第一章勾股定理单元卷（含解析）

第一章 勾股定理 单元卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组数中，哪一组是勾股数（ ）
A．1，2，4 B．1，3，5 C．3，4，7 D．5，12，13
2．如图，一架5的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3，若梯子的顶端下滑2，则梯足将滑动（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图，一个长方体工艺品的高为，底面是边长为的正方形．一只爬虫从底面顶点A沿该工艺品的表面爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，现将沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则线段的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，垂足为，为上任一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，笑笑将一张A4纸（M4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB）剪去了一个角，量得CF＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）
A．50 mm B．120 mm C．160 mm D．200 mm
8．如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，则中边的“中高偏度值”为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．在中，斜边，则的值是 ．
11．在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等 ．
12．如图，圆柱形容器高，底面半径为，在杯口点处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的处，若蚂蚁刚出发时发现处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ．
13．已知如图：小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则的周长为 ．

14．如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为 ．
三、解答题
15．如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离．
16．我市某中学八年级（3）班两位同学上体育课时在打羽毛球，打球中途一不小心将羽毛球打落在离地面高6m的树上处，其中一位同学赶快找老师搬来一架长为的梯子，架在树干上，梯子底端在离树干处远的处．另一位同学爬上梯子去拿羽毛球，问这位同学能拿到吗？（树干宽度忽略不计）
17．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．
18．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路的距离AB为800米，若宣讲车周围1700米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶．

(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
19．如图，在△ADC中，∠C=90°，AB是DC边上的中线，若AB=6，BC=3，求AD的长.
20．如图，边长为的正方形中，是的中点，是上一点，且，求证：
21．一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．
(1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间．
(2)岛在港的什么方向？
22．（1）如图甲是国际数学家大会会标，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积为________ ；
（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图乙中画出分割线标明相应数据，再画出拼成的正方形的示意图，并标明相应数据）
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股数的定义“可以构成一个直角三角形三边的一组正整数”即可求解．
【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意；
B、，不是勾股数，不符合题意；
C、，不是勾股数，不符合题意；
D、，是勾股数，符合题意；
故选：D ．
2．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．如图，由题意知，，，，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，，，，
由勾股定理得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查的是勾股定理的应用最短路径问题，将立体图形展开，有两种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可．
【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，

∵，，，
∴；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，

∵，，，
∴，
∴，负值舍去，
∵，
∴它爬行的最短路程为．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
利用勾股定理先求得的长，设，表示，再根据翻折变换的性质可得，然后求出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：∵中，，
∴由勾股定理得，，
∴，
设，则，
∵直角边沿直线折叠落在斜边上，且与重合，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：，
即．
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠的性质，是解题关键．
由勾股定理求出值，根据折叠的性质可得出值，在中根据运用勾股定理可求出长．
【详解】解：∵，，，
∴，
由折叠知，．
∴，
∵，，
∴，
解得：，
的长为．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了勾股定理，由，则，再根据勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，，
在和中，
，，
∴，，
∴
，
故选：．
7．D
【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答．
【详解】解：延长BE、CF相交于D，则△EFD构成直角三角形，
运用勾股定理得：
EF2＝（210﹣90）2+（297﹣137）2＝1202+1602＝40000，
所以EF＝200．
则剪去的直角三角形的斜边长为200mm．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长BD、DC相交于F,构造直角三角形，然后用勾股定理进行计算．
8．B
【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案．
【详解】解：∵
∴AB=，
∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC
∴CN＝，
∵AN＝，
∵折叠
∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM，
∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°，
∴∠B'CN +∠A'CM＝45°，
∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，
∴∠NMC＝∠NCM＝45°，
∴MN＝CN＝，
∴A'M＝AM＝AN MN＝-=．
故选B．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
9．A
【分析】本题考查了勾股定理．根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离,再求它们的比值即可．
【详解】解 ： 作于点D，为的中线，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵为斜边上的中线，，
∴，
∴，
即点到的距离为，
∴中边的“中偏度值”为：，

