八年级上册12.3角的平分线的性质练习卷（含解析）

八年级上册 12.3 角的平分线的性质 练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的平分线，于E，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，射线平分，，垂足为C，点M是射线上的一个动点，若，则线段最短为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．如图，在中，，平分，交于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
5．如图，在中，，点O是、平分线的交点，且，，，则点O到边的距离为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6．已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，点为线段上的一个动点，当最短时，的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，若AB=8cm，AC=6cm，S△ABC=14cm2，则DF的长为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
二、填空题
9．如图，，，，的面积等于6，则的长为 ．

10．如图，已知分别是的外角的平分线，，，垂足分别为，那么 （填“>”“<”或“=”）．

11．如图，是的角平分线，，则 ．
12．如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为3，且的周长为20，则的面积为 ．
13．如图，点O在ABC内且到三边的距离相等．若∠A＝58°，则∠BOC＝ 度．
三、解答题
14．如图，在直角中，，

(1)请用尺规作图法在边上求作一点P，使得点P到边的距离相等，（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，求的面积．
15．如图，于于，若．

(1)求证：平分．
(2)写出与之间的等量关系，并说明理由．
16．如图，已知，分别平分，，如果的高，那么点到、的距离分别为多少？

17．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．

(1)求证：平分；
(2)直接写出的度数______；
(3)若，，且，求的面积．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，再根据，即可解答．
【详解】解：过点D作于点F，
∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、垂线段最短等知识点，熟练掌握垂线段最短、角平分线的性质定理是解题的关键．
如图，过P作．根据垂线段最短以及经角平分线的性质定理即可解答．
【详解】解：如图，过P作．
根据垂线段最短可知，当时，即点M和点D重合时，最短，
∵射线平分，，，
∴，
∴PM的最小值为10．
故选B．
3．D
【分析】该题主要考查了角平分线的性质、三角形面积公式的运用，解题的关键是作辅助线，利用角平分线的性质进行计算．
过点作于点，根据角平分线上的点到角两边距离相等可得，然后利用三角形的面积列式计算即可解答．
【详解】解：过点作于点，如图：
，平分，
，
，
，
，
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．
故选：A．
5．B
【分析】过O点作于D，于E，于F，连接，先根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式进行求解．
【详解】过O点作于D，于E，于F，连接，如图，
∵点O是、平分线的交点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
即点O到边的距离为2cm．
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，三角形的面积被分割成三个小三角形的面积，再进行求解．
6．D
【分析】本题考查了角平分线的判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断②的正误；证明可判断③的正误；证明，可判断④的正误．
【详解】解：∵，
∴是的角平分线，故①符合要求；
∵，，
∴是的角平分线，故②符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故③符合要求；
∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故④符合要求；
故选：D．
7．B
【分析】本题考查的是作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据“垂线段最短”可得，根据角平分线的性质得到，证明，求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵点E为线段上的一个动点，最短，
∴，
如图，过点D作于点E，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的面积，
故选：B．
8．B
【分析】根据角平分线的性质求出DE=DF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∵AB=8cm，AC=6cm，S△ABC=14cm2，
∴×8×DF+×6×DE=14，
解得，DF=2，
故选B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．
【分析】解：过点作于，根据三角形的面积求出长，然后根据角平分线的性质解题即可．
【详解】解：过点作于.
，，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键．
10．
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断关系．
【详解】证明：如图，过点P作于F，

是的平分线，，
，
是的平分线，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，作出辅助线是正确解答本题的关键．
11．6
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键．
作于点，于点，根据角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可得，代入数据计算即可．
【详解】解：过点作于点，于点，如图所示，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
12．30
【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．过O作于M，于N，连接，利用角平分线的性质求得，然后利用求解即可．
【详解】解：过O作于M，于N，连接，
∵点O到边的距离为3，
∴，
∵的周长为20，
∴
∵，的平分线交于点O，，，
∴，
∴
，
故答案为：30．
13．119
【分析】利用角平分线性质定理的逆定理得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，则∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理可得到∠BOC＝90°+∠A，然后把∠A＝58°代入计算即可．
【详解】解：∵点O在△ABC内且到三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A），
＝90°+∠A
＝90°+×58°
＝119°．
故答案为：119．
【点睛】本题考查角平分线性质定理的综合应用，熟练掌握角平分线性质定理的逆定理及三角形的内角和定理是解题关键．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的角平分线，与的交点即为点；
（2）作，由角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：点P即为所求：

（2）解：作，如图所示：

由（1）可得，平分，
∵
的面积为：
【点睛】本题考查了角平分线的性质及尺规作图．掌握角平分线的性质是解题关键．
15．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据，可得，可证明，从而得到，即可；
（2）证明，可得，即可．
【详解】（1）证明：∵于于，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：，理由如下：
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟知到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解答此题的关键．
16．点到、的距离均为．
【分析】过点P作于F，于G，根据角平分线的性质解答即可．
【详解】解：如图，过点作于，于，

的高，
，且．
平分，，，
．
又平分，，，
，
即点到、的距离均为．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论；
（2）设，分别表示出，，求出，再利用三角形内角和定理计算；
（3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
；
过点分别作于，与，
平分，
，
，
平分，
，
，
平分；
（2）设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；　
（3），，，
，
即，
解得，
，
．
【点睛】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．
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