2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 5.3.3 最大值与最小值（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 5.3.3 最大值与最小值（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-05 11:23:22 | ||
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文档简介
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2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择必修第一册课时作业 5.3.3 最大值与最小值
一、多项选择题
1．已知函数，则下列选项正确的有( )
A.函数的极小值为1
B.函数在上单调递增
C.当时，函数的最大值为
D.当时，方程恰有3个不等实根
2．下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
3．已知函数，则( )
A.和0是函数的极值点 B.在上单调递增
C.的极大值为 D.的极小值为
4．已知函数，，，为图象上的三点，则( )
A.有两个零点
B.若为极小值点，则
C.直线是曲线的切线
D.若，则
二、解答题
5．已知函数.
（1）求函数在上的最小值；
（2）证明：.
6．已知函数，，其中e为自然对数的底数.
（1）若为的极值点，求的单调区间和最大值.
（2）是否存在实数a，使得的最大值是？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
7．已知函数.
（1）若是的极值点，求实数a的值；
（2）当时，在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
8．已知函数与函数有相同的最小值.
（1）求实数a的值；
（2）求不等式的解集.
三、选择题
9．已知函数的导函数是，的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.函数在上单调递减 B.函数在上单调递增
C.函数在处取得极小值 D.函数共有1个极大值点
10．已知函数的定义域为，导函数在上的图象如图所示，则函数在上的极大值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11．已知函数的导函数的图象如图所示，则极值点的个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
12．函数有( )
A.极大值为5，无极小值 B.极小值为，无极大值
C.极大值为5，极小值为 D.极大值为5，极小值为
13．若函数的导函数，则( )
A.的极小值点为 B.的极小值点为
C.的极大值点为 D.的极大值点为
14．函数在区间上( )
A.有极大值和极小值 B.有极大值，无极小值
C.有极小值，无极大值 D.没有极值
四、填空题
15．函数在处取得极值，则实数m的值为______.
16．若函数在处取极值，则__________.
17．若是函数的一个极值点，则______.
参考答案
1．答案：AC
解析：
A √ 因为，所以当和时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，的极小值为.
B ×
C √ 由函数单调性知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，，，故函数的最大值为.
D × 当时，，时，，且的极大值为，的极小值为，由上述分析可知，的图象如下：由图象可得当时，有3个不等实数根.
2．答案：AB
解析：令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，故A正确；令，则，，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即恒成立，所以，故B正确；令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以，故C错误；令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以，故D错误.
3．答案：ACD
解析：
A √ 由题得.当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以和0分别是函数的极大值点和极小值点.
B × 函数在上单调递减.
C √ 函数的极大值为.
D √ 函数的极小值为.
4．答案：AC
解析：由题设，易知：、上，即递增，上，即递减.
所以极大值为，极小值为，且，显然有两个零点，A正确，B错误；
的函数图象如下：
由上分析及图知：直线是曲线的切线，C正确；
在图象上任找B，C两点，线段中垂线交图象于A点，此时，
如上图，在图象中可取A，B，C三点，其中，，，，，
所以，存在，D错误.
故选：AC.
5．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由，，得，
令，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
①当，即时，
②当，即时，在上单调递增，.
令的最小值为，则
（2）问题等价于证明.
由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到.
设，则，
由，得时，单调递减，
由，得时，单调递增，
则，
从而对任意，，两个等号不同时取到，
所以.
6．答案：（1）的单调递增区间是，单调递减区间是，的最大值为
（2）存在实数a符合题意，此时
解析：（1）.
由，得，所以，
所以当时，，当时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是，的最大值为.
（2）由（1）知.
①当时，，在上单调递增，
所以，
解得，舍去.
②当时，由，得.
（ⅰ）当，即时，若，则，
若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得.
（ⅱ）当，即时，，在上单调递增，
所以，解得，舍去.
综上，存在实数a符合题意，此时.
7．答案：（1）
（2）
解析：因为，
所以.
（1）因为是的极值点，
所以，解得.
经检验符合题意，所以.
（2）令，得，
令，得或，
所以在上单调递减，在，上单调递增.
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
因为在区间上恒成立，
所以解得.
又，所以.
综上，实数a的取值范围是.
8．答案：（1）
（2）
解析：（1），定义域为，.
若，则恒成立，在上单调递减，
所以没有最小值，不满足题意，所以.
