2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.3.2 抛物线的几何性质（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.3.2 抛物线的几何性质（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-05 11:18:44 | ||
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文档简介
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2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.3.2 抛物线的几何性质
一、选择题
1．设坐标原点为O，若抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则( )
A. B. C.3 D.
2．若直线与抛物线交于A，B两点，且（O为坐标原点），则( )
A. B.1 C. D.2
3．青花瓷是中国陶瓷烧制工艺的珍品，中国瓷器的主流品种之一.如图，一只内壁光滑的青花瓷碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓曲线可以近似看成抛物线，若碗里放置一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上，则筷子的中点离桌面的距离为( )
A. B. C. D.
4．过抛物线上任意两点A，B作两条切线交于点P，则称为阿基米德三角形，当弦AB经过抛物线的焦点F时，具有以下特征：
①点P在抛物线的准线上；
②.
若经过抛物线的焦点的一条弦为AB，为阿基米德三角形，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为( )
A. B. C. D.
5．抛物线上的点到直线的距离的最小值是( )
A. B. C. D.3
6．已知抛物线与直线交于A，B两点，且.若C的焦点为F，则( )
A. B.7 C.6 D.5
二、多项选择题
7．已知抛物线的焦点F到准线l的距离为2，则( )
A.焦点F的坐标为
B.过点恰有2条直线与C有且只有一个公共点
C.直线与C相交所得弦长为8
D.C与圆交于M，N两点，则
8．已知抛物线，下列描述正确的是( )
A.开口向上，准线方程为 B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为 D.开口向右，准线方程为
三、填空题
9．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个三角形的边长是______.
10．已知抛物线C：经过点，则抛物线的准线方程是______.
11．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则_______.
四、解答题
12．在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且___________.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积.
13．如图，已知点，抛物线的焦点是，A，B是抛物线上的两点，四边形FAPB是矩形.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求矩形FAPB的面积.
参考答案
1．答案：D
解析：抛物线的焦点为.由题意知直线AB的斜率不为0，故可设直线AB的方程为，，.由得，，，所以.
2．答案：B
解析：设，.由得，所以，.又，所以，所以.
3．答案：B
解析：建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的方程为，其焦点为.
因为碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.设，，过AB的中点N作轴于点H.由抛物线的定义可得，解得，所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.
4．答案：A
解析：因为为阿基米德三角形，且弦AB经过抛物线的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点，所以直线PF的斜率为.又，所以直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即.
5．答案：A
解析：方法一：设与抛物线相切且与直线平行的直线方程为.由得，则，得，所以所求最小值为两平行线之间的距离，为.
方法二：设抛物线上一点为，该点到直线的距离，当时，d取得最小值，为.
6．答案：B
解析：由得，，，，所以，则，可得（舍去）或，故，所以.
7．答案：ACD
解析：由题可知抛物线C的方程为.焦点F的坐标为，故A正确.过点可作C的2条切线；直线过点A且与C只有一个交点，所以共3条直线与抛物线有且只有一个公共点，故B错误.设直线与抛物线C交于，，由得，，则，，，故C正确.由得，解得（舍去），所以交点为，所以，故D正确.
8．答案：AB
解析：抛物线方程可化为，所以抛物线开口向上，焦点为，准线方程为.故选AB.
9．答案：
解析：设正三角形的顶点，边长为，
由于正三角形的两个顶点在抛物线上，
根据正三角形和抛物线的对称性可设，
将B点坐标代入抛物线得，.
所以正三角形的边长为.
故答案为：.
10．答案：
解析：由题意得：
抛物线C：经过点，
，解得，
准线方程为，
故答案为：.
11．答案：10
解析：根据抛物线的定义可得，，所以.
故答案为：10.
12．答案：（1）
（2）
解析：方案一：选择条件①.
（1）由抛物线的定义可得.
因为，所以，解得.
故抛物线C的标准方程为.
（2）设，，由（1）知.
由得，
则，，
所以，
故.
因为点F到直线l的距离，
所以的面积为.
方案二：选择条件②.
（1）因为，所以，，
因为点在抛物线C上，
所以，即，解得，
所以抛物线C的标准方程为.
（2）同方案一.
方案三：选择条件③.
（1）当轴时，，所以.
故抛物线C的标准方程为.
（2）同方案一.
13．答案：（1）
（2）8
解析：（1）因为抛物线的焦点是，所以，得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）设，，则，.
