过点的直线l交椭圆于A，B两点，若，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
5．已知，分别为椭圆C：的左、右两焦点，P是C上的点，则使得是直角三角形的点P的个数为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
6．椭圆C与椭圆关于直线对称，椭圆C的方程是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A.的周长为8 B.面积的最大值为
C.存在点P，使得 D.的内切圆半径的最大值为
8．已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，
，则下列结论正确的是( )
A.的周长为16 B.
C.点P到x轴的距离为 D.
三、填空题
9．已知椭圆C：的上顶点为A，两个焦点为，.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则的周长为.________.
10．已知椭圆C：，为椭圆上一点，，则_________.
11．在平面直角坐标系中，椭圆经过点，且点P与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为.若椭圆C上存在两点Q，R，使得的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点O，则直线的方程________________.
四、解答题
12．已知菱形的一对内角各为，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程.
13．已知椭圆的长轴长为6，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A，B为椭圆C的左右顶点，M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线AM交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线BN垂直的直线记为l，直线BM交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值.
参考答案
1．答案：A
解析：设的中点为N，因为，所以，又，所以，解得.因为的中点为，所以，即，故，又，解得，，所以椭圆C的标准方程为.
2．答案：D
解析：由题知，.设椭圆C的左焦点为，则，的周长为，当P，A，三点共线（点在线段PA上）时取等号，所以周长的最大值为.
3．答案：C
解析：由题意设，因为，，所以，.根据椭圆定义，知，即，则，所以，所以，所以，从而，即，所以，因为，所以.
4．答案：B
解析：方法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，代入，得.又，所以M是线段AB的中点，所以，得.
方法二：设，，因为，所以M是线段AB的中点，所以又A，B在椭圆上，所以两式作差，得，即，所以直线l的斜率为.
方法三：因为，所以M是线段AB的中点.由题意知AB不与坐标轴平行，所以，所以.
5．答案：C
解析：由题意，椭圆C：，，，，故，；
若是直角三角形，
若为直角：
由于O为的中点，
故
设，则
故点P为圆O与椭圆C的交点，
联立，可得，即，，
共有4个点
若为直角：
则，则，，有2个点；
若为直角：
则，则，，有2个点；
综上，满足条件的点P的个数为8.
故选：C.
6．答案：A
解析：设点为椭圆C上任意一点，设关于直线的对称点为，则，
所以，又点在椭圆上，
所以，化简可得，
故选：A.
7．答案：ABD
解析：对于A，由椭圆，可得的周长为，故A正确；对于B，当点P为椭圆短轴端点时，的面积最大，且最大面积为，故B正确；对于C，当点P为椭圆短轴端点时，最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误；对于D，设的内切圆半径为r，则，则，若r最大，则最大，当点P位于短轴端点时，最大，为，所以r的最大值为，故D正确.
8．答案：ABC
解析：依题意，，，，，.
所以三角形的周长为，A选项正确，
设，，
所以，
整理得，
所以，B选项正确，
设P到x轴的距离为h，则，，C选项正确，
，D选项错误.
故选：ABC.
9．答案：8
解析：由，得，，，
解得，，，
因为椭圆C的上顶点为A，两个焦点为，，所以，，
所以，即为等边三角形，
因为过且垂直于的直线与C交于D，E两点，
所以，，
由椭圆的定义可知，，，
所以的周长为.
故答案为：8.
10．答案：或.
解析：由题意可得：，，
在中由余弦定理可得：，
所以有，
即，
，
，
所以，
整理得：，
所以或，
解得或，
又因为，
所以或.
故答案为：或.
11．答案：
解析：由题意，得，解得，椭圆C的方程为.
设，.，而，，
故可设直线的方程为.
联立，得，
首先，由得，解得.（*）且，.
又，，得，
即，整理得，，
，
即，解得或（均适合（*）式）.
当时，直线恰好经过点P，不能构成三角形，不合题意，故舍去.
直线的方程为.
12．答案：椭圆标准方程为或
解析：如图，菱形的一对内角，则，
因为边长为4，所以，，，
当以A、C为焦点且在x轴上时，设椭圆标准方程为，
所以，，，
即；
当以A、C为焦点且在y轴上时，设椭圆标准方程为，
所以，，，
即；
综上所述，椭圆标准方程为或.
13．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）根据题意可得：，，解得，，
故椭圆C的方程为：.