由可得.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增.
所以在处取得唯一极小值，也是最小值，.
，定义域为R，.
由，可得.
当时，有，所以在上单调递减；当时，有，所以在上单调递增.
所以在处取得唯一极小值，也是最小值，.
由已知可得，，
即.
设，，
则.
设，则，
由，可得.
当时，有，所以，即在上单调递减；当时，有，所以，即在上单调递增.
所以在处取得唯一极小值，也是最小值，
，
所以恒成立，在上单调递增.
又，
所以在上有唯一解，
即解方程，可得.
（2）由（1）知，，则不等式可化为.
令，则.
①当时，有，
所以，所以恒成立，不满足题意；
②当时，由（1）可知，的最小值为0，
所以，即，
所以，
所以在上单调递增.
又，所以的解集为.
综上所述，的解集为，
所以不等式的解集为.
9．答案：D
解析：对于A，在，，单调递增，故A错误；
对于B，在，不恒为正或负，故不单调，故B错误；
对于C，在，恒成立，故单调递增，故不是极值点，故C错误；
对于D，在，，单调递增，在，，单调递减，故是的极大值点，且是唯一的极大值点，故D正确.
故选：D.
10．答案：B
解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知，在上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故不是函数的极值点.
其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，
故极大值点有2个.
故选：B.
11．答案：A
解析：对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右的导数值异号，
由图象可知，导函数与x轴有5个交点，因为在0附近的左侧，右侧，所以0不是极值点.
其余四个点的左、右的导数值异号，所以是极值点，
故极值点的个数是4.
故选：A.
12．答案：A
解析：，
由，得，由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在时，取得极大值5，无极小值.
故选：A.
13．答案：B
解析：当时，；
当时，；
当时，，
所以的极小值点为，无极大值点.
故选：B.
14．答案：C
解析：由，得，
令，得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以是在上的极小值点，无极大值，
故选：C.
15．答案：3
解析：由，
可得，
所以.
故答案为：3.
16．答案：
解析：，又在处取极值，，；
当时，，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
在处取极值，满足题意；.
故答案为：.
17．答案：
解析：由，
得，
依题意可得，解得，
当时.，，
令，解得，
列表
x 1
单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增
所以在处取得极小值，
故答案为：.
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一、多项选择题
1．已知函数，则下列选项正确的有( )
A.函数的极小值为1
B.函数在上单调递增
C.当时，函数的最大值为
D.当时，方程恰有3个不等实根
2．下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
3．已知函数，则( )
A.和0是函数的极值点 B.在上单调递增
C.的极大值为 D.的极小值为
4．已知函数，，，为图象上的三点，则( )
A.有两个零点
B.若为极小值点，则
C.直线是曲线的切线
D.若，则
二、解答题
5．已知函数.
（1）求函数在上的最小值；
（2）证明：.
6．已知函数，，其中e为自然对数的底数.
（1）若为的极值点，求的单调区间和最大值.
（2）是否存在实数a，使得的最大值是？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
7．已知函数.
（1）若是的极值点，求实数a的值；
（2）当时，在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
8．已知函数与函数有相同的最小值.
（1）求实数a的值；
（2）求不等式的解集.
三、选择题
9．已知函数的导函数是，的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.函数在上单调递减 B.函数在上单调递增
C.函数在处取得极小值 D.函数共有1个极大值点
10．已知函数的定义域为，导函数在上的图象如图所示，则函数在上的极大值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11．已知函数的导函数的图象如图所示，则极值点的个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
12．函数有( )
A.极大值为5，无极小值 B.极小值为，无极大值
C.极大值为5，极小值为 D.极大值为5，极小值为
13．若函数的导函数，则( )
A.的极小值点为 B.的极小值点为
C.的极大值点为 D.的极大值点为
14．函数在区间上( )
A.有极大值和极小值 B.有极大值，无极小值
C.有极小值，无极大值 D.没有极值
四、填空题
15．函数在处取得极值，则实数m的值为______.
16．若函数在处取极值，则__________.
17．若是函数的一个极值点，则______.
参考答案
1．答案：AC
解析：
A √ 因为，所以当和时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，的极小值为.
B ×
C √ 由函数单调性知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，，，故函数的最大值为.
D × 当时，，时，，且的极大值为，的极小值为，由上述分析可知，的图象如下：由图象可得当时，有3个不等实数根.