故选：A．
10．100
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在中，
∵斜边，
，
故答案为：100．
11．10或6
【详解】试题解析：根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB=10，AC=2，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD==8，CD==2，
此时BC=BD+CD=8+2=10；
如图2所示，AB=10，AC=2，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD==8，CD==2，
此时BC=BD-CD=8-2=6，
则BC的长为6或10．
12．
【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题， 先将圆柱的侧面展开，找到蚂蚁走的最短距离，再根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．
【详解】解：假设在杯内壁点处吃到蜂蜜，
如图，圆柱的侧面展开，点与关于点对称，连接，则为蚂蚁走的最短距离，
由题意可得：，，，
∴，
∴，
∴蚂蚁的平均速度至少是，
故答案为：．
13．
【分析】根据勾股定理分别求出的长，从而求出的周长．
【详解】解：∵小正方形边长为1，
∴由勾股定理得，，，
∴的周长为．
【点睛】本题主要考查图象识别和勾股定理，根据图象求出各边长是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得：，，计算出，，设，则，由勾股定理可得，，求出的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键．
【详解】解：在长方形中，，，
，，，
由折叠的性质可得：，，
，
，
设，则，
由勾股定理可得，
，
解得：，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出的长．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
答：A，B两点间的距离是．
16．这位同学能拿到球
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解决此类问题的关键是正确的构造直角三角形．根据梯子的长和距离树干的距离求出树干的高度和6米比较即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴这位同学能拿到球．
17．秋千绳索长为尺
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解∶ 设秋千绳索长为尺，
则尺，
在中，，即，
解得：，
∴秋千绳索长为尺．
18．(1)村庄A能听到宣传，理由见解析；
(2)村庄A总共能听到15分钟的宣传．
【分析】（1）直接比较村庄A到公路的距离和广播宣传距离即可；
（2）过点A作于点，利用勾股定理运算出广播影响村庄的路程，再除以速度即可得到时间．
【详解】（1）解：村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路的距离为800米1700米，
∴村庄A能听到宣传；
（2）解：如图：过点A作于点，

假设当宣讲车行驶到点开始影响村庄，行驶点结束对村庄的影响，
则米，米，
∴（米），
∴米，
∴影响村庄的时间为：（分钟），
∴村庄A总共能听到15分钟的宣传．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，勾股定理，仔细审题获取相关信息合理作出图形是解题的关键．
19．3.
【分析】在三角形BCA中，由勾股定理可得AC的长，再根据AB是DC边上的中线，求得DC的长，最后在三角形DCA中，运用勾股定理即可求得AD的长.
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=6，BC=3
由勾股定理可得：AC=
又∵AB是DC边上的中线，
∴DC=2BC=6
∴在Rt△ADC中，AC=,DC=6
∴AD=
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解答的关键在于找到直角三角形并灵活的使用勾股定理.
20．见解析
【分析】把正方形的边长用4a表示，根据勾股定理用a表示出AM、AN、MN，再用勾股定理逆定理证明∠AMN=90°即可证得．
【详解】解：设NC=a，
∵BN=BC，
∴BN=3a，BC=4a，
∵在正方形ABCD中，
AD=AB=BC=DC=4a，
∵M是CD的中点，
∴DM=CM=2a，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2=（4a）2+（3a）2=25，
在Rt△ADM中，根据勾股定理，得AM2=（4a）2+（2a）2=20，
在Rt△NCM中，根据勾股定理，得MN2=（2a）2+=5，
∴AN2=AM2+MN2，
∴∠AMN=90°，
∴AM⊥MN；
【点睛】此题考查了垂直的证明，解题的关键是把三角形各边表示出来，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形即可．
21．(1)从岛返回港所需的时间为3小时
(2)岛在港的北偏西
【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．
（1）中，利用勾股定理求得的长度，则；然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间间路程速度；
（2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答．
【详解】（1）由题意，
中，，得．
．
．
．
（小时）．
答：从岛返回港所需的时间为3小时．
（2），
．
．
．
岛在港的北偏西．
22．（1）1；（2）见详解
【分析】（1）可设直角三角形的两条直角边，根据勾股定理得到两条直角边的一个关系式，再结合已知条件联立解方程组，求出两条直角边的长．则小正方形的面积即为大正方形的面积减去4个直角三角形的面积；
（2）根据面积不变，可知要拼成的正方形的边长是．13=4+9，故可以把它分割成4个直角边分别是2和3的直角三角形和两个长宽分别是1和0.5的矩形．
【详解】解：（1）设直角三角形的两条边分别为a、b（a＞b），
则依题意有：
①两边平方-②，得ab=6，
（a-b）2=（a+b）2-4ab=1，
∴a-b=1，
故小正方形的面积为1．
（2）如图所示：
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，（1）注意大正方形的面积即为直角三角形斜边的平方；（2）注意根据图形的面积不变进行分析．
答案第1页，共2页
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