八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解测试卷（含解析）

八年级上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．因式分解： ．
2．若，则 ．
3．已知，实数满足，则 ．
4．已知，，，为正整数，则 ．（用，表示）．
5．已知 ，代数式 ，则的值是 ．
6．若（3x+2y）2=（3x﹣2y）2+A，则代数式A为 ．
7．已知，，，则代数式的值是 ．
二、单选题
8．计算（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1
9．多项式2ax2 4ax 2a因式分解为（　　）
A．a（2x-1）2 B．a（2x+1）2 C．2a（x+1）2 D．2a（x-1）2
10．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知，，则的值为（　　）
A．3 B．6 C．8 D．11
12．下列计算：（1）；（2）；（3）；（4）若，，则中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．27
14．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形>，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（　　）
A． B． C． D．
15．从前，一位农场主把一块边长为a米（a＞4）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
16．若二次三项式可分解为，则a+b的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
17．已知实数a，b满足，则代数式的最大值为（ ）
A．－4 B．－5 C．4 D．5
三、解答题
18．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．因式分解：
（1）4a2b（a﹣b）﹣6ab2（b﹣a）；
（2）2a3﹣12a2b+18ab2
20．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．
A．提取公因式；B．平方差公式；
C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式．
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
21．观察下列分解因式的过程：．
解：原式
．
像这种通过增项或减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
(1)请你运用上述配方法分解因式：；
(2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求周长的最大值．
22．关于x的代数式化简后不含的项和常数项．
(1)分别求m、n的值；
(2)求的值．
23．请对多项式和进行加、减、乘、除运算．
(1)分别写出四种运算过程和结果；
(2)比较多项式和的大小．
24．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．已知关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，求代数式的最小值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．1
【分析】根据积的乘方法则，先将化成，再整体代入计算即可．
【详解】解：，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是积的乘方运算及平方差公式，逆用积的乘方法则解决问题是关键．
3．2022
【分析】由得，对化简，将用多次等量替换，计算求解即可．
【详解】解：∵
∴
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了平方差，代数式求值．解题的关键在于的等量替换．
4．
【分析】本题考查幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，由得出，将变形为，再结合题干的条件即可解题．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
5．2
【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． 先把进行平方，再根据，得到的值．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
故．
故答案为：2.
6．24xy
【详解】∵（3x+2y）2=（3x﹣2y）2+A，
∴（3x）2+2×3x×2y+(2y)2=（3x）2-2×3x×2y+(2y)2+A,
即9x2+12xy+4y2=9x2-12xy+4y2+A
∴A=24xy，
故答案为24xy.
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键.
完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.
7．
【分析】由题意得到，，，再把要求的代数式用完全平方公式进行因式分解，整体代入即可得到答案．
【详解】∵，，，
∴，，，
∴
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式进行因式分解是解题的关键．
8．D
【分析】利用平方差公式计算即可．
【详解】解：
，
故选D．
【点睛】本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解决本题的关键，即．
9．D
【分析】提取公因式2a后，再运用公式法分解即可．
【详解】解：2ax2 4ax 2a
故选：D
【点睛】此题主要考查了提取公因式法和运用公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
10．D
【分析】根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．易求出左图阴影部分的面积右图中阴影部分进行拼接后，面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论，
本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解题的关键是：根据图形列出代数式．
【详解】解：第一个图形阴影部分的面积是 第二个图形的面积是，
所以，
故选 ：D．
11．B
