九年级上册24.3正多边形和圆练习卷（含解析）

九年级上册 24.3 正多边形和圆 练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将正方形和正五边形的中心重合，按如图位置放置，连接、，则（ ）
A． B． C． D．
2．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
4．要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，正五边形内接于，连接，，则（ ）
A． B． C． D．
6．周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3、S4、S6，则它们的大小关系是（ ）
A．S6＞S4＞S3 B．S3＞S4＞S6 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
7．⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（　　）
A． B． C．2 D．2
8．如图，正六边形，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，当运动到第秒时，的面积为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
9．如图，若的半径为3，则其内接正六边形的周长为 ．
10．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．

11．如图摆放的两个正六边形的顶点，，，在图上．若，则该圆的半径为 ．
12．如图，正六边形内接于，对角线交于点，已知的半径为，则的长为 ．

13．如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ．
三、解答题
14．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．
15．如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距．
16．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．
(2)是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
17．已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】分别求出以点为中心的正五边形和正方形的中心角即可．
【详解】解：如图，连接，
点是正五边形和正方形的中心，
，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的前提．
2．B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提．
根据正六边形的性质，正三角形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，
∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，
∴，
∴，
∴的内接正多边形是六边形，
，
，
∴是正三角形，
，
∴正六边形的边长为2，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质；掌握正六边形中心角的计算方法是解题关键．如图，求出圆心角，得到为等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：如图，为内接正六边形的一边；
则，
，
为等边三角形，
．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了正多边形和圆，要使整个草坪都喷到水，必须计算出正方形的外接圆的面积是解题的关键．根据已知可计算得到每个喷水龙头的喷洒面积，及正方形的外接圆的面积，则此时就不难求得需安装这种喷水龙头的个数．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴正方形的外接圆的半径是，则其外接圆的面积是，
∵每个喷水龙头喷洒的面积是，
则．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查正多边形内角和公式、正多边形的中心角，根据多边形的内角和可以求得的度数，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数即可．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
，，
，
故选：D．
6．A
【分析】根据正三角形，正方形，正六边形的周长为，即可求出各图形的边长，再结合正多边形的性质和解直角三角形，即可求解各图的面积
【详解】如图（1），正三角形的周长为
AB＝4，AD＝2，∠OAD＝30°，
∴ OD＝．
∴ ．

如图（2），正方形的周长为
AB＝AC＝3，∴ S4＝3×3＝9．
如图（3），正六边形的周长为
CD＝2，
∴OC＝2，CM＝1，
∴OM＝．
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
故选：A
【点睛】本题考查了正多边形和圆的性质，解答此题的关键是根据题意画出图像，再根据正三角形，正方形，正六边形的周长求出各图形的边长，再分别求出其面积进行比较．
7．C
【分析】分别画出对应的图形计算出三条边心距，利用勾股定理的逆定理可证明它们构建的三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算此三角形的面积．
【详解】解：如图1，△ABC为⊙O的内接正三角形，作OM⊥BC于M，连接OB，
∵∠OBC＝∠ABC＝30°，
∴OM＝OB＝2；
如图2，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，作ON⊥DC于N，连接OD，
∵∠ODC＝∠ADC＝45°，
∴ON＝DN＝OD＝2；
如图3，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，作OH⊥DE于H，连接OE，
∵∠OED＝∠FED＝60°，
∴EH＝OE＝2，OH＝EH＝2，
∴半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2，2，
∵22+（2）2＝（2）2，
∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积＝×2×2＝2．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆：熟练掌握正多边形的有关概念和正多边的性质，会利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
8．B
【分析】先证明∴是等边三角形，得到，由于点P的运动速度为每秒1个单位长度，则每运动12秒，点P就回到起始位置，进而得到当运动到第秒时，点P运动到的中点H处，过点E作于F，则，求出则，，即．
【详解】解：连接，如图所示，
∵，
∴O为正六边形的中心，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵点P的运动速度为每秒1个单位长度，
∴每运动12秒，点P就回到起始位置，
∵，
∴当运动到第秒时，点P运动到的中点H处，
过点E作于F，则，
∴，
∴，
∴，
∴，即
故选B．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，点的坐标规律探索，勾股定理等等，正确确定运动到第2023秒时点P的位置是解题的关键．
9．18
【分析】本题考查正多边形与圆的有关计算，等边三角形的判定与性质， 连接、，证是等边三角形，即可求得正六边形的边长，然后由正六边形周长公式求解即可．熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的确关键．
【详解】解：连接、，
∵正六边形内接于，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴正六边形的周长，
故答案为：18．
10．10
【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∵正五边形的一个外角，
∴，
∴，
∴共需要正五边形的个数（个），
故答案为：10．

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．
11．
【分析】此题考查的是正多边形和垂径定理，由正六边形的性质可得，再根据勾股定理可得答案，正确作出图形及辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，设圆的圆心为点，即点为正六边形边的中点，连接，过作于点，
∴，
∵正六边形的每个内角都为，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该圆的半径为，
故答案为：．
12．1
【分析】先由圆与内接正六边形性质得到是等边三角形，是线段的垂直平分线，从而确定，在中，由含的直角三角形性质、勾股定理即可得到答案．
【详解】解：连接，连接并延长，交于，如图所示：

在正六边形中，对角线，且每一个内角均为，
，
，，
，则，
正六边形内接于，
，且，则是等边三角形，
，
，
是线段的垂直平分线，则，即，
在中，，，设，则，由勾股定理可得，解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆与多边形，涉及正多边形性质、圆的性质、等边三角形的判定与现在、垂直平分线的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆与多边形综合题型的解法是解决问题的关键．
13．/24度
【分析】本题考查正多边形与圆，连接，根据正多边形的性质可得：，进而得到，，再根据即可求解．
【详解】解：连接，
根据题意得：，
，
，
，
故答案为：．
14．2cm
【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
【详解】过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cos30°===，
解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．
【点睛】考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．
15．正方形ABCD的边长为，边心距为．
【分析】过点O作，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出，然后在中，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：过点O作，垂足为E，
∵正方形是半径为R的⊙O内接四边形，，
，
．
在中，，
由勾股定理可得
，
，
，
，
即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于．
16．(1)
(2)是正三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵正五边形．
∴，
∴，
∵，
∴(优弧所对圆心角)，
∴；
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接，
由作图知：,
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴是正三角形；
（3）∵是正三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．
17．2
【分析】作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．根据其轴对称性，则圆心必定在AH上．设其圆心是O，连接OD，OE．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可以求得AH，DH的长，设圆的半径是r．在直角三角形BOH中，根据勾股定理列方程求解．
【详解】如图，
作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．
∵△ABC为等边三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四边形BDEC为正方形，
∴AH垂直平分正方形的边DE．
又DE是圆的弦，∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．
在Rt△ABF中， ∵∠BAF=，
∴．
∴OH==ｒ．
在Rt△ODH中，．
∴．解得ｒ＝2．
∴该圆的半径长为2．
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