九年级上册数学24.1圆的有关性质同步练习（含解析）

九年级上册数学 24.1 圆的有关性质 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点在上，，则的度数为（ ）
A．15° B．30° C．50° D．60°
2．如图，的半径为5，M是弦的中点，且，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，的半径为1，内接于，若，，则长为（ ）
A．2 B． C． D．
4．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．如图,AB是半圆的直径,EF为⊙O的弦,为内一点,,,若点为弦的中点,连接QC．甲和乙分别得出一个结论:甲．;乙．．甲和乙所得结论正确的是（　　）．
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲乙都正确 D．甲乙都不正确
6．如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．西昌市“北环线”是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程．如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．经测量，，，那么这段弯道的半径为（）
A． B． C． D．
8． 如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO=1．则四边形BEOF的面积为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，A、B、C在上，若，则 ．
10．如图，四边形是的内接四边形，，则 ．
11．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为 ．
12．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，，则 °．
13．如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数为 ．
三、解答题
14．如图，在中，，求∠2的度数．
15．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过格点A，B，点C为与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)画出该圆的圆心O，并画弦，使平分；
(2)先将弦绕点A顺时针旋转得到线段，再在圆上画点E，使．
16．如图，是的外接圆，平分并交于点，分别连接．
(1)与相等吗？为什么？
(2)若弧的度数与弧的度数之比为，求的度数．
17．如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，延长，交于点F，与交于点G．
（Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求的度数；
（Ⅱ）如图②，若，求的半径．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，先根据垂径定理：“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”得出，，再根据勾股定理求出的长，故可得出结论．
【详解】解：连接
∵是的弦，点是的中点，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴
故选：C．
3．B
【分析】连接OA、OB，由三角形内角和可得出∠C＝45°，再根据圆周角定理可得∠AOB＝90°，即△OAB是等腰直角三角形，又圆半径为1，可得出结论．
【详解】解：如图，连接OA、OB，
在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠ACB＝180° ∠A ∠B＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作出正确的辅助线是解题关键．
4．C
【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．
连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解．
【详解】解：连接交于点，
依题得：米，，米，
设，即，
中，，
即，
解得，
即米，
米，
即点到弦所在直线的距离是米．
故选：．
5．C
【详解】连接,,先证,设,则,,在中由勾股定理得,根据垂径定理及推论得,然后在中勾股定理得据此可得出,因此解出即可得的长．
【解答】解:连接,,
∵是的中点,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
即,
∴,
故甲的说法正确;
设,则,,
在中,,,
由勾股定理得: ,
∵是的中点,点半圆的圆心,
∴,
在中,,,
由勾股定理得:,
∴,
整理得:,
∴（舍去负值）,
∴,
故乙的说法正确．
故选:C．
【点睛】此题主要考查了垂径定理及其推论,直角三角形的性质,勾股定理等,熟练掌握垂径定理及其推论,灵活运用勾股定理构造方程是解答此题的关键．
6．A
【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，根据垂径定理可得，由圆周角定理可得即可求解．
【详解】∵交于点C，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是作辅助线构造直角三角形，由勾股定理列出关于半径的方程．连接，，设这段弯道的半径为，由圆心角、弧、弦的关系得到，由等腰三角形的性质得到，由垂径定理求出的长，由勾股定理得到，求出即可．
【详解】解：连接，，
设这段弯道的半径为，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
这段弯道的半径为．
故选：A
8．C
【分析】根据垂径定理求出AF=BF，CE=BE，，求出∠AOD=2∠C，求出∠AOD=2∠A，求出∠A=30°，解直角三角形求出OF和BF，求出OE、BE、BF，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：∵CD为直径，CD⊥AB，
∴，
∴∠AOD=2∠C，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠AFO=∠CEO=90°，
在△AFO和△CEO中
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴∠C=∠A，
∴∠AOD=2∠A，
∵∠AFO=90°，
∴∠A=30°，
∵AO=1，
∴OF=AO=，AF=OF=，
同理CE=，OE=，
连接OB，

∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O，
∴由垂径定理得：BF=AF=，BE=CE=，
∴四边形BEOF的面积S=S△BFO+S△BEO=××+=，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键．
9．
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
10．
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：130．
11．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由可得，，进而利用勾股定理求出即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．36
【分析】本题考查的是圆周角定理．连接，由圆周角定理可得，再由垂直求出度数，最后根据得到，即可求出的度数．
【详解】解：连接，
，
，
∵，
∴，
∴
，
，
故答案为：36．
13．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，，再根据直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
由圆周角定理得：，，
则，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，全等三角形的性质与判定，证明得到，即可推出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取圆与格线交点E，连接交弦的垂直平分线于点O，O即为圆心；连接，交格线于点P，连接并延长，交于点D，连接，即为作求作；
（2）取点C关于圆心O的对称点N，连接，连接，交格线于点F，过点F作于点H， 则线段即为所求作；取与上方的一条格线交点E，则即为所求作．
【详解】（1）解：如图，取圆与格线交点E，连接交弦的垂直平分线于点O，O即为圆心；连接，交格线于点P，连接并延长，交于点D，连接，即为作求作；
∵，
∴为的直径，
∵为弦，垂直平分，
∴为直径所在直线，
∴O为圆心；
∵，
∴，
∴，
∵O为圆心，
∴，为的中点，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，取点C关于圆心O的对称点N，连接，连接，交格线于点F，过点F作于点H， 则线段即为所求作；取与上方的一条格线交点E，则即为所求作．
∵点C关于圆心O的对称点为N，
∴为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵为直径，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了网格作图，圆周角定理，垂径定理，三角形全等的判定和性质．熟练掌握圆周角定理及其推论，垂径定理，旋转性质，全等三角形的判定和性质，圆的对称性，是解决问题的关键．
16．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理．
（1）由角平分线的定义得到，由圆周角的定理得到，，根据三角形内角和定理结合平角的定义得，进而得到，推出，即可得出结论；
（2）由（1）可知，根据，得到是周长的，即可求出，即可解答．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
弧的度数与弧的度数之比为，即，
是周长的，
弧的度数为，即，
．
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题关键．
（Ⅰ）先求出弧的度数，再根据圆周角定理可得，由此即可得；
（Ⅱ）连接，先求出，从而可得，再根据垂径定理可得，然后设的半径为，则，在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（Ⅰ）∵为的直径，点为的中点，点为的中点，
∴，
∴弧的度数为，
∴，
∵，
∴，
∴；
（Ⅱ）如图，连接，
∵为的直径，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，即，
解得，
所以的半径为．
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