2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 4.4 数学归纳法（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 4.4 数学归纳法（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 833.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-05 11:22:30 | ||
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文档简介
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2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 4.4 数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明命题“若为奇数，则能被整除”，在验证了正确后，归纳假设应写成( )
A.时，能被整除；
B.时，能被整除；
C.时，能被整除；
D.时，能被整除.
2．用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为( )
A.1 B.k C. D.
3．用数学归纳法证明（，n为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边为( ).
A.. B..
C.. D..
4．已知一个命题，这里，当，2，…，999时，成立，并且当时它也成立，下列命题中正确的是( )
A.对于成立 B.对于每一个自然数成立
C.对于每一个偶数成立 D.对于某些偶数可能不成立
5．已知是关于正整数n的命题.小明证明了命题，，均成立，并对任意的正整数k，在假设成立的前提下，证明了成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明对一切正整数n均成立，则m的最大值为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
6．用数学归纳法证明，，则当时，左端应在的基础上加上( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
7．下列结论能用数学归纳法证明的是( )
A.
B.
C.
D.
8．下列说法正确的是( )
A.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法
B.数学归纳法的第一步的初始值一定为1
C.数学归纳法的两个步骤缺一不可
D.用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上
三、填空题
9．已知存在常数，使等式对都成立，则______.
10．已知，用数学归纳法证明时，比多了______项.
11．已知，则______，______，______，______，猜想______.
四、解答题
12．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
13．用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立.
参考答案
1．答案：C
解析：原命题中n为奇数，归纳假设应写为：时，能被整除.
故选：C.
2．答案：D
解析：当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
所以共增加了项.
故选：D.
3．答案：C
解析：由，则，
因此
故选：C
4．答案：D
解析：由题意在时命题成立，在其他情况下不确定是否成立，故选：D
5．答案：C
解析：由题意可知，对都成立，
假设成立的前提下，证明了成立，由此推得，对的任意整数均成立，
因此m的最大值可以为：3.
故选C.
6．答案：C
解析：当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
左端应在的基础上加上.
故选：C.
7．答案：BC
解析：数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，由此可知BC能用数学归纳法证明.
故选：BC.
8．答案：CD
解析：与正整数n有关的数学命题的证明不一定只能用数学归纳法，如：证明时，可用数学归纳法，也可使用裂项相消法求和，故A错误；
数学归纳法的第一步的初始值不一定为1，如：证明当为偶数时，能被整除.初始值为2，故B错误；
数学归纳法的两个步骤缺一不可且用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上，故CD正确.
故选：CD.
9．答案：5
解析：由题意时，，，
故答案为：5
10．答案：
解析：因为，，
所以，
所以比多了项.
故答案为：
11．答案：；；；；
解析：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
由此猜想：,
故答案为：；；；；
12．答案：，证明见解析
解析：由，可得.
由，可得.
同理可得，，.
归纳上述结果，猜想
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当时，③式左边，右边，猜想成立.
（2）假设当时，③式成立，即，
那么，即当时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立.
13．答案：证明见解析
解析：（1）当时，左边，右边，①式成立.
（2）假设当时，①式成立，即，
根据等差数列的定义，有，
于是，
即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 4.4 数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明命题“若为奇数，则能被整除”，在验证了正确后，归纳假设应写成( )
A.时，能被整除；
B.时，能被整除；
C.时，能被整除；
D.时，能被整除.
2．用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为( )
A.1 B.k C. D.
3．用数学归纳法证明（，n为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边为( ).
A.. B..
C.. D..
4．已知一个命题，这里，当，2，…，999时，成立，并且当时它也成立，下列命题中正确的是( )
A.对于成立 B.对于每一个自然数成立
C.对于每一个偶数成立 D.对于某些偶数可能不成立
5．已知是关于正整数n的命题.小明证明了命题，，均成立，并对任意的正整数k，在假设成立的前提下，证明了成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明对一切正整数n均成立，则m的最大值为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
6．用数学归纳法证明，，则当时，左端应在的基础上加上( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
7．下列结论能用数学归纳法证明的是( )
A.
B.
C.
D.
8．下列说法正确的是( )
A.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法
B.数学归纳法的第一步的初始值一定为1
C.数学归纳法的两个步骤缺一不可
D.用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上
三、填空题
9．已知存在常数，使等式对都成立，则______.
10．已知，用数学归纳法证明时，比多了______项.
11．已知，则______，______，______，______，猜想______.
四、解答题
12．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
13．用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立.
参考答案
1．答案：C
解析：原命题中n为奇数，归纳假设应写为：时，能被整除.
故选：C.
2．答案：D
解析：当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
所以共增加了项.
故选：D.
3．答案：C
解析：由，则，
因此
故选：C
4．答案：D
解析：由题意在时命题成立，在其他情况下不确定是否成立，故选：D
5．答案：C
解析：由题意可知，对都成立，
假设成立的前提下，证明了成立，由此推得，对的任意整数均成立，
因此m的最大值可以为：3.
故选C.
6．答案：C
解析：当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
左端应在的基础上加上.
故选：C.
7．答案：BC
解析：数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，由此可知BC能用数学归纳法证明.
故选：BC.
8．答案：CD
解析：与正整数n有关的数学命题的证明不一定只能用数学归纳法，如：证明时，可用数学归纳法，也可使用裂项相消法求和，故A错误；
数学归纳法的第一步的初始值不一定为1，如：证明当为偶数时，能被整除.初始值为2，故B错误；
数学归纳法的两个步骤缺一不可且用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上，故CD正确.
故选：CD.
9．答案：5
解析：由题意时，，，
故答案为：5
10．答案：
解析：因为，，
所以，
所以比多了项.
故答案为：
11．答案：；；；；
解析：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
由此猜想：,
故答案为：；；；；
12．答案：，证明见解析
解析：由，可得.
由，可得.
同理可得，，.
归纳上述结果，猜想
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当时，③式左边，右边，猜想成立.
（2）假设当时，③式成立，即，
那么，即当时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立.
13．答案：证明见解析
解析：（1）当时，左边，右边，①式成立.
（2）假设当时，①式成立，即，
根据等差数列的定义，有，
于是，
即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
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