第二章实数单元卷（含解析）

第二章 实数 单元卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列算式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．如果等式在实数范围内成立，那么（ ）
A． B．
C． D．取任意实数
4．下列各式中为二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知下列各式：，，，，，其中不是最简二次根式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的有（ ）
①5是25的算术平方根；②是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．估计+1的值在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
9．在算式（－）□（－）的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）
A．加号 B．减号
C．乘号 D．除号
10．有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的等于（ ）

A．2 B．8 C． D．
二、填空题
11．化简： ．
12．若，则 ．
13．一个正数的平方根是与，则 ．
14．按一定规律排成的一列数依次为：，，，，，……按此规律排下去，这列数中的第10个数是 ．
15．计算：（=
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式第一步
第二步
第三步
任务一：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请写出正确的计算过程．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．
18．已知一个数的平方根分别为和，的立方根为2．
(1)求，的值；
(2)求的算术平方根．
19．已知最简二次根式与是同类二次根式，且，求的值.
20．阅读理解
，即．
的整数部分为2，小数部分为
的整数部分为1．
的小数部分为
解决问题：已知：是的整数部分，是的小数部分，
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
21．观察下列各式：①；②；③；④…回答下列问题：
(1)利用你观察到的规律直接写出f(n)=________________；
(2)计算.
22．选取三个互不相等的整数，若任意两数的乘积的算术平方根都是正整数，则称这三个数为“和谐数”，其乘积的算术平方根为“和谐根”．例如：4，9，25这三个数．，，，其结果6，10，15都是整数，所以4，9．25这三个数称为“和谐数”，6，10，15称为“和谐根”．
(1)取三个负整数，，，请问这三个数是“和谐数”吗？请说明理由；
(2)①根据题干中的条件任意写出一组“和谐数”________（要求三个数字都为正整数）；
②请根据做题经验，任意写出一条你新写“和谐数”的心得．
23．先阅读材料，再解答问题：
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：
（1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数
（2）在自然数1到9这九个数字中，________，________，________．
猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．
（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．
（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了求平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据平方根，算术平方根和立方根的定义分别判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．根据无理数的定义，可得答案．
【详解】A．是整数，属于有理数，不符合题意；
B.是有限小数，属于有理数，不符合题意；
C.是无理数，符合题意；
D.是整数，属于有理数，不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的乘法计算，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，解之即可得到答案．
【详解】解：∵等式在实数范围内成立，
∴，
∴，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，据此逐项判断即可求解，掌握二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：是二次根式，该选项符合题意；
、，式子无意义，该选项不合题意；
、是三次根式，该选项不合题意；
、，式子无意义，该选项不合题意；
故选：．
5．B
【分析】本题考查了最简二次根式，同时满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：（）被开方数不含分母；（）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此即可判断求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：被开方数含有分母，不是最简二次根式；
被开方数可以化为分数，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式；
满足最简二次根式的条件，是最简二次根式；
被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式；
满足最简二次根式的条件，是最简二次根式；
综上，不是最简二次根式的有个，
故选：．
6．C
【分析】根据求一个数算术平方根和乘方运算，即可一一判定．
【详解】解：A.，故该选项不成立；
B.，故该选项不成立；
C.，故该选项成立；
D.，故该选项不成立；
故选：C．
【点睛】本题考查了一个数算术平方根和乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
7．B
【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根，根据立方根、算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握相关概念是解此题的关键．
【详解】解：①，即5是25的算术平方根，故①正确；
②，即是64的立方根，故②错误；
③，即的平方根是，故③正确；
④0的平方根和算术平方根都是它本身，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共个，
故选：B．
8．C
【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论．
【详解】∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5．
故选C．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知用有理数逼近无理数，求无理数的近似值是解答此题的关键．
9．D
【解析】略
10．D
【分析】根据流程图，结合算术平方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案．
【详解】解：当时，，是有理数，进行下一步运算；
当时，，是无理数，输出；
故选：D．
【点睛】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、有理数与无理数的定义，读懂题意，按照流程图顺序计算是解决问题的关键．
11．
【分析】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是利用二次根式的性质进行化简．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了算术平方根的非负性、立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根和绝对值的非负性可求出的值，再代入计算立方根即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查平方根与解一元一次方程，解题的关键是掌握：一个正数的两个平方根互为相反数．据此构建方程求解即可．
【详解】解：∵与是一个正数的两个平方根，
∴，
解得：．
故答案为：．
14．/
【分析】根据题目给出数列的规律即可求出答案．
【详解】解：分子可以看出：，，，，……，
故第10个数的分子为，
分母可以看出：第几个数的分母是其序数的平方加1，
例如：12+1＝2，22+1＝5，32+1＝10，42+1＝17，52+1＝26，
故第10个数的分母为102+1＝101，
故这列数中的第10个数是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律，正确得出分母的变化规律是解题关键．
15．4002
【详解】试题分析：原式=2×(+++…+)×(+1)
=2××(+1)
=2×((－1)(+1)=2×(2002－1)=2×2001=4002.
