2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.2.2 双曲线的几何性质（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.2.2 双曲线的几何性质（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1003.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-05 11:18:09 | ||
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文档简介
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2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.2.2 双曲线的几何性质
一、选择题
1．单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的轴截面如图2，最细处的直径为，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底，则该地标建筑的高为( )
A. B. C. D.
2．过点的等轴双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
3．双曲线与椭圆的焦点相同，则( )
A.1 B.-2 C.1或-2 D.2
4．双曲线（，）的焦距是4，其渐近线与圆相切，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
5．如果双曲线的两条渐近线的方程是，焦点是和，那么它的两条准线之间的距离是( )
A. B. C. D.
6．已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为( )
A.2 B. C.3 D.
二、多项选择题
7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则( )
A.
B.双曲线的离心率
C.双曲线的渐近线方程为
D.原点O在以为圆心，为半径的圆上
8．已知双曲线，则下列说法正确的是( )
A.离心率为 B.虚轴长为
C.焦点坐标为 D.渐近线方程为
三、填空题
9．双曲线的实轴长为_________.
10．已知双曲线C：的实轴长是虚轴长的2倍，则C的离心率为_______________.
11．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为__________.
四、解答题
12．求满足下列条件的曲线标准方程：
（1）两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程；
（2）与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.
13．已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.
参考答案
1．答案：C
解析：以最细处所在直线为x轴，双曲线的虚轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
由题意可得，，设，双曲线的方程是（，），则，又，解得，所以双曲线的方程是，将点代入得，解得，所以该地标建筑的高为.故选C.
2．答案：A
解析：设双曲线的方程为，
代入点，得，
故所求双曲线的方程为，
其标准方程为.
故选：A.
3．答案：A
解析：因为双曲线的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点在x轴上，
依题意得解得.故选A.
4．答案：D
解析：由题意可得，得.
因为双曲线（，）的渐近线与圆相切，所以，得，又，解得，，所以双曲线的方程为，故选D.
5．答案：A
解析：由焦点坐标在x轴上，可设双曲线方程为，
则渐近线方程为，所以，
又，解得：，，
故准线方程为，
所以两条准线之间的距离为.
故选：A.
6．答案：A
解析：由是一个等边三角形，可得，
即，则有，即，
则双曲线C的离心率.
故选：A.
7．答案：ABC
解析：设，则.
由双曲线的定义知，即，，即，，，故A中说法正确；
在中，，
则在中，，化简并整理，得，离心率，故B中说法正确；
双曲线的渐近线方程为，故C中说法正确；
若原点O在以为圆心，为半径的圆上，则，即，与不符，故D中说法错误.
故选ABC.
8．答案：ACD
解析：由双曲线的方程得，，则.
离心率，A正确；虚轴长为，B错误；焦点坐标为，C正确；渐近线方程为，D正确.故选ACD.
9．答案：6
解析：由得，，
所以，实轴长为.
故答案为：6.
10．答案：
解析：因为C的实轴长是虚轴长的2倍，所以，从而.
故答案为：.
11．答案：
解析：直线的斜率为，
则与直线垂直的双曲线的渐近线的斜率为3，
所以，
所以.
故答案为：.
12．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设所求椭圆的标准方程为，
两焦点分别为，，，
又椭圆过点，，又，
，，所以椭圆的标准方程为.
（2）方法一：（i），若焦点在x轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距所以，所以，
联立解得，，则双曲线方程为，
（ii），若焦点在y轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距，所以，所以，
联立解得，，则双曲线方程为，
双曲线的标准方程为：或.
方法二：设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为：（），
焦距为，，
，，
双曲线的标准方程为：或.
13．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题知：，
由双曲线的定义知：，，
又因为，所以，所以，
所以，双曲线C的标准方程为.
（2）设，则，
因为，，所以，，
所以.
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2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.2.2 双曲线的几何性质
一、选择题
1．单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的轴截面如图2，最细处的直径为，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底，则该地标建筑的高为( )
A. B. C. D.
2．过点的等轴双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
3．双曲线与椭圆的焦点相同，则( )
A.1 B.-2 C.1或-2 D.2
4．双曲线（，）的焦距是4，其渐近线与圆相切，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
5．如果双曲线的两条渐近线的方程是，焦点是和，那么它的两条准线之间的距离是( )
A. B. C. D.
6．已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为( )
A.2 B. C.3 D.
二、多项选择题
7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则( )
A.
B.双曲线的离心率
C.双曲线的渐近线方程为
D.原点O在以为圆心，为半径的圆上
8．已知双曲线，则下列说法正确的是( )
A.离心率为 B.虚轴长为
C.焦点坐标为 D.渐近线方程为
三、填空题
9．双曲线的实轴长为_________.
10．已知双曲线C：的实轴长是虚轴长的2倍，则C的离心率为_______________.
11．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为__________.
四、解答题
12．求满足下列条件的曲线标准方程：
（1）两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程；
（2）与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.
13．已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.
参考答案
1．答案：C
解析：以最细处所在直线为x轴，双曲线的虚轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
由题意可得，，设，双曲线的方程是（，），则，又，解得，所以双曲线的方程是，将点代入得，解得，所以该地标建筑的高为.故选C.
2．答案：A
解析：设双曲线的方程为，
代入点，得，
故所求双曲线的方程为，
其标准方程为.
故选：A.
3．答案：A
解析：因为双曲线的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点在x轴上，
依题意得解得.故选A.
4．答案：D
解析：由题意可得，得.
因为双曲线（，）的渐近线与圆相切，所以，得，又，解得，，所以双曲线的方程为，故选D.
5．答案：A
解析：由焦点坐标在x轴上，可设双曲线方程为，
则渐近线方程为，所以，
又，解得：，，
故准线方程为，
所以两条准线之间的距离为.
故选：A.
6．答案：A
解析：由是一个等边三角形，可得，
即，则有，即，
则双曲线C的离心率.
故选：A.
7．答案：ABC
解析：设，则.
由双曲线的定义知，即，，即，，，故A中说法正确；
在中，，
则在中，，化简并整理，得，离心率，故B中说法正确；
双曲线的渐近线方程为，故C中说法正确；
若原点O在以为圆心，为半径的圆上，则，即，与不符，故D中说法错误.
故选ABC.
8．答案：ACD
解析：由双曲线的方程得，，则.
离心率，A正确；虚轴长为，B错误；焦点坐标为，C正确；渐近线方程为，D正确.故选ACD.
9．答案：6
解析：由得，，
所以，实轴长为.
故答案为：6.
10．答案：
解析：因为C的实轴长是虚轴长的2倍，所以，从而.
故答案为：.
11．答案：
解析：直线的斜率为，
则与直线垂直的双曲线的渐近线的斜率为3，
所以，
所以.
故答案为：.
12．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设所求椭圆的标准方程为，
两焦点分别为，，，
又椭圆过点，，又，
，，所以椭圆的标准方程为.
（2）方法一：（i），若焦点在x轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距所以，所以，
联立解得，，则双曲线方程为，
（ii），若焦点在y轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距，所以，所以，
联立解得，，则双曲线方程为，
双曲线的标准方程为：或.
方法二：设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为：（），
焦距为，，
，，
双曲线的标准方程为：或.
13．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题知：，
由双曲线的定义知：，，
又因为，所以，所以，
所以，双曲线C的标准方程为.
（2）设，则，
因为，，所以，，
所以.
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