【分析】将变形为，同时将化为，可得出的值，再将分解因式，最后将和的值代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解的应用，求代数式的值，运用完全平方分式变形求值．灵活运用所学知识进行恒等变形是解题的关键．
12．B
【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方，同底数幂的运算，即可计算得出选项．
【详解】解：（1），原计算错误，不符合题意；
（2），原计算错误，不符合题意；
（3），原计算正确，符合题意；
（4）若，，则，原计算正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方，同底数幂的运算，解题的关键是能熟记法则的内容．
13．B
【分析】由于3a×3b=3a+b，所以3a+b=3a×3b，代入可得结论．
【详解】∵3a×3b
=3a+b
∴3a+b
=3a×3b
=1×2
=2
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则的逆用．同底数幂的乘法法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
14．A
【分析】分别表示出两个图形中阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解．
【详解】解：左边图形中，阴影部分的面积，
右边图形中，阴影部分的面积，
∵两个图形中的阴影部分的面积相等，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键．
15．C
【分析】分别求出变化前后2次的面积，比较大小即可．
【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为，
∵，
∴面积变小了，
故选：C．
【点睛】本题主要平方差公式与几何图形的知识，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．
16．A
【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：（x-2）（x+b）=x2+（b-2）x-2b，
∵二次三项式x2+ax-1可分解为（x-2）（x+b），
∴，
解得：，
∴a+b= -+=-1．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解题的关键．
17．A
【分析】先整体代入，将原式转化为只含有a的代数式，直接求最大值即可．
【详解】，即
时，的最大值为
故选：A
【点睛】此题考查整体代入求值，以及利用公式变形求最值，解题关键是找到a的取值范围．
18．（1）；（2）1；（3）；（4）
【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（2）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（3）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（4）根据同底数幂的除法法则和积的乘方法则计算即可．
【详解】解：（1）原式=
=；
（2）原式=
=
=1；
（3）原式=
=
=；
（4）原式=
=
=．
【点睛】本题考查同底数幂的除法和积的乘方法则．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
19．（1）2ab（a﹣b）(2a+3b)；（2）2a(a-3b)2
【分析】(1) 原式变形后，提取公因式即可；
(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
【详解】（1）4a2b（a﹣b）﹣6ab2（b﹣a），
=4a2b（a﹣b）+6ab2（a﹣b），
=（a﹣b）（4a2b+6ab2），
=2ab（a﹣b）(2a+3b)；
（2）2a3﹣12a2b+18ab2
=2a(a2-6ab+9b2)，
=2a(a-3b)2．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
20．(1)C
(2)不彻底，；
(3)
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．
（1）根据分解因式的过程直接得出答案；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，将继续分解因式即可得解；
（3）利用换元法，将看成一个整体，设，进行因式分解即可得解；
【详解】（1）解：，是利用了两数和的完全平方公式，
故选：C．
（2）解： ，
该同学因式分解的结果不彻底，
，
．
（3）解：设，
．
21．(1)；
(2)23．
【分析】（1）本题考查了因式分解，掌握公式法即可解题．
（2）本题考查了配方法运用，将原式变形为，再根据平方的非负性，解出a和b的值，最后利用三角形三边关系即可解题．
【详解】（1）解：原式，
．
（2）解：由整理，
得，
，
，
解得，．
由三角形三边之间的关系，得．
为正整数，周长最大，
，
，
即周长的最大值为23．
22．(1)，
(2)
【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的、积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则，正确得到、的方程是解答的关键，尤其（2）中利用积的乘方的逆运算求解是关键．
（1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答；
（2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的和的值，即可解答．
【详解】（1）解：
∵不含的项和常数项
∴，，
∴，；
（2），
由（1）知，，，
则，原式．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题干要求分别计算即可；
（2）根据两式相减的结果，变形得到，根据乘方的非负性可判断结果．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）∵，
∴．
【点睛】本题考查了多项式的乘除法，整式的加减运算，因式分解的应用，解题的关键是掌握运算法则．
24．43
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、求代数式值等知识点，准确理解新定义是解题的关键．
先根据“对消多项式”和“对消值”的概念求得、，，进然后再对所求代数式进行配方变形求解即可．
【详解】解∵和，
∴，
∵C与D互为“对消多项式”且“对消值”为t，
∴，，
∴，
∵,
∴，
∴
．
答：代数式的最小值是43．
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