考点：二次根式的化简
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
（1）直接利用算术平方根以及立方根的性质分别化简，再计算得出答案；
（2）直接利用算术平方根以及立方根的性质分别化简，去绝对值，再计算得出答案；
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
17．任务一：一，没有将带分数化为假分数再化简；任务二：；任务三：二次根号内是带分数，需要先化为假分数，再化简．
【分析】根据二次根式的运算法则，正确计算即可．
【详解】任务一：一，没有将带分数化为假分数再化简．
任务二：
任务三：进行二次根式运算时，结果必须是最简二次根式．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意二次根号内是带分数，需要先化为假分数是解题关键．
18．(1)，
(2)3
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，平方根的概念，根据一个数的立方根求这个数等等，解题的关键在于熟知平方根和立方根的定义：对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根；
（1）根据一个数的两个平方根互为相反数得到，解方程求出a，再根据立方根的定义得到，解方程求出b即可；
（2）根据（1）所求求出的值，再根据算术平方根的定义求出答案即可．
【详解】（1）解：∵一个数的平方根分别为和，
∴，
∴；
∵的立方根为2，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴的算术平方根是．
19．
【分析】由最简二次根式与是同类二次根式得出关于的方程
再由平方和算术平方根的非负性得出关于和的关系，组成方程组，然后解得的值，再化简需要求解的式子，最后代入的值进行计算即可.
【详解】由题意得：
整理得：
把②③代入①得：
解得：
代入②得：，
代入③得：
原式=
【点睛】本题主要考查了最简二次根式、分母有理化、完全平方和算术平方根的非负性，根据性质特点列出方程组是关键.
20．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，求一个数的平方根：
（1）仿照题意估算出，则的整数部分为1，即，进而可得的小数部分为，即；
（2）根据（1）所求求出的结果，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分为1，即，
∴的小数部分为，即；
（2）解：∵，，
∴
，
∵的平方根是，
∴的平方根是．
21．（1）f(n)=；（2）2017
【分析】（1）由已知式子不难得出f(n)=；（2）f(n)==﹣，表示出f（1）、f（2），……，f（2017），结合平方差公式计算即可.
【详解】（1）f(n)=；
（2）原式=（2+2）（﹣+﹣+1﹣+……+﹣）
=（2+2）（﹣+）
=2（+1）×（﹣1）
=2018﹣1
=2017.
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，根据规律写出f（n）的代数式是解题的关键.
22．(1)三个负整数，，，是“和谐数”理由见解析；
(2)①（答案不唯一）；②任意两个数的乘积都是完全平方数．
【分析】此题考查了算术平方根、积的算术平方根等知识，
（1）根据“和谐数”的定义进行计算验证即可；
（2）①根据定义写出一组和谐数即可；②根据经验写出心得即可．
【详解】（1）三个负整数，，，是“和谐数”，
理由如下：∵，，，
∴三个负整数，，，是“和谐数”；
（2）①∵，，，
∴正整数这三个数称为“和谐数”；
故答案为：
②根据做题经验，称为和谐数的三个数满足以下条件：任意两个数的乘积都是完全平方数．
23．（1）两；（2）125，343，729，9；（3）3，39；（4）47
【分析】（1）根据夹逼法和立方根的定义进行解答；
（2）先分别求得1至9中奇数的立方，然后根据末位数字是几进行判断即可；
（3）先利用（2）中的方法判断出个数数字，然后再利用夹逼法判断出十位数字即可；
（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．
【详解】（1）∵1000＜59319＜1000000，
∴59319的立方根是两位数；
（2）∵125，343，729，
∴59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是9；
（3）∵，且59319的立方根是两位数，
∴59319的立方根的十位数字是3，
又∵59319的立方根的个位数字是9，
∴59319的立方根是39；
（4）∵1000＜103823＜1000000，
∴103823的立方根是两位数；
∵125，343，729，
∴103823的个位数字是3，则103823的立方根的个位数字是7；
∵，且103823的立方根是两位数，
∴103823的立方根的十位数字是4，
又∵103823的立方根的个位数字是7，
∴103823的立方根是47．
【点睛】考查了立方根的概念和求法，解题关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．
答案第1页，共2页
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