九年级上册数学24.3正多边形和圆同步练习（含解析）

九年级上册数学 24.3 正多边形和圆 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（ ）
A．72° B．54° C．60° D．36°
2．下列关于正多边形说法正确的数量为（ ）
（1）正多边形一定是轴对称图形
（2）正多边形一定是中心对称图形
（3）正多边形的中心角与其一个外角的度数相等
（4）正多边形的外角和与其边数成正比
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（　　）
A． B． C．4 D．5
4．在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ）
A．30°，1 B．45°，2 C．60°， D．120°，4
5．一个正方形的边长为，则它的内切圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正六边形中，点P是边上的点，记图中各三角形的面积依次为，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
8．已知正多边形的中心角是，则这个多边形是正 边形．
9．正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些 ，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的 ．
10．已知正三角形的弦心距为a，那么的周长是 .（用含a的式子表示）．
11．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ．
12．小颖同学在手工制作中，把一个圆形的纸片贴到边长为的等边三角形纸片上，若三角形的三条边恰好都与圆相切，则圆的半径为 ．
三、解答题
13．如图，圆O是边长为6的正方形的内切圆，切圆O于P点，交、于点E，F，求的周长．
14．已知线段a及如图形状的图案.
（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a（保留作图痕迹）
（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.
15．如图的花环状图案中,ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六边形.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)找出一对全等的三角形并给予证明.
16．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），求的余角的度数．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据正边形的中心角的度数为，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：的度数为；
故选A．
2．B
【分析】本题主要考查正多边形、中心对称图形、轴对称图形，根据正多边形的定义及性质、中心对称图形的定义、轴对称图形的定义，即可求得答案．
【详解】（1）说法正确；
（2）正多边形不一定是中心对称图形，例如正五边形不是中心对称图形，说法错误；
（3）正边形的中心角与其一个外角的度数均为，说法正确；
（4）正多边形的外角和为，与其边数不成正比，说法错误；
说法正确的为（1）（3）．
故选：B．
3．C
【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，由正方形和圆的性质求得OE=OF=AB，结合正三角形的外接圆的性质得到OE=OF=，由此得到关于AB的方程AB=，易得AB=4．
【详解】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴AC是直径，AC=AB，
∴OE=OF=AB．
∵△EFG是等边三角形，点O是正三角形EFG的外接圆圆心，
∴OE=OF=×2×=，
∴AB=，
∴AB=4．
即⊙O的内接正方形ABCD的边长为4．
故选C．
【点睛】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
4．C
【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心作于点，先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可得．
【详解】解：这个正六边形的中心角为，
如图，过圆心作于点，
，
是等边三角形，
，
，
即这个正六边形的边心距为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．
5．B
【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、正多边形与圆等知识，正确地求出正方形的边心距是解题的关键．
先证明正方形的两条对角线的交点为正方形的内切圆的圆心，再从该圆心向正方形的一边作垂线，得到该正方形的边心距，求出它的长即得到该正方形的内切圆的半径，再求出该正方形的内切圆的面积即可．
【详解】解：如图，正方形的对角线、BD交于点O，
，，，
，
点O是正方形的外心，也是它的内心，
作于点E，以点O为圆心，以为半径作，则是正方形的内切圆，
，
，
，
，
，
，
该正方形内切圆的面积为．
故选：B．

6．B
【分析】根据正六边形的性质解题即可．
【详解】解：正六边形中，点P是边上的点，则有，
且
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正六边形的性质，熟练掌握正六边形的性质及三角形面积计算方法是解题关键．
7．D
【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形MF的长，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可．
【详解】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，
由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，
由正六边形的性质可得ON＝2，
∴ODOF，
∴MF1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FHMF，
故选：D．

【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．
8．六
【分析】根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得．
【详解】∵正多边形的中心角是，
∴这个多边形是：，
∴这个多边形是正六边形，
故答案为：六．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形的中心角与边数的关系．
9． 弧 外接圆
【解析】略
10．
【分析】根据题意画出图形，再利用角的正切得到，由垂径定理得到，进而可得周长．
【详解】如图，
由题意得，
∴，
∴，
由垂径定理得，，
∴的周长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正三角形的性质、边心距、半径、周长和面积的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
11． 4
【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握圆的相关性质及正方形的相关性质、准确的辅助线及计算是本题的解题关键．
（1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径；
（2）连接，，以、为边作，连接，证明出，，当、、共线时，最小，即为的最小值，利用勾股定理求出即可解答此问．
【详解】解：（1）的面积为，
，
的直径长为，
故答案为：；
（2）如图，连接，，以、为边作，连接，
四边形为正方形，
，，
四边为平行四边形，
，
，
，
当、、共线时，最小，即为的最小值，
在中，，，
，
，
，
周长的最小值为，
故答案为：4．
12．．
【详解】解：如图，⊙O为等边△ABC的内切圆，作OD⊥BC于D，连结OB，则OD为⊙O的半径．∵点O为△ABC的内心，∴OB平分∠ABC，OD垂直平分OD，∴∠OBD=30°，BD=CD=6．在Rt△OBD中，∵tan∠OBD=，∴OD=×6=，即圆的半径为cm．故答案为．
13．
【分析】过O分别作于M，于N，证是正方形，求出正方形边长，根据切线长定理对线段进行转换即可．
【详解】解：过O分别作于M，于N，
，
，
是正方形，
由题意可知：，
圆O是的正方形的内切圆，切圆O于P点，
，
【点睛】本题考查了正方形的内切圆即切线长定理；熟练运用切线长定理将线段进行转化是解题的关键．
14．（1）如图所示见解析，（2）当半径为6时，该正六边形的面积为
【详解】试题分析：
（1）先画一半径为a的圆，再作所画圆的六等分点，如图所示，连接所得六等分点，作出两个等边三角形即可；
（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，由已知条件先求出AB和OE的长，再求出CD的长，即可求得△OCD的面积，这样即可由S阴影=6S△OCD求出阴影部分的面积了.
试题解析：
（1）所作图形如下图所示：
（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，则由题意可得：OA=OB=6，∠AOB=120°，∠OEB=90°，AE=BE，△BOC，△AOD都是等腰三角形，△OCD的三边三角形，
∴∠ABO=30°，BC=OC=CD=AD，
∴BE=OB·cos30°=，OE=3，
∴AB=，
∴CD=，
∴S△OCD=，
∴S阴影=6S△OCD=.
15．（1）见解析；（2）△ABB1≌△FAA1，证明见解析.
【分析】（1）根据多边形内角与外角的有关知识求解．依题意推出∠1+∠A1AF=120°，∠2+∠A1AF=∠B1A1F1=120°，易求∠1，∠2的关系；
（2）依题意∠F1A1B1=∠A1B1C1推出∠AB1B=∠FA1A=60°，又AB=FA，∠1=∠2，推出△ABB1≌△FAA1．
【详解】（1）∵多边形ABCDEF与A1B1C1D1E1F1都是正六边形，
∴∠1+∠A1AF=120°，∠2+∠A1AF=∠B1A1F1=120°，
∴∠1+∠A1AF=∠2+∠A1AF，
即∠1=∠2；
（2）△ABB1≌△FAA1．
证明：∵∠F1A1B1=∠A1B1C1=120°，
∴∠AB1B=∠FA1A=60°，
则，
∴△ABB1≌△FAA1．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
16．54°
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】
如图，连接．
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴90°-36°=54°，
∴的余角的度数为54°．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
答案第1页，共2页
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