（2）设点M的坐标为，，则，即；
又A点坐标为，故可设直线方程为：，
令，可得：，即点N的坐标为，
又B点坐标为，故直线的斜率，
又直线l的斜率满足，则，
又因为直线的斜率为，故直线方程为：，
联立直线方程，与直线l的方程，即，
，即；
则，故为定值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.1.1 椭圆的标准方程
一、选择题
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上一点，若的中点为，且，则椭圆C的标准方程为( )
A. B. C. D.
2．已知椭圆的右焦点为F，点P为椭圆C上的动点，点，则周长的最大值为( )
A.4 B. C. D.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点.若，，的面积为，则a的值为( )
A.4 B.3 C.5 D.6
4．过点的直线l交椭圆于A，B两点，若，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
5．已知，分别为椭圆C：的左、右两焦点，P是C上的点，则使得是直角三角形的点P的个数为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
6．椭圆C与椭圆关于直线对称，椭圆C的方程是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A.的周长为8 B.面积的最大值为
C.存在点P，使得 D.的内切圆半径的最大值为
8．已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，
，则下列结论正确的是( )
A.的周长为16 B.
C.点P到x轴的距离为 D.
三、填空题
9．已知椭圆C：的上顶点为A，两个焦点为，.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则的周长为.________.
10．已知椭圆C：，为椭圆上一点，，则_________.
11．在平面直角坐标系中，椭圆经过点，且点P与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为.若椭圆C上存在两点Q，R，使得的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点O，则直线的方程________________.
四、解答题
12．已知菱形的一对内角各为，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程.
13．已知椭圆的长轴长为6，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A，B为椭圆C的左右顶点，M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线AM交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线BN垂直的直线记为l，直线BM交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值.
参考答案
1．答案：A
解析：设的中点为N，因为，所以，又，所以，解得.因为的中点为，所以，即，故，又，解得，，所以椭圆C的标准方程为.
2．答案：D
解析：由题知，.设椭圆C的左焦点为，则，的周长为，当P，A，三点共线（点在线段PA上）时取等号，所以周长的最大值为.
3．答案：C
解析：由题意设，因为，，所以，.根据椭圆定义，知，即，则，所以，所以，所以，从而，即，所以，因为，所以.
4．答案：B
解析：方法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，代入，得.又，所以M是线段AB的中点，所以，得.
方法二：设，，因为，所以M是线段AB的中点，所以又A，B在椭圆上，所以两式作差，得，即，所以直线l的斜率为.
方法三：因为，所以M是线段AB的中点.由题意知AB不与坐标轴平行，所以，所以.
5．答案：C
解析：由题意，椭圆C：，，，，故，；
若是直角三角形，
若为直角：
由于O为的中点，
故
设，则
故点P为圆O与椭圆C的交点，
联立，可得，即，，
共有4个点
若为直角：
则，则，，有2个点；
若为直角：
则，则，，有2个点；
综上，满足条件的点P的个数为8.
故选：C.
6．答案：A
解析：设点为椭圆C上任意一点，设关于直线的对称点为，则，
所以，又点在椭圆上，
所以，化简可得，
故选：A.
7．答案：ABD
解析：对于A，由椭圆，可得的周长为，故A正确；对于B，当点P为椭圆短轴端点时，的面积最大，且最大面积为，故B正确；对于C，当点P为椭圆短轴端点时，最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误；对于D，设的内切圆半径为r，则，则，若r最大，则最大，当点P位于短轴端点时，最大，为，所以r的最大值为，故D正确.
8．答案：ABC
解析：依题意，，，，，.
所以三角形的周长为，A选项正确，
设，，
所以，
整理得，
所以，B选项正确，
设P到x轴的距离为h，则，，C选项正确，
，D选项错误.
故选：ABC.
9．答案：8
解析：由，得，，，
解得，，，
因为椭圆C的上顶点为A，两个焦点为，，所以，，
所以，即为等边三角形，
因为过且垂直于的直线与C交于D，E两点，
所以，，
由椭圆的定义可知，，，
所以的周长为.
故答案为：8.
10．答案：或.
解析：由题意可得：，，
在中由余弦定理可得：，
所以有，
即，
，
，
所以，
整理得：，
所以或，
解得或，
又因为，
所以或.
故答案为：或.
11．答案：
解析：由题意，得，解得，椭圆C的方程为.
设，.，而，，
故可设直线的方程为.
联立，得，
首先，由得，解得.（*）且，.
又，，得，
即，整理得，，
，
即，解得或（均适合（*）式）.
当时，直线恰好经过点P，不能构成三角形，不合题意，故舍去.
直线的方程为.
12．答案：椭圆标准方程为或
解析：如图，菱形的一对内角，则，
因为边长为4，所以，，，
当以A、C为焦点且在x轴上时，设椭圆标准方程为，
所以，，，
即；
当以A、C为焦点且在y轴上时，设椭圆标准方程为，
所以，，，
即；
综上所述，椭圆标准方程为或.
13．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）根据题意可得：，，解得，，
故椭圆C的方程为：.
（2）设点M的坐标为，，则，即；
又A点坐标为，故可设直线方程为：，
令，可得：，即点N的坐标为，
又B点坐标为，故直线的斜率，
又直线l的斜率满足，则，
又因为直线的斜率为，故直线方程为：，
联立直线方程，与直线l的方程，即，
，即；
则，故为定值.
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