九年级上册数学24.3正多边形和圆同步练习 (1)（含解析）

九年级上册数学 24.3 正多边形和圆 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．如图，是正五边形的外接圆的切线，已知点为切点，则的度数为（ ）
A．36° B．54° C．72° D．144°
3．如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于(　　)
A．120° B．6° C．114° D．114°或6°
5．如图，正六边形内接于，为上的一点（点不与点，重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　）
A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2
7．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为
A．6， B．，3 C．6，3 D．，
8．如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．圆内接正多边形的边长与圆的半径相等，则这个正多边形的边数为 ．
10．如图，在正六边形中，若，则这个正六边形外接圆半径是 ．

11．如图，在正五边形中，点是的中点，连接与交于点，则 ．
12．如图，已知正方形ABCD和正△EGF都内接于⊙O，当EF∥BC时，的度数为 ．
13．由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为
三、解答题
14．用等分圆周的方法画下列图形．

15．如图，已知、、是的内接正十边形的边，连接、、，求证：．

16．如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数．
17．如图所示，圆内接中，，、为的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的倍．

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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可．
【详解】解：∵正多边形的中心角为，
∴这个多边形的边数是，
∴正多边形的边数是8．
故选：C．
2．C
【分析】根据题意得和，进一步得到，设,有，由于为的切线，得，则，根据圆周角定理得，那么即可．
【详解】解：连接，,和，如图，
∵为正五边形，
∴，，，
∴，
则，
∵，
∴，
设,
∵为的切线，
∴，
∵,
∴,
则,
根据圆周角定理得，
那么．
故选：C．
【点睛】本题主要考查正多边形的外接圆的性质、圆周角定理、切线性质和正多边形的性质，解题的关键是连接辅助，并利用圆周角和正多边形性质。
3．C
【分析】连接，，，首先根据正多边形的性质得到，然后证明出，得到，然后切线的性质得到，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接，，
∵四边形是正五边形
∴
∵，，
∴
∴
∵与相切于点C，
∴
∴
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形和圆，全等三角形的性质和判定，圆切线的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线．
4．D
【详解】【分析】先根据题意画出图形，根据正多边形与圆的关系分别求出中心角∠AOC=60°，∠AOB=72°，再由等边对等角及三角形内角和定理分别求出∠OAC=54°，∠OAB=54°，然后分两种情况进行讨论：①AB、AC都在OA同侧；②AB、AC在OA两侧．
【详解】如图，连接OA，OB，OC，
∵AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O的内接正六边形的一边，
∴∠AOC=，∠AOB==72°，
∵OA=OC=OB，
∴∠OAB=54°，∠OAC=60°，
若AB与AC在OA的同侧，∠BAC=∠OAC-∠OAB=6°，
当AB、AC在OA两侧时，则∠BAC=∠OAC+∠OAB=54°+60°=114°．
∴∠BAC=6°或114°．
故选D
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，等边对等角及三角形内角和定理，正确画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，连接 ，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出 是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图：
∵多边形是正六边形，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．D
【分析】先根据等边三角形的性质求出△OBC的面积，然后由地基的面积是△OBC的6倍即可得到答案
【详解】解：如图所示，正六边形ABCDEF，连接OB，OC，过点O作OP⊥BC于P，
由题意得：BC=4cm，
∵六边形ABCD是正六边形，
∴∠BOC=360°÷6=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键．
7．B
【详解】由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度：
如图，
∵正方形的边长为6，∴AB=3．
又∵∠AOB=45°，∴OB=3．
∴AO=．
故选B．
8．B
【分析】根据AB= 5，求出每个小正方形的边长，再由勾股定理和半径相等列方程组求解．
【详解】解：如图，设BE= x
在Rt△ACB中，AC= 2x， BC=x，
，
解得x1=2，x2=-2（舍去），
EH=4，DH=1，
设OE=a，OD=OB=r，
，
解得（舍去）
故选： B．
【点睛】本题考查了圆的有关概念和性质，解题的关键是求出每个小正方形的边长．
9．6
【分析】本题考查的是正多边形的性质，中心角的含义，熟练的利用中心角求解多边形的边数是解本题的关键．
【详解】解：如图，圆内接正多边形的边长与圆的半径相等，
∴为等边三角形，
∴，
∴多边形的边数为，
故答案为：6
10．
【分析】根据正六边形的性质解答即可．
【详解】解：因为正六边形的中，，
所以这个正六边形外接圆半径是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，理解外接圆的半径是解题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．
11．126
【分析】连接BE，BD，求出∠DEC=36°，∠BFE=90°可得结论．
【详解】连接，，
∵五边形是正五边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：126．
【点睛】本题考查正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是利用三角形外角的性质解决问题．
12．
【分析】连接，并延长交于点，连接，先根据圆内接正多边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，然后根据直角三角形的性质可得，从而可得，于是可得答案．
【详解】解：如图，连接，并延长交于点，连接，
正方形和正都内接于，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
则的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接正多边形的性质等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．
13．
【分析】本题考查正多边形与圆，含有角的直角三角形，求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可，掌握含有角的直角三角形的边角关系以及正多边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提．
【详解】解：根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1，
∴小正六边形的面积为：
，
故答案为：．
14．见解析
【分析】根据正多边形和圆的性质求解即可．
【详解】在图1中用半径去截圆周使得，连接，，，，，即可；
在图2中作，连接，，，，即可．

【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用圆画出正六边形，正五边形是本题的关键．
15．见解析
【分析】利用正十边形的性质，圆心角与圆周角关系定理，同旁内角互补，两直线平行证明．
【详解】证明：如图，连接，，
、、为的内接正十边形的边，
，
，
．
，
，
．
，
．
【点睛】本题考查了正十边形的性质，圆心角与圆周角关系定理，同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握正十边形的性质，圆心角与圆周角关系定理，是解题的关键．
16．
【分析】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用，连接、、，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出的度数．
【详解】解：如图，连接、、，
∵八边形是正八边形，
∴，
∴，
∴．
17．见解析
【分析】首先连接，根据垂径定理的知识，易证得，设，根据直角三角形的性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形的面积与的面积，继而求得答案．
【详解】连、、，如图(2)所示，

图(2)
则，又．
，
又于，于，由垂径定理得，，
．

∴ ．
即阴影部分四边形的面积是的面积的倍．
【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
答案第1页，共2页
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