2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.1.2 椭圆的几何性质（含解析）

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2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.1.2 椭圆的几何性质
一、选择题
1．关于椭圆有下面四个命题：①长轴长为4；②短轴长为3；③离心率为；④椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.若只有一个假命题，则该命题是( )
A.① B.② C.③ D.④
2．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是椭圆上位于x轴上方的两点，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
3．曲线与曲线的( )
A.长轴长相等 B.焦距相等 C.离心率相等 D.短轴长相等
4．椭圆（）的焦点为，，上顶点为A，若，则m等于( )
A.1 B. C. D.2
5．已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
7．已知椭圆：，：，则( )
A.，的焦点都在x轴上 B.，的焦距相等
C.，没有公共点 D.离心率比离心率小
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A.离心率的取值范围为
B.当离心率为时，的最大值为
C.存在点Q使得
D.的最小值为1
三、填空题
9．已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______.
10．椭圆的一个焦点将长轴长分成两部分，则这个椭圆的离心率为___________.
11．焦点在轴x上的椭圆方程为，，是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点B，使得，那么实数a的取值范围是______.
四、解答题
12．求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
（1）；
（2）.
13．已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由命题①②③④，得，，，.由得此时，所以命题②是假命题.
2．答案：B
解析：延长，，分别与椭圆C交于M，N两点，由椭圆的对称性可知，，则.当直线PM的斜率不存在时，PM最小，为3；当PM与x轴重合时，PM最大，为.又P，Q位于x轴上方，故.
3．答案：B
解析：曲线是焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.由得，，且，故曲线也是焦点在x轴上的椭圆，所以，，，故其长轴长、短轴长、离心率均与k有关，不一定与曲线的相同，而其焦距为8，故选B.
4．答案：C
解析：由题设，，，故，，
在中，则，又，
所以.
故选：C.
5．答案：C
解析：，，点M在以为直径的圆上.
又点M在椭圆的内部，，，即，，即.又椭圆的离心率，
.
6．答案：B
解析：由题意得：，，故，
故离心率为.
故选：B.
7．答案：BCD
解析：因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确；
因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
联立椭圆，的方程，消除，得，所以x无解，故椭圆，没有公共点，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确.
故选：BCD.
8．答案：BD
解析：由题意可得，所以，由点在椭圆内部可得，可得，即，所以.对于A，，故A错误；对于B，当时，，，，故B正确；对于C，由A知，若，当Q在短轴端点时，最大，此时，则，由，可得的最大值小于，所以不存在点Q使得，即C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确.故选BD.
9．答案：
解析：由题设，解得，
所以长轴长与短轴长的比值为.
故答案为：.
10．答案：
解析：依题意有，则，故离心率为.
故答案为：.
11．答案：
解析：方法1：焦点在x轴上的椭圆方程为，
，，
若椭圆上存在点B，使得，则以线段为直径的圆与椭圆有交点，
即有，即，，又，故a的取值范围是.
方法2：此时离心率.
故答案为:.
12．答案：（1）长轴长为6，短轴长为2，离心率为，焦点坐标为与，顶点坐标为，，，
（2）长轴长为，短轴长为4，离心率为，焦点坐标为，，顶点坐标为，，，
解析：（1）整理为：，焦点在x轴上，则，，，所以长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为与，顶点坐标为，，，.
（2），整理为：，焦点在y轴上，则，，，所以，长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为，，顶点坐标为，，，.
13．答案：
解析：因为点是椭圆上一点，
所以，
又，，
所以，，
设，，
则，
所以函数在区间上单调递减，
所以，，
所以，
所以函数点P到点的距离的取值范围.
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