2．答案：AB
解析：令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，故A正确；令，则，，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即恒成立，所以，故B正确；令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以，故C错误；令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以，故D错误.
3．答案：ACD
解析：
A √ 由题得.当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以和0分别是函数的极大值点和极小值点.
B × 函数在上单调递减.
C √ 函数的极大值为.
D √ 函数的极小值为.
4．答案：AC
解析：由题设，易知：、上，即递增，上，即递减.
所以极大值为，极小值为，且，显然有两个零点，A正确，B错误；
的函数图象如下：
由上分析及图知：直线是曲线的切线，C正确；
在图象上任找B，C两点，线段中垂线交图象于A点，此时，
如上图，在图象中可取A，B，C三点，其中，，，，，
所以，存在，D错误.
故选：AC.
5．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由，，得，
令，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
①当，即时，
②当，即时，在上单调递增，.
令的最小值为，则
（2）问题等价于证明.
由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到.
设，则，
由，得时，单调递减，
由，得时，单调递增，
则，
从而对任意，，两个等号不同时取到，
所以.
6．答案：（1）的单调递增区间是，单调递减区间是，的最大值为
（2）存在实数a符合题意，此时
解析：（1）.
由，得，所以，
所以当时，，当时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是，的最大值为.
（2）由（1）知.
①当时，，在上单调递增，
所以，
解得，舍去.
②当时，由，得.
（ⅰ）当，即时，若，则，
若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得.
（ⅱ）当，即时，，在上单调递增，
所以，解得，舍去.
综上，存在实数a符合题意，此时.
7．答案：（1）
（2）
解析：因为，
所以.
（1）因为是的极值点，
所以，解得.
经检验符合题意，所以.
（2）令，得，
令，得或，
所以在上单调递减，在，上单调递增.
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
因为在区间上恒成立，
所以解得.
又，所以.
综上，实数a的取值范围是.
8．答案：（1）
（2）
解析：（1），定义域为，.
若，则恒成立，在上单调递减，
所以没有最小值，不满足题意，所以.
由可得.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增.
所以在处取得唯一极小值，也是最小值，.
，定义域为R，.
由，可得.
当时，有，所以在上单调递减；当时，有，所以在上单调递增.
所以在处取得唯一极小值，也是最小值，.
由已知可得，，
即.
设，，
则.
设，则，
由，可得.
当时，有，所以，即在上单调递减；当时，有，所以，即在上单调递增.
所以在处取得唯一极小值，也是最小值，
，
所以恒成立，在上单调递增.
又，
所以在上有唯一解，
即解方程，可得.
（2）由（1）知，，则不等式可化为.
令，则.
①当时，有，
所以，所以恒成立，不满足题意；
②当时，由（1）可知，的最小值为0，
所以，即，
所以，
所以在上单调递增.
又，所以的解集为.
综上所述，的解集为，
所以不等式的解集为.
9．答案：D
解析：对于A，在，，单调递增，故A错误；
对于B，在，不恒为正或负，故不单调，故B错误；
对于C，在，恒成立，故单调递增，故不是极值点，故C错误；
对于D，在，，单调递增，在，，单调递减，故是的极大值点，且是唯一的极大值点，故D正确.
故选：D.
10．答案：B
解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知，在上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故不是函数的极值点.
其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，
故极大值点有2个.
故选：B.
11．答案：A
解析：对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右的导数值异号，
由图象可知，导函数与x轴有5个交点，因为在0附近的左侧，右侧，所以0不是极值点.
其余四个点的左、右的导数值异号，所以是极值点，
故极值点的个数是4.
故选：A.
12．答案：A
解析：，
由，得，由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在时，取得极大值5，无极小值.
故选：A.
13．答案：B
解析：当时，；
当时，；
当时，，
所以的极小值点为，无极大值点.
故选：B.
14．答案：C
解析：由，得，
令，得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以是在上的极小值点，无极大值，
故选：C.
15．答案：3
解析：由，
可得，
所以.
故答案为：3.
16．答案：
解析：，又在处取极值，，；
当时，，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
在处取极值，满足题意；.
故答案为：.
17．答案：
解析：由，
得，
依题意可得，解得，
当时.，，
令，解得，
列表
x 1
单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增
所以在处取得极小值，
故答案为：.
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