因为四边形FAPB是矩形，
所以，，，
即，，，
所以，，，
得，，
又，，
所以矩形FAPB的面积.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 3.3.2 抛物线的几何性质
一、选择题
1．设坐标原点为O，若抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则( )
A. B. C.3 D.
2．若直线与抛物线交于A，B两点，且（O为坐标原点），则( )
A. B.1 C. D.2
3．青花瓷是中国陶瓷烧制工艺的珍品，中国瓷器的主流品种之一.如图，一只内壁光滑的青花瓷碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓曲线可以近似看成抛物线，若碗里放置一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上，则筷子的中点离桌面的距离为( )
A. B. C. D.
4．过抛物线上任意两点A，B作两条切线交于点P，则称为阿基米德三角形，当弦AB经过抛物线的焦点F时，具有以下特征：
①点P在抛物线的准线上；
②.
若经过抛物线的焦点的一条弦为AB，为阿基米德三角形，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为( )
A. B. C. D.
5．抛物线上的点到直线的距离的最小值是( )
A. B. C. D.3
6．已知抛物线与直线交于A，B两点，且.若C的焦点为F，则( )
A. B.7 C.6 D.5
二、多项选择题
7．已知抛物线的焦点F到准线l的距离为2，则( )
A.焦点F的坐标为
B.过点恰有2条直线与C有且只有一个公共点
C.直线与C相交所得弦长为8
D.C与圆交于M，N两点，则
8．已知抛物线，下列描述正确的是( )
A.开口向上，准线方程为 B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为 D.开口向右，准线方程为
三、填空题
9．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个三角形的边长是______.
10．已知抛物线C：经过点，则抛物线的准线方程是______.
11．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则_______.
四、解答题
12．在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且___________.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积.
13．如图，已知点，抛物线的焦点是，A，B是抛物线上的两点，四边形FAPB是矩形.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求矩形FAPB的面积.
参考答案
1．答案：D
解析：抛物线的焦点为.由题意知直线AB的斜率不为0，故可设直线AB的方程为，，.由得，，，所以.
2．答案：B
解析：设，.由得，所以，.又，所以，所以.
3．答案：B
解析：建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的方程为，其焦点为.
因为碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.设，，过AB的中点N作轴于点H.由抛物线的定义可得，解得，所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.
4．答案：A
解析：因为为阿基米德三角形，且弦AB经过抛物线的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点，所以直线PF的斜率为.又，所以直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即.
5．答案：A
解析：方法一：设与抛物线相切且与直线平行的直线方程为.由得，则，得，所以所求最小值为两平行线之间的距离，为.
方法二：设抛物线上一点为，该点到直线的距离，当时，d取得最小值，为.
6．答案：B
解析：由得，，，，所以，则，可得（舍去）或，故，所以.
7．答案：ACD
解析：由题可知抛物线C的方程为.焦点F的坐标为，故A正确.过点可作C的2条切线；直线过点A且与C只有一个交点，所以共3条直线与抛物线有且只有一个公共点，故B错误.设直线与抛物线C交于，，由得，，则，，，故C正确.由得，解得（舍去），所以交点为，所以，故D正确.
8．答案：AB
解析：抛物线方程可化为，所以抛物线开口向上，焦点为，准线方程为.故选AB.
9．答案：
解析：设正三角形的顶点，边长为，
由于正三角形的两个顶点在抛物线上，
根据正三角形和抛物线的对称性可设，
将B点坐标代入抛物线得，.
所以正三角形的边长为.
故答案为：.
10．答案：
解析：由题意得：
抛物线C：经过点，
，解得，
准线方程为，
故答案为：.
11．答案：10
解析：根据抛物线的定义可得，，所以.
故答案为：10.
12．答案：（1）
（2）
解析：方案一：选择条件①.
（1）由抛物线的定义可得.
因为，所以，解得.
故抛物线C的标准方程为.
（2）设，，由（1）知.
由得，
则，，
所以，
故.
因为点F到直线l的距离，
所以的面积为.
方案二：选择条件②.
（1）因为，所以，，
因为点在抛物线C上，
所以，即，解得，
所以抛物线C的标准方程为.
（2）同方案一.
方案三：选择条件③.
（1）当轴时，，所以.
故抛物线C的标准方程为.
（2）同方案一.
13．答案：（1）
（2）8
解析：（1）因为抛物线的焦点是，所以，得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）设，，则，.
因为四边形FAPB是矩形，
所以，，，
即，，，
所以，，，
得，，
又，，
所以矩形FAPB的面积.
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